Связи между распределениями вероятностей - Relationships among probability distributions

Отношения между некоторыми одномерными распределениями вероятностей показаны соединенными линиями. пунктирные линии обозначают приблизительные отношения. больше информации:^[1]

Связь между одномерными распределениями вероятностей в ProbOnto.^[2]

В теория вероятности и статистика, между распределения вероятностей. Эти отношения можно разделить на следующие группы:

• Одно распределение является частным случаем другого с более широким пространством параметров.
• Преобразования (функция случайной величины);
• Комбинации (функция нескольких переменных);
• Аппроксимационные (предельные) отношения;
• Составные отношения (полезно для байесовского вывода);
• Двойственность^{[требуется разъяснение ]};
• Сопряженные приоры.

Частный случай параметризации распределения

• А биномиальный (п, п) случайная величина с п = 1, является Бернулли (п) случайная переменная.
• А отрицательное биномиальное распределение с п = 1 - это геометрическое распределение.
• А гамма-распределение с параметром формы α = 1 и параметр масштаба θ является экспоненциальный распределение с ожидаемым значениемθ.
• А гамма (α, β) случайная величина с α = ν/ 2 и β = 2, является хи-квадрат случайная величина с ν степени свободы.
• А распределение хи-квадрат с 2 степенями свободы экспоненциальное распределение со средним значением 2 и наоборот.
• А Weibull (1, β) случайная величина является экспоненциальный случайная величина со средним значением β.
• А бета случайная величина с параметрами α = β = 1 - это униформа случайная переменная.
• А бета-бином (п, 1, 1) случайная величина - это дискретная равномерная случайная величина по значениям 0, ..., п.
• Случайная величина с t распределение с одной степенью свободы Коши (0,1) случайная величина.
• Когда c = 1, распределение Берра типа XII становится распределением Парето типа II (Lomax).

Преобразование переменной

Кратное случайной величины

Умножение переменной на любую положительную действительную константу дает масштабирование Некоторые из них являются самовоспроизводящимися, что означает, что масштабирование дает то же семейство распределений, хотя и с другим параметром:нормальное распределение, гамма-распределение, Распределение Коши, экспоненциальное распределение, Распределение Erlang, Распределение Вейбулла, логистическая дистрибуция, распределение ошибок, степенное распределение, Распределение Рэлея.

Пример:

• Если Икс - случайная гамма-величина с параметрами формы и скорости (р, λ), тогда Y = aX - случайная гамма-величина с параметрами (р,λ/а).

• Если Икс - случайная гамма-величина с параметрами формы и масштаба (α, β), тогда Y = aX - случайная гамма-величина с параметрами (α,aβ).

Линейная функция случайной величины

Аффинное преобразование топор + б дает перемещение и масштабирование оригинального распределения. Следующие объекты самовоспроизводятся:Нормальное распределение, Распределение Коши, Логистическая дистрибуция, Распределение ошибок, Распределение мощности, Распределение Рэлея.

Пример:

• Если Z - нормальная случайная величина с параметрами (μ = м, σ² = s²), тогда Икс = aZ + б - нормальная случайная величина с параметрами (μ = являюсь + б, σ² = а²s²).

Обратно случайной величины

Обратное 1 /Икс случайной величины Икс, является членом того же семейства распределения, что и Икс, в следующих случаях:Распределение Коши, F распределение, логистическое распределение.

Примеры:

• Если X - Коши (μ, σ) случайная величина, то 1 /Икс является Коши (μ/C, σ/C) случайная величина, где C = μ² + σ².
• Если Икс является F(ν₁, ν₂) случайная величина, то 1 /Икс является F(ν₂, ν₁) случайная переменная.

Другие случаи

Некоторые распределения инвариантны относительно определенного преобразования.

Пример:

• Если Икс это бета (α, β) случайная величина, то (1 - Икс) это бета (β, α) случайная переменная.
• Если Икс это биномиальный (п, п) случайная величина, то (п − Икс) это биномиальный (п, 1 − п) случайная переменная.
• Если Икс имеет кумулятивная функция распределения F_Икс, то обратное кумулятивному распределению F
  _Икс(Икс) является стандартным униформа (0,1) случайная величина
• Если Икс это нормальный (μ, σ²) случайная величина, то е^Икс это логнормальный (μ, σ²) случайная переменная.

Наоборот, если Икс является логнормальным (μ, σ²) случайная величина, затем журналИкс это нормальный (μ, σ²) случайная переменная.

• Если Икс является экспоненциальный случайная величина со средним значением β, тогда Икс^1/γ это Weibull (γ, β) случайная переменная.
• Площадь стандартный нормальный случайная величина имеет хи-квадрат распространение с одной степенью свободы.
• Если Икс это Студенческий т случайная величина с ν степень свободы, то Икс² является F (1,ν) случайная переменная.
• Если Икс это двойная экспонента случайная величина со средним 0 и шкалой λ, тогда |Икс| является экспоненциальный случайная величина со средним значением λ.
• А геометрический случайная величина - это этаж из экспоненциальный случайная переменная.
• А прямоугольный случайная величина - это пол униформа случайная переменная.
• А взаимный случайная величина - это экспонента от униформа случайная переменная.

Функции нескольких переменных

Сумма переменных

Распределение суммы независимые случайные величины это свертка их распределений. Предполагать ${\displaystyle Z}$ это сумма ${\displaystyle n}$ независимые случайные величины ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ каждый с вероятностные массовые функции ${\displaystyle f_{X_{i}}(x)}$. потом

$${\displaystyle Z=\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}}$$

имеет

Если оно имеет распределение из того же семейства распределений, что и исходные переменные, это семейство распределений называется закрыто сверткой.

Примеры таких одномерные распределения находятся: нормальные распределения, Распределения Пуассона, биномиальные распределения (с общей вероятностью успеха), отрицательные биномиальные распределения (с общей вероятностью успеха), гамма-распределения (с общим параметр скорости ), распределения хи-квадрат, Распределения Коши, гиперэкспоненциальные распределения.

Примеры:^[3][4]

• • Если Икс₁ и Икс₂ находятся Пуассон случайные величины со средними значениями μ₁ и μ₂ соответственно, то Икс₁ + Икс₂ это Пуассон случайная величина со средним значением μ₁ + μ₂.
  • Сумма гамма (п_я, β) случайные величины имеют гамма (Σп_я, β) распределение.
  • Если Икс₁ это Коши (μ₁, σ₁) случайная величина и Икс₂ является Коши (μ₂, σ₂), тогда Икс₁ + Икс₂ это Коши (μ₁ + μ₂, σ₁ + σ₂) случайная переменная.
  • Если X₁ и X₂ находятся хи-квадрат случайные величины с ν₁ и ν₂ степеней свободы соответственно, то X₁ + X₂ это хи-квадрат случайная величина с ν₁ + ν₂ степени свободы.
  • Если Икс₁ это нормальный (μ₁, σ²
    ₁) случайная величина и Икс₂ это нормальный (μ₂, σ²
    ₂) случайная величина, то X₁ + Икс₂ это нормальный (μ₁ + μ₂, σ²
    ₁ + σ²
    ₂) случайная переменная.
  • Сумма N хи-квадрат (1) случайные величины имеют распределение хи-квадрат с N степени свободы.

Остальные распределения не закрываются сверткой, но их сумма имеет известное распределение:

• Сумма п Бернулли (p) случайные величины - это биномиальный (п, п) случайная переменная.
• Сумма п геометрический случайные величины с вероятностью успеха п это отрицательный бином случайная величина с параметрами п и п.
• Сумма п экспоненциальный (β) случайные величины - это гамма (п, β) случайная переменная.
  • Если экспоненциальные случайные величины имеют общий параметр скорости, их сумма имеет Распределение Erlang, частный случай гамма-распределения.
• Сумма квадратов N стандартный нормальный случайные величины имеют хи-квадрат распределение с N степенями свободы.

Произведение переменных

Произведение независимых случайных величин Икс и Y может принадлежать к тому же семейству распределения, что и Икс и Y: Распределение Бернулли и логнормальное распределение.

Пример:

• Если Икс₁ и Икс₂ независимы лог-нормальный случайные величины с параметрами (μ₁, σ²
  ₁) и (μ₂, σ²
  ₂) соответственно, то Икс₁ Икс₂ это лог-нормальный случайная величина с параметрами (μ₁ + μ₂, σ²
  ₁ + σ²
  ₂).

(Смотрите также Распространение продукции.)

Минимум и максимум независимых случайных величин

Для некоторых дистрибутивов минимум значение нескольких независимых случайных величин является членом одного семейства с разными параметрами:Распределение Бернулли, Геометрическое распределение, Экспоненциальное распределение, Распределение экстремальных значений, Распределение Парето, Распределение Рэлея, Распределение Вейбулла.

Примеры:

• Если Икс₁ и Икс₂ независимы геометрический случайные величины с вероятностью успеха п₁ и п₂ соответственно, то min (Икс₁, Икс₂) - геометрическая случайная величина с вероятностью успеха п = п₁ + п₂ − п₁ п₂. Отношение проще, если выразить вероятность отказа: q = q₁ q₂.
• Если Икс₁ и Икс₂ независимы экспоненциальный случайные величины со скоростью μ₁ и μ₂ соответственно, то min (Икс₁, Икс₂) - экспоненциальная случайная величина со скоростью μ = μ₁ + μ₂.

Аналогично, распределения, для которых максимум Значение нескольких независимых случайных величин является членом одного и того же семейства распределений, включая:Распределение Бернулли, Сила закона распределение.

Другой

• Если Икс и Y независимы стандартный нормальный случайные переменные, Икс/Y это Коши (0,1) случайная величина.
• Если Икс₁ и Икс₂ независимы хи-квадрат случайные величины с ν₁ и ν₂ степеней свободы соответственно, то (Икс₁/ν₁)/(Икс₂/ν₂) является F(ν₁, ν₂) случайная переменная.
• Если Икс это стандартный нормальный случайная величина, а U - независимая хи-квадрат случайная величина с ν степени свободы, то ${\displaystyle {\frac {X}{\sqrt {(U/\nu )}}}}$ это Студенты т(ν) случайная переменная.
• Если Икс₁ это гамма (α₁, 1) случайная величина и Икс₂ независимый гамма (α₂, 1) случайная величина, то Икс₁/(Икс₁ + Икс₂) это бета(α₁, α₂) случайная переменная. В более общем смысле, если Икс₁ это гамма (α₁, β₁) случайная величина и Икс₂ - независимая гамма (α₂, β₂) случайная величина, то β₂ Икс₁/(β₂ Икс₁ + β₁ Икс₂) является бета-версией (α₁, α₂) случайная переменная.
• Если Икс и Y независимы экспоненциальный случайные величины со средним μ, то Икс − Y это двойная экспонента случайная величина со средним 0 и масштабом μ.

(Смотрите также соотношение распределения.)

Примерные (предельные) отношения

Приблизительное или предельное отношение означает

• либо комбинация бесконечного числа iid случайные величины имеют тенденцию к некоторому распределению,
• или что предел, когда параметр стремится к некоторому значению, приближается к другому распределению.

Комбинация iid случайные переменные:

• При определенных условиях сумма (следовательно, среднее значение) достаточно большого числа случайных величин iid, каждая с конечным средним значением и дисперсией, будет приблизительно нормально распределена. Это Центральная предельная теорема (CLT).

Частный случай параметризации распределения:

• Икс это гипергеометрический (м, N, п) случайная переменная. Если п и м большие по сравнению с N, и п = м/N не близко к 0 или 1, то Икс примерно имеет Биномиальный(п, п) распределение.
• Икс это бета-бином случайная величина с параметрами (п, α, β). Позволять п = α/(α + β) и предположим α + β большой, то Икс примерно имеет биномиальный(п, п) распределение.
• Если Икс это биномиальный (п, п) случайная величина и если п большой и нп тогда маленький Икс примерно имеет Пуассон(нп) распределение.
• Если Икс это отрицательный бином случайная величина с р большой, п около 1, и р(1 − п) = λ, тогда Икс примерно имеет Пуассон распределение со средним значением λ.

Последствия CLT:

• Если Икс это Пуассон случайная величина с большим средним значением, затем для целых чисел j и k, П(j ≤ Икс ≤ k) примерно равно п(j − 1/2 ≤ Y ≤ k + 1/2) где Y это нормальный распределение с тем же средним и дисперсией, что и Икс.
• Если Икс это биномиальный(п, п) случайная величина с большой нп и п(1 − п), то для целых j и k, П(j ≤ Икс ≤ k) примерно равно P (j − 1/2 ≤ Y ≤ k + 1/2) где Y это нормальный случайная величина с тем же средним значением и дисперсией, что и Икс, т.е. нп и нп(1 − п).
• Если Икс это бета случайная величина с параметрами α и β равный и большой, тогда Икс примерно имеет нормальный распределение с одинаковым средним значением и дисперсией, т.е. е. иметь в виду α/(α + β) и дисперсия αβ/((α + β)²(α + β + 1)).
• Если Икс это гамма(α, β) случайная величина и параметр формы α велика по отношению к параметру масштаба β, тогда Икс примерно имеет нормальный случайная величина с тем же средним значением и дисперсией.
• Если Икс это Студенты т случайная величина с большим количеством степеней свободы ν тогда Икс примерно имеет стандартный нормальный распределение.
• Если Икс является F(ν, ω) случайная величина с ω большой, тогда νX приблизительно распределяется как хи-квадрат случайная величина с ν степени свободы.

Составные (или байесовские) отношения

Когда один или несколько параметров распределения являются случайными величинами, сложный распределение - это предельное распределение переменной.

Примеры:

• Если Икс | N это биномиальный (N,п) случайная величина, где параметр N - случайная величина с отрицательно-биномиальной (м, р) распределение, то Икс распространяется как отрицательно-биномиальный (м, р/(п + qr)).
• Если Икс | N это биномиальный (N,п) случайная величина, где параметр N - случайная величина с Пуассоном (μ) распределение, то Икс распространяется как Пуассон (μp).
• Если Икс | μ это Пуассон(μ) случайная величина и параметр μ случайная величина с гаммой (м, θ) распределение (где θ - параметр масштаба), то Икс распространяется как отрицательно-биномиальный (м, θ/(1 + θ)), иногда называемый гамма-распределение Пуассона.

Некоторые дистрибутивы были специально названы составными:бета-биномиальное распределение, бета-Паскаль распределение, гамма-нормальное распределение.

Примеры:

• Если Икс является биномом (п,п) случайная величина, а параметр p - случайная величина с бета (α, β) распределение, то Икс распространяется как бета-биномиальное (α,β,п).
• Если Икс является отрицательно-биномиальным (м,п) случайная величина, а параметр п случайная величина с бета (α,β) распределение, то Икс распространяется как Бета-Паскаль (α,β,м).

Смотрите также

• Центральная предельная теорема
• Составное распределение вероятностей

Рекомендации

1. ЛИМИС, Лоуренс М .; Жаклин Т. МАКВЕСТОН (февраль 2008 г.). «Одномерные отношения распределения» (PDF). Американский статистик. 62 (1): 45–53. Дои:10.1198 / 000313008x270448.
2. Сват, MJ; Grenon, P; Вималаратне, S (2016). «ПробОнто: онтология и база знаний вероятностных распределений». Биоинформатика. 32 (17): 2719–21. Дои:10.1093 / биоинформатика / btw170. ЧВК  5013898. PMID  27153608.
3. Кук, Джон Д. «Схема распределительных отношений».
4. Динов, Иво Д .; Зигрист, Кайл; Перл, Деннис; Калинин Алексей; Кристу, Николас (2015). «Распределение вероятностей: вычислительная веб-инфраструктура для изучения свойств, взаимосвязей и приложений распределений вероятностей». Вычислительная статистика. 594 (2): 249–271. Дои:10.1007 / s00180-015-0594-6. ЧВК  4856044. PMID  27158191.

внешняя ссылка

• Интерактивная графика: Одномерные отношения распределения
• ProbOnto - Онтология и база знаний вероятностных распределений: ProbOnto
• Проект Probability Distributome включает в себя калькуляторы, симуляторы, эксперименты и навигаторы для межраспределительных обновлений и метаданных распределения..