Разложения Тейлора для моментов функций случайных величин - Taylor expansions for the moments of functions of random variables - Wikipedia

В теория вероятности, можно аппроксимировать моменты функции ж из случайная переменная Икс с помощью Разложения Тейлора, при условии, что ж достаточно дифференцируема и моменты Икс конечны.

Первый момент

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[f(X)\right]&{}=\operatorname {E} \left[f\left(\mu _{X}+\left(X-\mu _{X}\right)\right)\right]\\&{}\approx \operatorname {E} \left[f(\mu _{X})+f'(\mu _{X})\left(X-\mu _{X}\right)+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})\left(X-\mu _{X}\right)^{2}\right].\end{aligned}}}$

С ${\displaystyle E[X-\mu _{X}]=0,}$ второй член исчезает. Также ${\displaystyle E[(X-\mu _{X})^{2}]}$ является ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$. Следовательно,

${\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)\right]\approx f(\mu _{X})+{\frac {f''(\mu _{X})}{2}}\sigma _{X}^{2}}$

куда ${\displaystyle \mu _{X}}$ и ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ - среднее значение и дисперсия X соответственно.^[1]

Это можно обобщить на функции более чем одной переменной, используя многомерные разложения Тейлора. Например,

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {X}{Y}}\right]\approx {\frac {\operatorname {E} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[Y\right]}}-{\frac {\operatorname {cov} \left[X,Y\right]}{\operatorname {E} \left[Y\right]^{2}}}+{\frac {\operatorname {E} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[Y\right]^{3}}}\operatorname {var} \left[Y\right]}$

Второй момент

По аналогии,^[1]

${\displaystyle \operatorname {var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {var} \left[X\right]=\left(f'(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{2}}$

Вышеупомянутое использует приближение первого порядка, в отличие от метода, используемого для оценки первого момента. Это будет плохое приближение в случаях, когда ${\displaystyle f(X)}$ очень нелинейный. Это частный случай дельта-метод. Например,

${\displaystyle \operatorname {var} \left[{\frac {X}{Y}}\right]\approx {\frac {\operatorname {var} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[Y\right]^{2}}}-{\frac {2\operatorname {E} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[Y\right]^{3}}}\operatorname {cov} \left[X,Y\right]+{\frac {\operatorname {E} \left[X\right]^{2}}{\operatorname {E} \left[Y\right]^{4}}}\operatorname {var} \left[Y\right].}$

Приближение второго порядка, когда X следует нормальному распределению, имеет вид^[2]:

${\displaystyle \operatorname {var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {var} \left[X\right]+{\frac {\left(f''(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}}{2}}\left(\operatorname {var} \left[X\right]\right)^{2}=\left(f'(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{2}+{\frac {1}{2}}\left(f''(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{4}+\left(f'(\mu _{X})\right)\left(f'''(\mu _{X})\right)\sigma _{X}^{4}}$

Смотрите также

• Распространение неопределенности
• Приближение ВКБ
• Дельта-метод

Примечания

1. Хайм Бенароя, Сон Ми Хан и Марк Нагурка. Вероятностные модели в технике и науке. CRC Press, 2005.
2. Хендеби, Густав; Густафссон, Фредрик. "О НЕЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ГАУССОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ" (PDF). Получено 5 октября 2017.

дальнейшее чтение

• Уолтер, Кирк М. (1985). «Методы серии Тейлора». Введение в оценку дисперсии. Нью-Йорк: Спрингер. С. 221–247. ISBN  0-387-96119-4.