Интеграл Френеля - Fresnel integral

Сюжеты S(Икс) и C(Икс). Максимум C(Икс) около 0.977451424. Если подынтегральные выражения S и C были определены с использованием π/2т² вместо т², тогда изображение будет масштабировано по вертикали и горизонтали (см. ниже).

В Интегралы Френеля S(Икс) и C(Икс) два трансцендентные функции названный в честь Огюстен-Жан Френель которые используются в оптика и тесно связаны с функция ошибки (Эрф). Они возникают при описании ближнее поле Дифракция Френеля явления и определяются через следующие интеграл представления:

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt.}$

Одновременный параметрический график из S(Икс) и C(Икс) это Спираль Эйлера (также известный как спираль Корню или клотоида). В последнее время их используют при проектировании автомобильных дорог и других инженерных сооружений.^[1]

Определение

Интегралы Френеля с аргументами π/2т² вместо т² сходиться к 1/2.

Интегралы Френеля допускают следующее расширения степенного ряда которые сходятся для всех Икс:

${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt&&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}.\\[6px]C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt&&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}}$

Некоторые широко используемые таблицы^[2][3] использовать π/2т² вместо т² для аргумента интегралов, определяющих S(Икс) и C(Икс). Это меняет их пределы на бесконечности из 1/2·√π/2 к 1/2 и длина дуги для первого витка спирали от 2π до 2 (при т = 2). Эти альтернативные функции обычно известны как нормализованные интегралы Френеля.

Спираль Эйлера

Основная статья: Спираль Эйлера

Спираль Эйлера (Икс, у) = (C(т), S(т)). Спираль сходится к центру отверстий на изображении как т стремится к положительной или отрицательной бесконечности.

В Эйлер спираль, также известный как Спираль Cornu или же клотоид, - кривая, порожденная параметрический график из S(т) против C(т). Спираль Корню была создана Мари Альфред Корню как номограмма для дифракционных расчетов в науке и технике.

Из определений интегралов Френеля бесконечно малые dx и dy таковы:

${\displaystyle {\begin{aligned}dx&=C'(t)\,dt=\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\dy&=S'(t)\,dt=\sin \left(t^{2}\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Таким образом, длина спирали, измеренная от источник можно выразить как

${\displaystyle L=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.}$

То есть параметр т длина кривой, отсчитываемая от начала координат (0, 0), а спираль Эйлера имеет бесконечный длина. Вектор (cos (т²), грех (т²)) также выражает единица измерения касательный вектор по спирали, давая θ = т². С т - длина кривой, кривизна κ можно выразить как

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dt}}=2t.}$

Таким образом, скорость изменения кривизны относительно длины кривой равна

${\displaystyle {\frac {d\kappa }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2.}$

Спираль Эйлера обладает тем свойством, что ее кривизна в любой точке пропорционально расстоянию по спирали, отсчитываемому от начала координат. Это свойство делает его полезным в качестве кривая перехода в автомобильной и железнодорожной технике: если транспортное средство движется по спирали с единичной скоростью, параметр т в приведенных выше производных также представляет время. Следовательно, транспортное средство, движущееся по спирали с постоянной скоростью, будет иметь постоянную скорость угловое ускорение.

Сечения спиралей Эйлера обычно включают в форму американские горки петли, чтобы сделать то, что известно как клотоидные петли.

Характеристики

• C(Икс) и S(Икс) находятся нечетные функции из Икс.
• Асимптотика интегралов Френеля при Икс → ∞ даются формулами:

${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {\operatorname {sgn} x}{2}}-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{x{\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {\operatorname {sgn} x}{2}}+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{x{\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Комплексный интеграл Френеля S(z)

• Используя приведенные выше разложения в степенной ряд, интегралы Френеля могут быть расширены до области значений сложные числа, где они становятся аналитические функции комплексной переменной.
• C(z) и S(z) находятся целые функции комплексной переменной z.
• Интегралы Френеля можно выразить с помощью функция ошибки следующее:^[4]

Комплексный интеграл Френеля C(z)

${\displaystyle {\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}}$

или же

${\displaystyle {\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}}$

Пределы как Икс приближается к бесконечности

Интегралы, определяющие C(Икс) и S(Икс) не может быть оценен в закрытая форма с точки зрения элементарные функции, кроме особых случаев. В пределы этих функций как Икс уходит в бесконечность, известны:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\approx 0.6267.}$

Секторный контур, используемый для вычисления пределов интегралов Френеля

Пределы C(Икс) и S(Икс) как аргумент Икс стремится к бесконечности, можно найти несколькими способами. Один из них^[5] использует контурный интеграл функции

${\displaystyle e^{-t^{2}}}$

вокруг границы сектор -образный регион в комплексная плоскость сформированный положительным Икс- ось, биссектриса первого квадранта у = Икс с Икс ≥ 0, и дугу окружности радиуса р с центром в начале координат.

В качестве р уходит в бесконечность, интеграл по дуге окружности γ₂ как правило 0

${\displaystyle \left|\int _{\gamma _{2}}e^{-t^{2}}\,dt\right|\leq \int _{\gamma _{2}}|e^{-t^{2}}|\,dt=R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\cos 2t}\,dt\leq R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\left(1-{\frac {4}{\pi }}t\right)}\,dt={\frac {\pi }{4R}}\left(1-e^{-R^{2}}\right),}$

где полярные координаты z = Re^Это были использованы и Неравенство Иордании использовалось для второго неравенства. Интеграл по действительной оси γ₁ стремится к половине Гауссовский интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.}$

Отметим также, что поскольку подынтегральное выражение является вся функция на комплексной плоскости его интеграл по всему контуру равен нулю. В целом мы должны иметь

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt=\int _{\gamma _{3}}e^{-t^{2}}\,dt,}$

куда γ₃ обозначает биссектрису первого квадранта, как на схеме. Чтобы оценить правую часть, параметризуйте биссектрису как

${\displaystyle t=re^{i{\frac {\pi }{4}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)r}$

куда р колеблется от 0 до +∞. Обратите внимание, что квадрат этого выражения просто +ir². Следовательно, подстановка дает правую часть как

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ir^{2}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dr.}$

С помощью Формула Эйлера взять реальную и мнимую части е^−ir2 дает это как

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left(\cos \left(r^{2}\right)-i\sin \left(r^{2}\right)\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dr\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {2}}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\cos \left(r^{2}\right)+\sin \left(r^{2}\right)+i\left(\cos \left(r^{2}\right)-\sin \left(r^{2}\right)\right)\right]\,dr\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+0i,\end{aligned}}}$

где мы написали 0я чтобы подчеркнуть, что исходное значение интеграла Гаусса полностью реально с нулевой мнимой частью. Сдача

${\displaystyle I_{C}=\int _{0}^{\infty }\cos \left(r^{2}\right)\,dr,\quad I_{S}=\int _{0}^{\infty }\sin \left(r^{2}\right)\,dr}$

а затем приравнивание действительной и мнимой частей дает следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными я_C и я_S:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{C}+I_{S}&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\\I_{C}-I_{S}&=0.\end{aligned}}}$

Решение этого для я_C и я_S дает желаемый результат.

Обобщение

Интегральный

${\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=\int \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}x^{m+nl}}{l!}}\,dx=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}}{(m+nl+1)}}{\frac {x^{m+nl+1}}{l!}}}$

это конфлюэнтная гипергеометрическая функция а также неполная гамма-функция^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}}$

который сводится к интегралам Френеля, если взять действительную или мнимую части:

${\displaystyle \int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right)}$.

Главный член асимптотического разложения равен

${\displaystyle _{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},}$

и поэтому

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{m}e^{ix^{n}}\,dx={\frac {1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}.}$

За м = 0, мнимая часть этого уравнения, в частности, есть

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin \left(x^{a}\right)\,dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{a}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2a}}\right),}$

с левой частью, сходящейся для а > 1 а правая часть является его аналитическим продолжением на всю плоскость меньше, где лежат полюса Γ(а⁻¹).

Преобразование Куммера конфлюэнтной гипергеометрической функции имеет вид

${\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},}$

с

${\displaystyle V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right).}$

Численное приближение

Для вычислений с произвольной точностью степенной ряд подходит для малого аргумента. При большом аргументе асимптотические разложения сходятся быстрее.^[7] Также могут использоваться методы непрерывного дробления.^[8]

Для вычисления с определенной целевой точностью были разработаны другие приближения. Коди^[9] разработал набор эффективных приближений на основе рациональных функций, которые дают относительные ошибки вплоть до 2×10⁻¹⁹. А FORTRAN реализация аппроксимации Коди, включающая значения коэффициентов, необходимых для реализации на других языках, была опубликована ван Снайдером.^[10] Боерсма разработал приближение с погрешностью менее 1.6×10⁻⁹.^[11]

Приложения

Интегралы Френеля первоначально использовались при вычислении интенсивности электромагнитного поля в среде, где свет огибает непрозрачные объекты.^[12] Совсем недавно они использовались при проектировании автомобильных и железных дорог, в частности, их переходных зон кривизны, см. кривая перехода пути.^[1] Другие приложения американские горки^[12] или вычисляя переходы на велодром трек для быстрого входа в повороты и постепенного выхода.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

• Математический портал

• Интеграл Бёмера
• Зона Френеля
• Кривая перехода трека
• Спираль Эйлера
• Зональная пластина
• Интеграл Дирихле

Примечания

1. Стюарт 2008, п. 383.
2. Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7, уравнения 7.3.1 - 7.3.2». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
3. Темме, Н. М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля: свойства», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248.
4. functions.wolfram.com, Интеграл Френеля S: представления через эквивалентные функции и Интеграл Френеля C: представления через эквивалентные функции. Примечание. Вольфрам использует соглашение Абрамовица и Стегуна, которое отличается от представленного в этой статье несколькими факторами. √​^π⁄₂.
5. Другой метод, основанный на параметрическое интегрирование описано, например, в Зайта и Гоэль 1989.
6. Матар 2012.
7. Темме, Н. М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля: асимптотические разложения», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248.
8. Press et al. 2007 г..
9. Коди 1968.
10. ван Снайдер 1993.
11. Boersma 1960.
12. Битти 2013.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Алаза, Мохаммад (2012). «Вычисление интегралов Френеля с помощью модифицированных правил трапеций». Numerische Mathematik. 128 (4): 635–661. arXiv:1209.3451. Bibcode:2012arXiv1209.3451A. Дои:10.1007 / s00211-014-0627-z. S2CID  13934493.
• Битти, Томас (2013). «Как вычислить интегралы Френеля» (PDF). FGCU Math - Лето 2013. Получено 27 июля 2013.
• Боерсма, Дж. (1960). «Вычисление интегралов Френеля». Математика. Comp. 14 (72): 380. Дои:10.1090 / S0025-5718-1960-0121973-3. МИСТЕР  0121973.
• Булирш, Роланд (1967). «Численный расчет синуса, косинуса и интегралов Френеля». Нумер. Математика. 9 (5): 380–385. Дои:10.1007 / BF02162153. S2CID  121794086.
• Коди, Уильям Дж. (1968). «Чебышевские приближения для интегралов Френеля» (PDF). Математика. Comp. 22 (102): 450–453. Дои:10.1090 / S0025-5718-68-99871-2.
• Хангелбрук, Р. Дж. (1967). «Численное приближение интегралов Френеля полиномами Чебышева». J. Eng. Математика. 1 (1): 37–50. Bibcode:1967JEnMa ... 1 ... 37H. Дои:10.1007 / BF01793638. S2CID  122271446.
• Матар, Р. Дж. (2012). «Разложение в ряд обобщенных интегралов Френеля». arXiv:1211.3963 [math.CA ].
• Нейв, Р. (2002). "Спираль Корню". (Использует π/2т² вместо т².)
• Press, W. H .; Теукольский, С. А .; Vetterling, W. T .; Фланнери, Б. П. (2007). «Раздел 6.8.1. Интегралы Френеля». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8.
• Темме, Н. М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• ван Снайдер, В. (1993). «Алгоритм 723: интегралы Френеля». ACM Trans. Математика. Softw. 19 (4): 452–456. Дои:10.1145/168173.168193. S2CID  12346795.
• Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление Ранние трансцендентальные. Cengage Learning EMEA. ISBN  978-0-495-38273-7.
• van Wijngaarden, A .; Шин, В. Л. (1949). Таблица интегралов Френеля. Verhandl. Конинк. Нед. Акад. Wetenschapen. 19.
• Zajta, Aurel J .; Гоэль, Судхир К. (1989). «Методы параметрической интеграции». Математический журнал. 62 (5): 318–322. Дои:10.1080 / 0025570X.1989.11977462.

внешняя ссылка

• Cephes, бесплатно / с открытым исходным кодом Код C ++ / C для вычисления интегралов Френеля среди других специальных функций. Используется в SciPy и АЛГЛИБ.
• Пакет Фаддеева, бесплатно / с открытым исходным кодом Код C ++ / C для вычисления сложных функций ошибок (из которых могут быть получены интегралы Френеля) с оболочками для Matlab, Python и других языков.
• «Интегралы Френеля», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• "Петли для американских горок". Архивировано из оригинал 23 сентября 2008 г.. Получено 2008-08-13.
• Вайсштейн, Эрик В. «Интегралы Френеля». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Корну Спираль". MathWorld.