Функция Фаддеева - Faddeeva function

В Функция Фаддеева или Функция Крампа является масштабируемым комплексным дополнительным функция ошибки,

${displaystyle w(z):=e^{-z^{2}}operatorname {erfc} (-iz)=operatorname {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}left(1+{frac {2i}{sqrt {pi }}}int _{0}^{z}e^{t^{2}}{ ext{d}}tight).}$

Это связано с Интеграл Френеля, чтобы Интеграл Доусона, и к Функция Фойгта.

Функция возникает в различных физических задачах при описании электромагнитного отклика в сложных средах.

• задачи о распространении волн малой амплитуды через Максвелловский плазма, и, в частности, появляется в плазме диэлектрическая проницаемость откуда дисперсионные соотношения являются производными, поэтому их иногда называют функция дисперсии плазмы^[1][2] (хотя это имя иногда используется вместо масштабируемой функции ${displaystyle Z(z)=i{sqrt {pi }}w(z)}$ определяется Фрид и Конте, 1961^[1][3]).
• инфракрасный диэлектрическая проницаемость функции аморфных оксидов имеют резонансы (из-за фононы ), которые иногда слишком сложны для использования с помощью простых гармонических генераторов. Форма осциллятора Бренделя – Бормана использует бесконечную суперпозицию осцилляторов с немного разными частотами с гауссовым распределением.^[4] Интегрированный ответ можно записать в терминах функции Фаддеева.
• Функция Фаддеева также используется при анализе электромагнитных волн того типа, который используется в AM-радио.^{[нужна цитата ]} Земные волны - это волны с вертикальной поляризацией, распространяющиеся по грунту с потерями с конечным сопротивлением и диэлектрической проницаемостью.

Характеристики

Реальные и мнимые части

Разложение на действительную и мнимую части обычно записывают

${displaystyle w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)}$,

где V и L называются реальным и мнимым Функции Фойгта, поскольку V (х, у) это Профиль Voigt (до префакторов).

Инверсия знака

Для аргументов с инвертированным знаком применяются оба следующих условия:

${displaystyle w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)}$

и

${displaystyle w(-z)=w(z^{*})^{*}}$

где * означает комплексное сопряжение.

Связь с дополнительной функцией ошибок

Функция Фаддеева, вычисленная на мнимых аргументах, равна масштабированной дополнительной функции ошибок (erfcx):

${displaystyle w(iz)=mathrm {erfcx} (z)=e^{z^{2}}mathrm {erfc} (z)}$,

где erfc - это дополнительная функция ошибок. Для больших реальных Икс:

${displaystyle mathrm {erfcx} (x)approx {frac {1}{x}}}$

Интегральное представление

Функция Фаддеева выглядит как

${displaystyle w(z)={frac {i}{pi }}int _{-infty }^{infty }{frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}dt={frac {2iz}{pi }}int _{0}^{infty }{frac {e^{-t^{2}}}{z^{2}-t^{2}}}dt,qquad operatorname {Im} z>0}$

означает, что это свертка гауссиана с простым полюсом.

История

Таблицу функции составили Вера Фаддеева и Н. Н. Терентьева в 1954 г.^[5] Это выглядит как безымянная функция w (z) в Абрамовиц и Стегун (1964), формула 7.1.3. Название Функция Фаддеева был представлен, по-видимому, Г. П. М. Поппе и К. М. Дж. Вейерсом в 1990 г .;^{[6][нужен лучший источник ]} ранее она была известна как функция Крампа (вероятно, после Кристиан Крамп ).^[7]

Ранние реализации использовали методы Вальтер Гаучи (1969/70; Алгоритм ACM 363)^[8] или Дж. Хумличек (1982).^[9] Более эффективный алгоритм был предложен Poppe и Wijers (1990; ACM Algorithm 680).^[10] J.A.C. Вайдеман (1994) предложил особенно короткий алгоритм, который занимает не более восьми строк текста. MATLAB код.^[11] Заглул и Али указали на недостатки предыдущих алгоритмов и предложили новый (2011 г .; алгоритм ACM 916).^[2] Другой алгоритм был предложен М. Абраровым и Б.М. Куайн (2011/2012).^[12]

Реализации

Две программные реализации, которые бесплатны только для некоммерческого использования,^[13] были опубликованы в Транзакции ACM на математическом ПО (TOMS) как алгоритм 680 (в Фортран,^[14] позже переведен на C^[15]) и алгоритма 916 Заглула и Али (в MATLAB ).^[16]

А бесплатный и открытый исходный код Реализация на C или C ++, полученная из комбинации алгоритма 680 и алгоритма 916 (с использованием разных алгоритмов для разных z) также доступен под Лицензия MIT,^[17] и поддерживается как пакет библиотеки libcerf.^[18]Эта реализация также доступна как плагин для Matlab,^[17] GNU Octave,^[17] И в Python через Scipy так как scipy.special.wofz (который изначально был кодом TOMS 680, но был заменен из-за проблем с авторскими правами^[19]).

Рекомендации

1. Лехтинен, Николай Г. (23 апреля 2010 г.). «Функции ошибок» (PDF). Веб-страница Лехтинена - Стэнфордский университет. Получено 8 октября, 2019.
2. Заглул М. Р., Али А. Н., Транзакции ACM по математическому программному обеспечению 38 (2) 15 (2011)
3. Ричард Фицпатрик, Функция дисперсии плазмы, Физика плазмы конспекты лекций Техасского университета в Остине (31.03.2011).
4. Brendel, R .; Борман, Д. (1992). «Инфракрасная модель диэлектрической функции аморфных твердых тел». Журнал прикладной физики. 71 (1): 1. Bibcode:1992ЯП .... 71 .... 1Б. Дои:10.1063/1.350737. ISSN  0021-8979.
5. В. Н. Фаддеева и Н. Н. Терентьев: Таблицы значений функции ${displaystyle w(z)=exp(-z^{2})(1+2i/{sqrt {pi }} extstyle int _{0}^{z}exp(t^{2}){ ext{d}}t)}$ для сложного аргумента. Госуд. Издат. Тех.-Теор. Лит., Москва, 1954; Англ. Пер., Pergamon Press, Нью-Йорк, 1961. Непроверенная ссылка, скопировано с Поппе и Вейерс (1990).
6. Самый ранний результат поиска в Google Scholar по состоянию на октябрь 2012 г.
7. Например, в Al'pert, Space Science Reviews 6, 781 (1967), формула (3.13), со ссылкой на Фаддеева и Терентьева.
8. Ссылки 3 и 4 в Поппе и Вейерс (1990).
9. J. Humlicek, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Передача 27, 437-444 (1982).
10. Г. П. М. Поппе и К. М. Дж. Вейерс, Транзакции ACM на математическом ПО 16, 38-46 (1990).
11. J. A. C. Weideman, SIAM J. Numer. Анальный. 31, 1497-1518 (1994).
12. Абраров С.М., Куайн Б.М., Appl. Математика. Комп. 218, 1894-1902 (2011) и arXiv: 1205.1768v1 (2012).
13. «Уведомление об авторских правах на программное обеспечение».; следовательно, они не свободный в смысле бесплатное программное обеспечение с открытым исходным кодом
14. http://www.cs.kent.ac.uk/people/staff/trh/CALGO/680.gz
15. http://spec.jpl.nasa.gov/ftp/pub/calpgm/collisions/ZWOFZ.C
16. Мофрех Р. Заглул и Ахмед Н. Али "Алгоритм 916: вычисление функций Фаддеева и Фойгта," ACM Trans. Математика. Мягкий. 38 (2), 15 (2011). Препринт доступен на arXiv: 1106.0151.
17. Пакет Фаддеева, бесплатная реализация C ++ с открытым исходным кодом, по состоянию на 13 октября 2012 г.
18. "Libcerf [Научно-вычислительная группа MLZ]".
19. "Сложный код erf SciPy не является бесплатным / открытым? (Trac # 1741) · Проблема # 2260 · scipy / scipy".