Теорема прибытия - Arrival theorem

В теория массового обслуживания, дисциплина в рамках математической теория вероятности, то теорема прибытия^[1] (также называемый свойство случайного наблюдателя, ROP или же собственность наблюдателя^[2]) утверждает, что «по прибытии на станцию ​​задание наблюдает за системой, как если бы она находилась в установившемся состоянии в произвольный момент для системы без этого задания».^[3]

Теорема прихода всегда верна в открытом продуктовые сети с неограниченными очередями в каждом узле, но это также верно и в более общих сетях. Необходимое и достаточное условие для выполнения теоремы прибытия в сетях продуктовой формы дается в терминах Вероятности ладони в Boucherie & Dijk, 1997.^[4] Аналогичный результат имеет место и в некоторых закрытых сетях. Примеры сетей формы продукта, где теорема прибытия не выполняется, включают обратимые сети Кингмана.^[4][5] и сети с протоколом задержки.^[3]

Митрани предлагает интуицию, что «состояние узла я состояние, видимое входящей задачей, отличается от состояния, видимого случайным наблюдателем. Например, входящая работа никогда не может увидеть все »k вакансии присутствуют на узле я, потому что он сам по себе не может быть среди уже имеющихся вакансий "^[6]

Теорема для приходов, управляемых пуассоновским процессом

За Пуассоновские процессы недвижимость часто называют ПАСТА недвижимость (Прибытие Пуассона см. Средние значения времени) и заявляет, что вероятность состояния, видимого сторонним случайным наблюдателем, такая же, как вероятность состояния, наблюдаемого прибывающим клиентом.^[7] Свойство имеет место и для случая дважды стохастический пуассоновский процесс где параметр скорости может изменяться в зависимости от состояния.^[8]

Теорема для сетей Джексона

В открытом Сеть Джексона с м очереди, пишите ${\textstyle \mathbf {n} =(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})}$ за состояние сети. Предполагать ${\textstyle \pi (\mathbf {n} )}$ - равновесная вероятность того, что сеть находится в состоянии ${\textstyle \mathbf {n} }$. Тогда вероятность того, что сеть находится в состоянии ${\textstyle \mathbf {n} }$ непосредственно перед прибытием в любой узел также ${\textstyle \pi (\mathbf {n} )}$.

Отметим, что эта теорема не следует из Теорема Джексона, где рассматривается установившееся состояние в непрерывном времени. Здесь нас интересуют конкретные моменты времени, а именно время прибытия.^[9] Эта теорема впервые опубликована Шевчиком и Митрани в 1981 году.^[10]

Теорема для сетей Гордона – Ньюэлла.

В закрытом Сеть Гордона – Ньюэлла с м очереди, пишите ${\displaystyle {\mathbf {n} =(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})}}$ за состояние сети. Для клиента в пути в состояние ${\displaystyle i}$, позволять ${\displaystyle {\alpha _{i}(\mathbf {n} -\mathbf {e} _{i})}}$ обозначают вероятность того, что непосредственно перед прибытием заказчик «увидит» состояние системы как

${\displaystyle \mathbf {n} -\mathbf {e} _{i}=(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{i}-1,\ldots ,n_{m}).}$

Эта вероятность, ${\displaystyle {\alpha _{i}(\mathbf {n} -\mathbf {e} _{i})}}$, совпадает с вероятностью установившегося состояния для состояния ${\displaystyle {\mathbf {n} -\mathbf {e} _{i}}}$ для сети того же типа с на одного покупателя меньше.^[11] Он был опубликован независимо Sevcik и Mitrani,^[10] и Райзер и Лавенберг,^[12] где результат был использован для разработки анализ среднего значения.

Примечания

1. Асмуссен, Сорен (2003). «Сети массового обслуживания и нечувствительность». Прикладная вероятность и очереди. Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. 51. С. 114–136. Дои:10.1007/0-387-21525-5_4. ISBN  978-0-387-00211-8.
2. Эль-Таха, Мухаммад (1999). Анализ пути выборки систем массового обслуживания. Springer. п.94. ISBN  0-7923-8210-2.
3. Ван Дейк, Н. М. (1993). «О теореме прихода для сетей связи». Компьютерные сети и системы ISDN. 25 (10): 1135–2013. Дои:10.1016 / 0169-7552 (93) 90073-D.
4. Boucherie, R.J .; Ван Дейк, Н. М. (1997). «О теореме прибытия для продуктовых сетей массового обслуживания с блокировкой». Оценка эффективности. 29 (3): 155. Дои:10.1016 / S0166-5316 (96) 00045-4.
5. Кингман, Дж. Ф. С. (1969). «Марковские популяционные процессы». Журнал прикладной теории вероятностей. Доверие прикладной вероятности. 6 (1): 1–18. Дои:10.2307/3212273. JSTOR  3212273.
6. Митрани, Иси (1987). Моделирование компьютерных и коммуникационных систем. ЧАШКА. п.114. ISBN  0521314224.
7. Вольф, Р. В. (1982). «Прибытие Пуассона см. Среднее время». Исследование операций. 30 (2): 223–231. Дои:10.1287 / opre.30.2.223.
8. Ван Дорн, Э. А .; Регтершот, Г. Дж. К. (1988). «Условная ПАСТА» (PDF). Письма об исследованиях операций. 7 (5): 229. Дои:10.1016/0167-6377(88)90036-3.
9. Харрисон, Питер Г.; Патель, Нареш М. (1992). Моделирование производительности сетей связи и компьютерных архитектур. Эддисон-Уэсли. п.228. ISBN  0-201-54419-9.
10. Sevcik, K. C .; Митрани, И. (1981). «Распределение состояний сети массового обслуживания в моменты входа и выхода». Журнал ACM. 28 (2): 358. Дои:10.1145/322248.322257.
11. Breuer, L .; Баум, Дэйв (2005). «Марковские сети массового обслуживания». Введение в теорию массового обслуживания и матрично-аналитические методы. стр.63 –61. Дои:10.1007/1-4020-3631-0_5. ISBN  1-4020-3630-2.
12. Reiser, M .; Лавенберг, С. С. (1980). "Анализ среднего значения закрытых многоцепочечных сетей массового обслуживания". Журнал ACM. 27 (2): 313. Дои:10.1145/322186.322195.