Интегральное уравнение Фредгольма - Fredholm integral equation

В математика, то Интегральное уравнение Фредгольма является интегральное уравнение чье решение приводит к Теория Фредгольма, изучение Ядра Фредгольма и Фредгольмовы операторы. Интегральное уравнение изучалось Ивар Фредхольм. Полезный метод решения таких уравнений - Метод разложения Адомиана, связано с Георгий Адомян.

Уравнение первого рода

Уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, в котором член, содержащий функцию ядра (определенную ниже), имеет константы в качестве пределов интегрирования. Близко родственная форма - это Интегральное уравнение Вольтерра который имеет переменные интегральные пределы.

An неоднородный Уравнение Фредгольма первого рода записывается как

${\displaystyle g(t)=\int _{a}^{b}K(t,s)f(s)\,\mathrm {d} s~,}$

и проблема в том, что при непрерывном ядро функция ${\displaystyle K}$ и функция ${\displaystyle g}$, чтобы найти функцию ${\displaystyle f}$.

Важным случаем этих типов уравнений является случай, когда ядро ​​является функцией только разности своих аргументов, а именно ${\displaystyle K(t,s)=K(t{-}s)}$, а пределы интегрирования равны ± ∞, то правую часть уравнения можно переписать в виде свертки функций ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle f}$ и поэтому формально решение дается формулой

${\displaystyle f(s)={\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}\left[{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega s}\mathrm {d} \omega }$

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}}$ прямая и обратная Преобразования Фурье соответственно. Этот случай обычно не включается в интегральные уравнения Фредгольма, название, которое обычно зарезервировано для случаев, когда интегральный оператор определяет компактный оператор (операторы свертки на некомпактных группах некомпактны, поскольку, как правило, спектр оператора свертки с ${\displaystyle K}$ содержит диапазон ${\displaystyle {\mathcal {F}}{K}}$, которое обычно является несчетным множеством, тогда как компактные операторы имеют дискретные счетные спектры).

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода имеет вид

${\displaystyle \varphi (t)=f(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,s)\varphi (s)\,\mathrm {d} s.}$

Учитывая ядро К (т, с), а функция f (t), проблема обычно заключается в том, чтобы найти функцию φ (t).

Стандартный подход к решению этой проблемы - использовать итерацию, равную резольвентный формализм; записанное в виде ряда, решение известно как Лиувилля – Неймана..

Общая теория

Общая теория, лежащая в основе уравнений Фредгольма, известна как Теория Фредгольма. Одним из основных результатов является то, что ядро K дает компактный оператор. Компактность можно показать, вызвав равностепенная непрерывность. Как оператор он имеет спектральная теория что можно понять в терминах дискретного спектра собственные значения которые стремятся к 0.

Приложения

Уравнения Фредгольма естественным образом возникают в теории обработка сигнала, например как известные проблема спектральной концентрации популяризируется Давид Слепян. Используемые операторы такие же, как линейные фильтры. Они также часто возникают при линейном прямом моделировании и обратные задачи. В физике решение таких интегральных уравнений позволяет связать экспериментальные спектры с различными лежащими в основе распределениями, например массовым распределением полимеров в полимерном расплаве,^[1] или распределение времен релаксации в системе.^[2] Кроме того, интегральные уравнения Фредгольма возникают и в механика жидкости задачи, связанные с гидродинамическими взаимодействиями вблизи упругих границ раздела конечных размеров.^{[3] [4]}

Смотрите также

• Лиувилля – Неймана.
• Интегральное уравнение Вольтерра
• Альтернатива Фредгольма

использованная литература

1. Honerkamp, ​​J .; Виз, Дж. (1990). "Тихоновский метод регуляризации некорректных задач". Механика сплошной среды и термодинамика. 2 (1): 17–30. Bibcode:1990CMT ..... 2 ... 17H. Дои:10.1007 / BF01170953.
2. Schäfer, H .; Стернин, Э .; Stannarius, R .; Arndt, M .; Кремер Ф. (18 марта 1996 г.). «Новый подход к анализу широкополосных диэлектрических спектров». Письма с физическими проверками. 76 (12): 2177–2180. Bibcode:1996ПхРвЛ..76.2177С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.76.2177. PMID  10060625.
3. Дадди-Мусса-Идер, А .; Kaoui, B .; Лёвен, Х. (9 апреля 2019 г.). «Осесимметричное течение за счет стокслета вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии. 88 (5): 054401. arXiv:1901.04485. Дои:10.7566 / JPSJ.88.054401.
4. Дадди-Мусса-Идер, А. (25 ноября 2020 г.). «Асимметричное стоксово течение, вызванное поперечной точечной силой, действующей вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии. 89: 124401. arXiv:2006.14375. Дои:10.7566 / JPSJ.89.124401.

• Интегральные уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Полянин А. Манжиров, Справочник интегральных уравнений, CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN  0-8493-2876-4
• Хведелидзе, Б.В .; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], «Фредгольмовое ядро», Энциклопедия математики, EMS Press
• Simons, F.J .; Wieczorek, M. A .; Дален, Ф.А. (2006). «Пространственно-спектральная концентрация на сфере». SIAM Обзор. 48 (3): 504–536. arXiv:математика / 0408424. Bibcode:2006SIAMR..48..504S. Дои:10.1137 / S0036144504445765.
• Слепян, Д. (1983). «Некоторые комментарии по анализу Фурье, неопределенности и моделированию». SIAM Обзор. 25 (3): 379–393. Дои:10.1137/1025078.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 19.1. Уравнения Фредгольма второго рода». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8.
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: В. А. Бенджамин, ISBN  0-8053-7002-1