Случайно-нечеткая переменная - Random-fuzzy variable

При измерениях полученные измерения могут иметь два типа погрешностей.^[1] Во-первых, это случайная неопределенность, связанная с шумом в процессе и измерении. Второй вклад связан с систематической неопределенностью, которая может присутствовать в измерительном приборе. Систематические ошибки, если они обнаружены, могут быть легко скомпенсированы, поскольку они обычно постоянны на протяжении всего процесса измерения до тех пор, пока измерительный прибор и процесс измерения не изменяются. Но при использовании прибора нельзя точно узнать, есть ли систематическая ошибка а если есть, то сколько? Следовательно, систематическая неопределенность может рассматриваться как вклад нечеткого характера.

Эту систематическую ошибку можно приблизительно смоделировать на основе наших прошлых данных об измерительном приборе и процессе.

Статистические методы могут использоваться для расчета общей неопределенности как систематических, так и случайных вкладов в измерение.^[2][3][4] Но вычислительная сложность очень высока и, следовательно, нежелательна.

Л. А. Заде ввел понятия нечетких переменных и нечетких множеств.^[5][6] Нечеткие переменные основаны на теории возможностей и, следовательно, являются распределениями возможностей. Это делает их пригодными для обработки любого типа неопределенности, то есть как систематических, так и случайных вкладов в общую неопределенность.^[7][8][9]

Случайно-нечеткая переменная (RFV) это нечеткая переменная типа 2,^[10] определяется с помощью математической теории возможностей^[5][6], используется для представления всей информации, связанной с результатом измерения. Он имеет внутреннее распределение возможностей и внешнее распределение возможностей, называемые функциями принадлежности. Внутреннее распределение - это вклады неопределенности из-за систематической неопределенности, а границы RFV из-за случайных вкладов. Внешнее распределение дает границы неопределенности для всех вкладов.

Определение

Случайно-нечеткая переменная

Случайно-нечеткая переменная (RFV) определяется как нечеткая переменная типа 2, которая удовлетворяет следующим условиям:^[11]

• Можно определить как внутренние, так и внешние функции RFV.
• И внутренние, и внешние функции моделируются как распределения возможностей (pd).
• И внутренние, и внешние функции имеют единое значение для возможности одного и того же интервала значений.

RFV можно увидеть на рисунке. Внешняя функция принадлежности - это распределение, выделенное синим цветом, а внутренняя функция принадлежности - это распределение, выделенное красным. Обе функции принадлежности являются распределениями возможностей. И внутренняя, и внешняя функции принадлежности имеют унитарное значение возможности только в прямоугольной части RFV. Итак, все три условия выполнены.

Если в измерении есть только систематические ошибки, то RFV просто становится нечеткая переменная который состоит только из внутренней функции принадлежности. Точно так же, если нет систематической ошибки, RFV становится нечеткая переменная только со случайными вкладами и, следовательно, это просто распределение вероятностей случайных вкладов.

Строительство

Случайно-нечеткая переменная может быть построена с использованием внутреннего распределения возможностей (р_{внутренний}) и случайное распределение возможностей (р_{случайный}).

Случайное распределение (р_{случайный})

р_{случайный} - это распределение вероятностей случайных вкладов в неопределенность. Любой измерительный инструмент или процесс страдает от случайная ошибка вклады из-за собственного шума или других эффектов.

Это полностью случайное по своей природе и нормальное распределение вероятностей, когда несколько случайных вкладов объединяются в соответствии с Центральная предельная теорема.^[12]

Но также могут быть случайные вклады от других распределений вероятностей, таких как равномерное распределение, гамма-распределение и так далее.

Распределение вероятностей можно смоделировать на основе данных измерений. Затем распределение вероятностей можно использовать для моделирования эквивалентного распределения возможностей с использованием максимально конкретного преобразования вероятности-возможности.^[13]

Некоторые общие распределения вероятностей и соответствующие распределения возможностей можно увидеть на рисунках.

Нормальное распределение вероятностей и возможностей.

Равномерное распределение вероятностей и возможностей.

Треугольное распределение вероятностей и возможностей.

Внутреннее распределение (р_{внутренний})

р_{внутренний} - внутреннее распределение в RFV, которое представляет собой распределение вероятностей систематического вклада в общую неопределенность. Это распределение может быть построено на основе имеющейся информации об измерительном приборе и процессе.

Максимально возможное распределение - это равномерное или прямоугольное распределение возможностей. Это означает, что любое значение в указанном интервале одинаково возможно. Это на самом деле представляет состояние полного невежества согласно теория доказательств^[14] Это означает, что он представляет собой сценарий, в котором имеется максимальный недостаток информации.

Это распределение используется для систематической ошибки, когда мы абсолютно не знаем о систематической ошибке, за исключением того, что она принадлежит определенному интервалу значений. Это довольно часто встречается при измерениях.

Но в некоторых случаях может быть известно, что определенные ценности имеют более высокую или более низкую степень веры, чем некоторые другие ценности. В этом случае, в зависимости от степени доверия к ценностям, можно построить соответствующее распределение вероятностей.

Построение внешнего распределения (р_{внешний}) и RFV

После моделирования случайного и внутреннего распределения возможностей внешняя функция принадлежности, р_{внешний}RFV можно построить с помощью следующего уравнения:^[15]

${\displaystyle r_{\textit {external}}(x)=\sup _{x^{\prime }}T_{min}[r_{\textit {random}}(x-x^{\prime }+x^{*}),r_{\textit {internal}}(x^{\prime })]}$

куда ${\displaystyle x^{*}}$ это режим ${\displaystyle r_{\textit {random}}}$, который является пиком функции принадлежности ${\displaystyle r_{random}}$ и Т_мин это минимум треугольная норма.^[16]

RFV также можно построить из внутреннего и случайного распределений, учитывая α-срезы двух распределений возможностей (PD).

An α-срез нечеткой переменной F можно определить как ^[17][18]

${\displaystyle F_{\alpha }=\{a\,\vert \,\mu _{\rm {F}}(a)\geq \alpha \}\qquad {\textit {where}}\qquad 0\leq \alpha \leq 1}$

Итак, по сути α-cut - это набор значений, для которых значение функции принадлежности ${\displaystyle \mu _{\rm {F}}(a)}$ нечеткой переменной больше, чем α. Итак, это дает верхнюю и нижнюю границы нечеткой переменной F для каждого α-резать.

В α-сечение RFV, однако, имеет 4 конкретных границы и задается ${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$^[11]. ${\displaystyle X_{a}^{\alpha }}$ и ${\displaystyle X_{d}^{\alpha }}$ - нижняя и верхняя границы соответственно внешней функции принадлежности (р_{внешний}), которая сама по себе является нечеткой переменной. ${\displaystyle X_{b}^{\alpha }}$ и ${\displaystyle X_{c}^{\alpha }}$ - нижняя и верхняя границы соответственно внутренней функции принадлежности (р_{внутренний}), которая сама по себе является нечеткой переменной.

Чтобы построить RFV, рассмотрим α-резы двух ПД, т.е. р_{случайный} и р_{внутренний} за ту же стоимость α. Это дает нижнюю и верхнюю оценки для двух α-резы. Пусть они будут ${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}$ и ${\displaystyle [X_{LI}^{\alpha },X_{UI}^{\alpha }]}$ для случайного и внутреннего распределений соответственно. ${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}$ можно снова разделить на два подинтервала ${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },x^{*}]}$ и ${\displaystyle [x^{*},X_{UR}^{\alpha }]}$ куда ${\displaystyle x^{*}}$ - режим нечеткой переменной. Затем α-разрез для RFV на то же значение α, ${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$ можно определить как ^[11]

${\displaystyle X_{a}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }-(x^{*}-X_{LR}^{\alpha })}$${\displaystyle X_{b}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }}$${\displaystyle X_{c}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }}$${\displaystyle X_{d}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }-(X_{UR}^{\alpha }-x^{*})}$

Используя приведенные выше уравнения, α-резы рассчитываются для каждого значения α что дает нам окончательный график RFV.

Случайно-нечеткая переменная способна дать полную картину случайных и систематических вкладов в общую неопределенность от α-резы для любого уровня уверенности, поскольку уровень уверенности - это не что иное 1-α.^[17][18]

Пример построения соответствующей функции внешней принадлежности (р_{внешний}) и RFV от случайного PD и внутреннего PD можно увидеть на следующем рисунке.

Построение внешней функции принадлежности и RFV из внутренних и случайных распределений возможностей.

Смотрите также

• Нечеткое множество
• Т-норма
• Нечеткие множества и системы типа 2
• Ошибка наблюдения
• Теория Демпстера – Шафера
• Теория возможностей
• Теория вероятности
• Распределение вероятностей

Рекомендации

1. Тейлор, Джон Р. (Джон Роберт), 1939- (1997). Введение в анализ ошибок: изучение неопределенностей физических измерений (2-е изд.). Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN  0935702423. OCLC  34150960.
2. Pietrosanto, A .; Betta, G .; Лигуори, К. (1999-01-01). «Структурированный подход к оценке неопределенности измерения в алгоритмах обработки цифровых сигналов». IEE Proceedings - Science, Measurement and Technology. 146 (1): 21–26. Дои:10.1049 / IP-smt: 19990001. ISSN  1350-2344.
3. Бетта, Джованни; Лигуори, Консолатина; Пьетрозанто, Антонио (2000-06-01). «Распространение неопределенности в алгоритме дискретного преобразования Фурье». Измерение. 27 (4): 231–239. Дои:10.1016 / S0263-2241 (99) 00068-8. ISSN  0263-2241.
4. Ферреро, А .; Lazzaroni, M .; Саликоне, С. (2002). «Порядок калибровки цифрового прибора для измерения качества электроэнергии». IEEE Transactions по приборостроению и измерениям. 51 (4): 716–722. Дои:10.1109 / TIM.2002.803293. ISSN  0018-9456.
5. Заде, Л. А. (1965-06-01). «Нечеткие множества». Информация и контроль. 8 (3): 338–353. Дои:10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X. ISSN  0019-9958.
6. Заде, Лотфи А. (1973). «Очерк нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений». IEEE Transactions по системам, человеку и кибернетике. SMC-3 (1): 28–44. Дои:10.1109 / TSMC.1973.5408575. ISSN  0018-9472.
7. Mauris, G .; Berrah, L .; Foulloy, L .; Хаура, А. (2000). «Нечеткая обработка ошибок измерения в КИПиА». IEEE Transactions по приборостроению и измерениям. 49 (1): 89–93. Дои:10.1109/19.836316.
8. Урбанский, Михал К .; Wa̧sowski, Януш (2003-07-01). «Нечеткий подход к теории неточности измерений». Измерение. Основы измерения. 34 (1): 67–74. Дои:10.1016 / S0263-2241 (03) 00021-6. ISSN  0263-2241.
9. Ферреро, А .; Саликоне, С. (2003). «Инновационный подход к определению неопределенности измерений на основе нечетких переменных». IEEE Transactions по приборостроению и измерениям. 52 (4): 1174–1181. Дои:10.1109 / TIM.2003.815993. ISSN  0018-9456.
10. Кастильо, Оскар; Мелин, Патрисия; Кацпшик, Януш; Педрич, Витольд (2007). "Нечеткая логика типа 2: теория и приложения". 2007 Международная конференция IEEE по гранулярным вычислениям (GRC 2007). п. 145. Дои:10.1109 / grc.2007.118. ISBN  978-0-7695-3032-1.
11. Саликоне, Симона. Измерение неопределенности в рамках теории доказательств. Приоли, Марко. Чам, Швейцария. ISBN  9783319741390. OCLC  1032810109.
12. Росс, Шелдон М. (2009). Введение в вероятности и статистику для инженеров и ученых (4-е изд.). Берлингтон: Elsevier Science. ISBN  9780080919379. OCLC  761646775.
13. KLIR †, GEORGE J .; ПАРВИЗ, БЕХЗАД (1992-08-01). «Преобразования вероятности-возможности: сравнение». Международный журнал общих систем. 21 (3): 291–310. Дои:10.1080/03081079208945083. ISSN  0308-1079.
14. Шафер, Гленн, 1946- (1976). Математическая теория доказательств. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0691081751. OCLC  1859710.
15. Ферреро, Алессандро; Приоли, Марко; Саликоне, Симона (2015). «Распространение неопределенности через нелинейные измерительные функции посредством совместных случайных и нечетких переменных». Труды Международной конференции по приборостроению и измерительным технологиям (I2MTC), 2015 г.. Пиза, Италия: IEEE: 1723–1728. Дои:10.1109 / I2MTC.2015.7151540. ISBN  9781479961146.
16. Клемент, Эрих Петер; Месияр, Радько; Пап, Эндре (2004-04-01). «Треугольные нормы. Программный документ I: основные аналитические и алгебраические свойства». Нечеткие множества и системы. Успехи в нечеткой логике. 143 (1): 5–26. Дои:10.1016 / j.fss.2003.06.007. ISSN  0165-0114.
17. Заде, Л. А. (1975-09-01). «Нечеткая логика и приблизительные рассуждения». Синтез. 30 (3): 407–428. Дои:10.1007 / BF00485052. ISSN  1573-0964.
18. Кауфманн, А. (Арнольд), 1911- (1991). Введение в нечеткую арифметику: теория и приложения. Гупта, Мадан М. ([Новое изд.] Ред.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Van Nostrand Reinhold Co. ISBN  0442008996. OCLC  24309785.