Тождества внешнего исчисления - Exterior calculus identities

В математика, то внешняя алгебра имеет богатую алгебраическую структуру. Внешняя алгебра векторные поля на коллекторы имеет еще более богатую структуру, основанную на взаимодействии дифференциация на многообразии со свойствами внешней алгебры. Эта статья суммирует несколько идентичности в внешнее исчисление.^{[1][2][3][4][5]}

Обозначение

Ниже приведены краткие определения и обозначения, которые используются в этой статье.

Многообразие

${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$ находятся ${\displaystyle n}$-мерные гладкие многообразия, где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Это, дифференцируемые многообразия которые можно различать достаточно раз для целей на этой странице.

${\displaystyle p\in M}$, ${\displaystyle q\in N}$ обозначим по одной точке на каждом из многообразий.

Граница многообразие ${\displaystyle M}$ это многообразие ${\displaystyle \partial M}$, имеющий размерность ${\displaystyle n-1}$. Ориентация на ${\displaystyle M}$ индуцирует ориентацию на ${\displaystyle \partial M}$.

Обычно мы обозначаем a подмногообразие к ${\displaystyle \Sigma \subset M}$.

Касательная связка

${\displaystyle TM}$ это касательный пучок гладкого многообразия ${\displaystyle M}$.

${\displaystyle T_{p}M}$, ${\displaystyle T_{q}N}$ обозначить касательные пространства из ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$ в точках ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, соответственно.

Разделы касательных пучков, также известных как векторные поля, обычно обозначаются как ${\displaystyle X,Y,Z\in \Gamma (TM)}$ так что в какой-то момент ${\displaystyle p\in M}$ у нас есть ${\displaystyle X|_{p},Y|_{p},Z|_{p}\in T_{p}M}$.

Учитывая невырожденная билинейная форма ${\displaystyle g_{p}(\cdot ,\cdot )}$ на каждой ${\displaystyle T_{p}M}$ это непрерывно на ${\displaystyle M}$, многообразие становится псевдориманово многообразие. Обозначим метрический тензор ${\displaystyle g}$, поточечно определяемая ${\displaystyle g(X,Y)|_{p}=g_{p}(X|_{p},Y|_{p})}$. Мы называем ${\displaystyle s=\operatorname {sign} (g)}$ то подпись метрики. А Риманово многообразие имеет ${\displaystyle s=1}$, в то время как Пространство Минковского имеет ${\displaystyle s=-1}$.

k-формы

${\displaystyle k}$-формы дифференциальные формы определено на ${\displaystyle TM}$. Обозначим множество всех ${\displaystyle k}$-формируется как ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$. За ${\displaystyle 0\leq k,\ l,\ m\leq n}$ мы обычно пишем ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$, ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{l}(M)}$, ${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{m}(M)}$.

${\displaystyle 0}$-формы ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$ просто скалярные функции ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ на ${\displaystyle M}$. ${\displaystyle \mathbf {1} \in \Omega ^{0}(M)}$ обозначает постоянную ${\displaystyle 0}$-форма равна ${\displaystyle 1}$ везде.

Пропущенные элементы последовательности

Когда нам дают ${\displaystyle (k+1)}$ входы ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{k}}$ и ${\displaystyle k}$-форма ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ мы обозначаем пропуск ${\displaystyle i}$ая запись в письменной форме

${\displaystyle \alpha (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}):=\alpha (X_{0},\ldots ,X_{i-1},X_{i+1},\ldots ,X_{k}).}$

Внешний продукт

В внешний продукт также известен как клин. Обозначается он ${\displaystyle \wedge :\Omega ^{k}(M)\times \Omega ^{l}(M)\rightarrow \Omega ^{k+l}(M)}$. Внешний продукт ${\displaystyle k}$-форма ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ и ${\displaystyle l}$-форма ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{l}(M)}$ произвести ${\displaystyle (k+l)}$-форма ${\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+l}(M)}$. Его можно записать с помощью набора ${\displaystyle S(k,k+l)}$ всех перестановок ${\displaystyle \sigma }$ из ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ такой, что ${\displaystyle \sigma (1)<\ldots <\sigma (k),\ \sigma (k+1)<\ldots <\sigma (k+l)}$ так как

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(X_{1},\ldots ,X_{k+l})=\sum _{\sigma \in S(k,k+l)}{\text{sign}}(\sigma )\alpha (X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (k)})\beta (X_{\sigma (k+1)},\ldots ,X_{\sigma (k+l)}).}$

Кронштейн лжи

В Кронштейн лжи разделов ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (TM)}$ определяется как уникальный раздел ${\displaystyle [X,Y]\in \Gamma (TM)}$ это удовлетворяет

${\displaystyle \forall f\in \Omega ^{0}(M)\Rightarrow [X,Y]f=XYf-YXf.}$

Внешняя производная

В внешняя производная ${\displaystyle d_{k}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)}$ определено для всех ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$. Обычно мы опускаем нижний индекс, если это ясно из контекста.

Для ${\displaystyle 0}$-форма ${\displaystyle f\in \Omega ^{k}(M)}$ у нас есть ${\displaystyle d_{0}f\in \Omega ^{1}(M)}$ как производная по направлению ${\displaystyle 1}$-форма. т.е. в направлении ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ у нас есть ${\displaystyle (d_{0}f)(X)=Xf}$.^[6]

За ${\displaystyle 0<k\leq n}$,^[6]

${\displaystyle (d_{k}\omega )(X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{0\leq j\leq k}(-1)^{j}d_{k-1}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}))(X_{j})+\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}).}$

Касательные карты

Если ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ - гладкое отображение, то ${\displaystyle (d\phi )_{p}:T_{p}M\rightarrow T_{\phi (p)}N}$ определяет касательную карту от ${\displaystyle M}$ к ${\displaystyle N}$. Он определяется кривыми ${\displaystyle \gamma }$ на ${\displaystyle M}$ с производной ${\displaystyle \gamma '(0)=X\in T_{p}M}$ такой, что

${\displaystyle d\phi (X):=(\phi \circ \gamma )'.}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle \phi }$ это ${\displaystyle 0}$-форма со значениями в ${\displaystyle N}$.

Отступить

Если ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ - гладкое отображение, то отступление из ${\displaystyle k}$-форма ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(N)}$ определяется так, что для любого ${\displaystyle k}$ мерное подмногообразие ${\displaystyle \Sigma \subset M}$

${\displaystyle \int _{\Sigma }\phi ^{*}\alpha =\int _{\phi (\Sigma )}\alpha .}$

Откат можно также выразить как

${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (d\phi (X_{1}),\ldots ,d\phi (X_{k})).}$

Музыкальные изоморфизмы

В метрический тензор ${\displaystyle g(\cdot ,\cdot )}$ индуцирует отображения двойственности между векторными полями и одноформными: это музыкальные изоморфизмы плоский ${\displaystyle \flat }$ и острый ${\displaystyle \sharp }$. Векторное поле ${\displaystyle A\in \Gamma (TM)}$ соответствует единственной форме ${\displaystyle A^{\flat }\in \Omega ^{1}(M)}$ такое, что для всех касательных векторов ${\displaystyle X\in T_{p}M}$, у нас есть:

${\displaystyle A^{\flat }(X)=g(A,X).}$

Это распространяется через мультилинейность на отображение из ${\displaystyle k}$-векторные поля для ${\displaystyle k}$-формируется через

${\displaystyle (A_{1}\wedge A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{k})^{\flat }=A_{1}^{\flat }\wedge A_{2}^{\flat }\wedge \cdots \wedge A_{k}^{\flat }.}$

Единая форма ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)}$ соответствует единственному векторному полю ${\displaystyle \alpha ^{\sharp }\in \Gamma (TM)}$ такое, что для всех ${\displaystyle X\in T_{p}M}$, у нас есть:

${\displaystyle \alpha (X)=g(\alpha ^{\sharp },X).}$

Это отображение аналогично продолжается до отображения из ${\displaystyle k}$-формирует в ${\displaystyle k}$-векторные поля через

${\displaystyle (\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})^{\sharp }=\alpha _{1}^{\sharp }\wedge \alpha _{2}^{\sharp }\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{\sharp }.}$

Интерьерный продукт

Также известная как внутренняя производная, интерьерный продукт учитывая раздел ${\displaystyle Y\in \Gamma (TM)}$ это карта ${\displaystyle \iota _{Y}:\Omega ^{k+1}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}$ который эффективно заменяет первый вход ${\displaystyle (k+1)}$-форма с ${\displaystyle Y}$. Если ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k+1}(M)}$ и ${\displaystyle X_{i}\in \Gamma (TM)}$ тогда

${\displaystyle (\iota _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (Y,X_{1},\ldots ,X_{k}).}$

Клиффорд продукт

В Клиффорд продукт совмещает в себе предметы интерьера и экстерьера. Учитывая раздел ${\displaystyle Y\in \Gamma (T^{*}M)}$ и ${\displaystyle k}$-форма ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$, продукт Clifford создает форму в ${\displaystyle \Omega ^{k+1}(M)\oplus \Omega ^{k-1}(M)}$ определяется как

${\displaystyle Y\alpha =Y\wedge \alpha +\iota _{Y^{\flat }}\alpha }$

Произведение Клиффорда поднимается на всю алгебру, так что для ${\displaystyle m}$-форма ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{m}(M)}$, продукт Clifford создает форму в ${\displaystyle \Omega ^{k+m}(M)\oplus \Omega ^{k-m}(M)}$ определяется как

${\displaystyle \beta \alpha =\beta \wedge \alpha +(-1)^{m(m-1)/2}\iota _{\beta ^{\flat }}\alpha }$

Продукт Клиффорда используется для построения спинор поля на ${\displaystyle M}$ через точечное применение Алгебра Клиффорда. Соответствующий дифференциальный оператор, сохраняющий это произведение, есть Оператор Атьи – Зингера – Дирака.

Ходжа звезда

Для п-многообразие М, то Звездный оператор Ходжа ${\displaystyle {\star }:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{n-k}(M)}$ отображение двойственности, принимающее ${\displaystyle k}$-форма ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ для ${\displaystyle (n{-}k)}$-форма ${\displaystyle ({\star }\alpha )\in \Omega ^{n-k}(M)}$.

Его можно определить как ориентированный фрейм. ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ за ${\displaystyle TM}$, ортонормированная относительно данного метрического тензора ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle ({\star }\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{n-k})=\alpha (X_{n-k+1},\ldots ,X_{n}).}$

Ко-дифференциальный оператор

В ко-дифференциальный оператор ${\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$ на ${\displaystyle n}$ размерное многообразие ${\displaystyle M}$ определяется

${\displaystyle \delta :=(-1)^{k}{\star }^{-1}d{\star }=(-1)^{nk+n+1}{\star }d{\star }.}$

Сумма ${\displaystyle d+\delta }$ это Оператор Ходжа – Дирака, оператор типа Дирака, изученный в Клиффорд анализ.

Ориентированный коллектор

An ${\displaystyle n}$-размерный ориентируемое многообразие ${\displaystyle M}$ является многообразием, которое можно снабдить выбором ${\displaystyle n}$-форма ${\displaystyle \mu \in \Omega ^{n}(M)}$ непрерывный и ненулевой всюду на ${\displaystyle M}$.

Форма объема

На ориентируемом многообразии ${\displaystyle M}$ канонический выбор объемная форма с учетом метрического тензора ${\displaystyle g}$ и ориентация является ${\displaystyle \mathbf {det} :={\sqrt {|\det g|}}\;dX_{1}^{\flat }\wedge \ldots \wedge dX_{n}^{\flat }}$ на любой основе ${\displaystyle dX_{1},\ldots ,dX_{n}}$ приказано соответствовать ориентации.

Форма площади

Учитывая объемную форму ${\displaystyle \mathbf {det} }$ и единичный вектор нормали ${\displaystyle N}$ мы также можем определить форму площади ${\displaystyle \sigma :=\iota _{N}{\textbf {det}}}$ на граница ${\displaystyle \partial M.}$

Билинейная форма на k-формы

Обобщение метрического тензора, симметричная билинейная форма между двумя ${\displaystyle k}$-формы ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega ^{k}(M)}$, определено точечно на ${\displaystyle M}$ к

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle |_{p}:={\star }(\alpha \wedge {\star }\beta )|_{p}.}$

В ${\displaystyle L^{2}}$-билинейная форма для пространства ${\displaystyle k}$-формы ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ определяется

${\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle :=\int _{M}\alpha \wedge {\star }\beta .}$

В случае риманова многообразия каждое из них является внутренний продукт (т.е. положительно определен).

Производная Ли

Мы определяем Производная Ли ${\displaystyle {\mathcal {L}}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}$ через Магическая формула Картана для данного раздела ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ так как

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=d\circ \iota _{X}+\iota _{X}\circ d.}$

Он описывает изменение ${\displaystyle k}$-формировать по карте потока ${\displaystyle \phi _{t}}$ связанный с разделом ${\displaystyle X}$.

Оператор Лапласа – Бельтрами

В Лапласиан ${\displaystyle \Delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}$ определяется как ${\displaystyle \Delta =-(d\delta +\delta d)}$.

Важные определения

Определения на Ω^k(M)

${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ называется...

• закрыто если ${\displaystyle d\alpha =0}$
• точный если ${\displaystyle \alpha =d\beta }$ для некоторых ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{k-1}}$
• замкнутый если ${\displaystyle \delta \alpha =0}$
• согласовывать если ${\displaystyle \alpha =\delta \beta }$ для некоторых ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{k+1}}$
• гармонический если закрыто и замкнутый

Когомологии

В ${\displaystyle k}$-го когомология многообразия ${\displaystyle M}$ и его операторы внешней производной ${\displaystyle d_{0},\ldots ,d_{n-1}}$ дан кем-то

${\displaystyle H^{k}(M):={\frac {{\text{ker}}(d_{k})}{{\text{im}}(d_{k-1})}}}$

Два закрытых ${\displaystyle k}$-формы ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega ^{k}(M)}$ находятся в одном классе когомологий, если их различие является точной формой, т.е.

${\displaystyle [\alpha ]=[\beta ]\ \ \Longleftrightarrow \ \ \alpha {-}\beta =d\eta \ {\text{ for some }}\eta \in \Omega ^{k-1}(M)}$

Замкнутая поверхность рода ${\displaystyle g}$ буду иметь ${\displaystyle 2g}$ генераторы, которые являются гармоническими.

Энергия Дирихле

Данный ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\text{D}}(\alpha ):={\dfrac {1}{2}}\langle \!\langle d\alpha ,d\alpha \rangle \!\rangle +{\dfrac {1}{2}}\langle \!\langle \delta \alpha ,\delta \alpha \rangle \!\rangle }$

Характеристики

Внешние производные свойства

${\displaystyle \int _{\Sigma }d\alpha =\int _{\partial \Sigma }\alpha }$ ( Теорема Стокса )

${\displaystyle d\circ d=0}$ ( коцепьевой комплекс )

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta }$ за ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)}$ ( Правило Лейбница )

${\displaystyle df(X)=Xf}$ за ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M),\ X\in \Gamma (TM)}$ ( производная по направлению )

${\displaystyle d\alpha =0}$ за ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{n}(M),\ {\text{dim}}(M)=n}$

Внешние свойства продукта

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kl}\beta \wedge \alpha }$ за ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)}$ ( чередование )

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )\wedge \gamma =\alpha \wedge (\beta \wedge \gamma )}$ ( ассоциативность )

${\displaystyle (\lambda \alpha )\wedge \beta =\lambda (\alpha \wedge \beta )}$ за ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ( дистрибутивность скалярного умножения )

${\displaystyle \alpha \wedge (\beta _{1}+\beta _{2})=\alpha \wedge \beta _{1}+\alpha \wedge \beta _{2}}$ ( распределенность над сложением )

${\displaystyle \alpha \wedge \alpha =0}$ за ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ когда ${\displaystyle k}$ странно или ${\displaystyle \operatorname {rank} \alpha \leq 1}$. В ранг ${\displaystyle k}$-форма ${\displaystyle \alpha }$ означает минимальное количество мономиальных слагаемых (внешние продукты одной формы), которые должны быть суммированы для получения ${\displaystyle \alpha }$.

Обратные свойства

${\displaystyle d(\phi ^{*}\alpha )=\phi ^{*}(d\alpha )}$ ( коммутативен с ${\displaystyle d}$ )

${\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=(\phi ^{*}\alpha )\wedge (\phi ^{*}\beta )}$ ( распределяет по ${\displaystyle \wedge }$ )

${\displaystyle (\phi _{1}\circ \phi _{2})^{*}=\phi _{2}^{*}\phi _{1}^{*}}$ ( контравариантный )

${\displaystyle \phi ^{*}f=f\circ \phi }$ за ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(N)}$ ( функциональная композиция )

Свойства музыкального изоморфизма

${\displaystyle (X^{\flat })^{\sharp }=X}$

${\displaystyle (\alpha ^{\sharp })^{\flat }=\alpha }$

Свойства продукта для интерьера

${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0}$ ( нильпотентный )

${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{Y}=-\iota _{Y}\circ \iota _{X}}$

${\displaystyle \iota _{X}(\alpha \wedge \beta )=(\iota _{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (\iota _{X}\beta )=0}$ за ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)}$ ( Правило Лейбница )

${\displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)}$ за ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)}$

${\displaystyle \iota _{X}f=0}$ за ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

${\displaystyle \iota _{X}(f\alpha )=f\iota _{X}\alpha }$ за ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

Ходж стар недвижимость

${\displaystyle {\star }(\lambda _{1}\alpha +\lambda _{2}\beta )=\lambda _{1}({\star }\alpha )+\lambda _{2}({\star }\beta )}$ за ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} }$ ( линейность )

${\displaystyle {\star }{\star }\alpha =s(-1)^{k(n-k)}\alpha }$ за ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$, ${\displaystyle n=\dim(M)}$, и ${\displaystyle s=\operatorname {sign} (g)}$ знак метрики

${\displaystyle {\star }^{(-1)}=s(-1)^{k(n-k)}{\star }}$ ( инверсия )

${\displaystyle {\star }(f\alpha )=f({\star }\alpha )}$ за ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$ ( коммутативен с ${\displaystyle 0}$-формы )

${\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\alpha \rangle \!\rangle =\langle \!\langle {\star }\alpha ,{\star }\alpha \rangle \!\rangle }$ за ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)}$ ( Ходж звездные консервы ${\displaystyle 1}$-форма нормы )

${\displaystyle {\star }\mathbf {1} =\mathbf {det} }$ ( Двойственный по Ходжу постоянной функции 1 - это форма объема )

Свойства ко-дифференциального оператора

${\displaystyle \delta \circ \delta =0}$ ( нильпотентный )

${\displaystyle {\star }\delta =(-1)^{k}d{\star }}$ и ${\displaystyle {\star }d=(-1)^{k+1}\delta {\star }}$ ( Ходж примыкает к ${\displaystyle d}$ )

${\displaystyle \langle \!\langle d\alpha ,\beta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \alpha ,\delta \beta \rangle \!\rangle }$ если ${\displaystyle \partial M=0}$ ( ${\displaystyle \delta }$ примыкает к ${\displaystyle d}$ )

${\displaystyle \delta f=0}$ за ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

Свойства производной Ли

${\displaystyle d\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ d}$ ( коммутативен с ${\displaystyle d}$ )

${\displaystyle \iota _{X}\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ \iota _{X}}$ ( коммутативен с ${\displaystyle \iota _{X}}$ )

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\alpha )=\iota _{[X,Y]}\alpha +\iota _{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}$ ( Правило Лейбница )

Тождества внешнего исчисления

${\displaystyle \iota _{X}({\star }\mathbf {1} )={\star }X^{\flat }}$ если ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

${\displaystyle \iota _{X}({\star }\alpha )=(-1)^{k}{\star }(X^{\flat }\wedge \alpha )}$ если ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle \iota _{X}(\phi ^{*}\alpha )=\phi ^{*}(\iota _{d\phi (X)}\alpha )}$

${\displaystyle \nu ,\mu \in \Omega ^{n}(M),\mu {\text{ non-zero }}\ \Rightarrow \ \exists \ f\in \Omega ^{0}(M):\ \nu =f\mu }$

${\displaystyle X^{\flat }\wedge {\star }Y^{\flat }=g(X,Y)({\star }\mathbf {1} )}$ ( билинейная форма )

${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}$ ( Личность Якоби )

Размеры

Если ${\displaystyle n=\dim M}$

${\displaystyle \dim \Omega ^{k}(M)={\binom {n}{k}}}$ за ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle \dim \Omega ^{k}(M)=0}$ за ${\displaystyle k<0,\ k>n}$

Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\in \Gamma (TM)}$ это основа, то основа ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ является

${\displaystyle \{X_{\sigma (1)}^{\flat }\wedge \ldots \wedge X_{\sigma (k)}^{\flat }\ :\ \sigma \in S(k,n)\}}$

Товары для экстерьера

Позволять ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha _{i}\in \Omega ^{1}(M)}$ и ${\displaystyle X,Y,Z,X_{i}}$ быть векторными полями.

${\displaystyle \alpha (X)=\det {\begin{bmatrix}\alpha (X)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(X,Y)=\det {\begin{bmatrix}\alpha (X)&\alpha (Y)\\\beta (X)&\beta (Y)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta \wedge \gamma )(X,Y,Z)=\det {\begin{bmatrix}\alpha (X)&\alpha (Y)&\alpha (Z)\\\beta (X)&\beta (Y)&\beta (Z)\\\gamma (X)&\gamma (Y)&\gamma (Z)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle (\alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{l})(X_{1},\ldots ,X_{l})=\det {\begin{bmatrix}\alpha _{1}(X_{1})&\alpha _{1}(X_{2})&\dots &\alpha _{1}(X_{l})\\\alpha _{2}(X_{1})&\alpha _{2}(X_{2})&\dots &\alpha _{2}(X_{l})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{l}(X_{1})&\alpha _{l}(X_{2})&\dots &\alpha _{l}(X_{l})\end{bmatrix}}}$

Проекция и отвержение

${\displaystyle (-1)^{k}\iota _{X}{\star }\alpha ={\star }(X^{\flat }\wedge \alpha )}$ ( интерьерный продукт ${\displaystyle \iota _{X}{\star }}$ двойной клин ${\displaystyle X^{\flat }\wedge }$ )

${\displaystyle (\iota _{X}\alpha )\wedge {\star }\beta =\alpha \wedge {\star }(X^{\flat }\wedge \beta )}$ за ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k+1}(M),\beta \in \Omega ^{k}(M)}$

Если ${\displaystyle |X|=1,\ \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$, тогда

• ${\displaystyle \iota _{X}\circ (X^{\flat }\wedge ):\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}$ это проекция из ${\displaystyle \alpha }$ на ортогональное дополнение к ${\displaystyle X}$.
• ${\displaystyle (X^{\flat }\wedge )\circ \iota _{X}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}$ это отказ из ${\displaystyle \alpha }$, оставшаяся часть проекции.
• таким образом ${\displaystyle \iota _{X}\circ (X^{\flat }\wedge )+(X^{\flat }\wedge )\circ \iota _{X}={\text{id}}}$ ( проекция – отклонение декомпозиции )

Учитывая границу ${\displaystyle \partial M}$ с единичным вектором нормали ${\displaystyle N}$

• ${\displaystyle \mathbf {t} :=\iota _{N}\circ (N^{\flat }\wedge )}$ извлекает тангенциальная составляющая границы.
• ${\displaystyle \mathbf {n} :=({\text{id}}-\mathbf {t} )}$ извлекает нормальный компонент границы.

Выражения суммы

${\displaystyle (d\alpha )(X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{0\leq j\leq k}(-1)^{j}d(\alpha (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}))(X_{j})+\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\alpha ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k})}$

${\displaystyle (d\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}(\nabla _{X_{i}}\alpha )(X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})}$

${\displaystyle (\delta \alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k-1})=-\sum _{i=1}^{n}(\iota _{E_{i}}(\nabla _{E_{i}}\alpha ))(X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})}$ с учетом положительно ориентированной ортонормированной системы отсчета ${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{n}}$.

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(\nabla _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})-\sum _{i=1}^{k}\alpha (X_{1},\ldots ,\nabla _{X_{i}}Y,\ldots ,X_{k})}$

Разложение Ходжа

Если ${\displaystyle \partial M=\emptyset }$, ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)\Rightarrow \exists \alpha \in \Omega ^{k-1},\ \beta \in \Omega ^{k+1},\ \gamma \in \Omega ^{k}(M),\ d\gamma =0,\ \delta \gamma =0}$ такой, что^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle \omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma }$

Лемма Пуанкаре

Если безграничное многообразие ${\displaystyle M}$ имеет тривиальные когомологии ${\displaystyle H^{k}(M)=\{0\}}$, то для любых закрытых ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$, Существует ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k-1}(M)}$ такой, что ${\displaystyle \omega =d\alpha }$. Это так, если M является стягиваемый.

Связь с векторным исчислением

Смотрите также: Тождества векторного исчисления

Тождества в трехмерном евклидовом пространстве

Позволять Евклидова метрика ${\displaystyle g(X,Y):=\langle X,Y\rangle =X\cdot Y}$.

Мы используем ${\displaystyle \nabla =\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$ дифференциальный оператор ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \iota _{X}\alpha =g(X,\alpha ^{\sharp })=X\cdot \alpha ^{\sharp }}$ за ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)}$.

${\displaystyle \operatorname {det} (X,Y,Z)=\langle X,Y\times Z\rangle =\langle X\times Y,Z\rangle }$ ( перекрестное произведение )

${\displaystyle {\star }(\alpha \wedge \beta )=\alpha ^{\sharp }\times \beta ^{\sharp }}$

${\displaystyle \iota _{X}\alpha =-(X\times A)^{\flat }}$ если ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{2}(M),\ A=({\star }\alpha )^{\sharp }}$

${\displaystyle X\cdot Y={\star }(X^{\flat }\wedge {\star }Y^{\flat })}$ ( скалярное произведение )

${\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }}$ ( градиент ${\displaystyle 1}$-форма )

${\displaystyle X\cdot \nabla f=df(X)}$ ( производная по направлению )

${\displaystyle \nabla \cdot X={\star }d{\star }X^{\flat }=\delta X^{\flat }}$ ( расхождение )

${\displaystyle \nabla \times X=({\star }dX^{\flat })^{\sharp }}$ ( завиток )

${\displaystyle \langle X,N\rangle \sigma ={\star }X^{\flat }}$ куда ${\displaystyle N}$ - единичный вектор нормали ${\displaystyle \partial M}$ и ${\displaystyle \sigma =\iota _{N}\mathbf {det} }$ форма площади на ${\displaystyle \partial M}$.

${\displaystyle \int _{\Sigma }d{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }\langle X,N\rangle \sigma }$ ( теорема расходимости )

Производные Ли

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=X\cdot \nabla f}$ ( ${\displaystyle 0}$-формы )

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\alpha =(\nabla _{X}\alpha ^{\sharp })^{\flat }+g(\alpha ^{\sharp },\nabla X)}$ ( ${\displaystyle 1}$-формы )

${\displaystyle {\star }{\mathcal {L}}_{X}\beta =\left(\nabla _{X}B-\nabla _{B}X+({\text{div}}X)B\right)^{\flat }}$ если ${\displaystyle B=({\star }\beta )^{\sharp }}$ ( ${\displaystyle 2}$-форма на ${\displaystyle 3}$-многообразия )

${\displaystyle {\star }{\mathcal {L}}_{X}\rho =dq(X)+({\text{div}}X)q}$ если ${\displaystyle \rho ={\star }q\in \Omega ^{0}(M)}$ ( ${\displaystyle n}$-формы )

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\mathbf {det} )=({\text{div}}(X))\mathbf {det} }$

Рекомендации

1. Крейн, Кинан; де Гус, Фернандо; Дебрен, Матье; Шредер, Питер (21 июля 2013 г.). Цифровая обработка геометрии с дискретным внешним исчислением. Продолжение курсов SIGGRAPH '13 ACM SIGGRAPH 2013. С. 1–126. Дои:10.1145/2504435.2504442. ISBN  9781450323390.
2. Шварц, Гюнтер (1995). Разложение Ходжа - метод решения краевых задач. Springer. ISBN  978-3-540-49403-4.
3. Картан, Анри (26 мая 2006 г.). Дифференциальные формы (Дуврский ред.). Dover Publications. ISBN  978-0486450100.
4. Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. (16 мая 1995 г.). Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Springer. ISBN  978-0387906133.
5. Авраам, Ральф; J.E., Marsden; Ратиу, Тюдор (6 декабря 2012 г.). Многообразия, тензорный анализ и приложения (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  978-1-4612-1029-0.
6. Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 34, 233. ISBN  9781441974006. OCLC  682907530.