Форма сохранения - Conservation form

Форма сохранения или же Эйлерова форма относится к расположению уравнение или же система уравнений, обычно представляющий гиперболическая система, который подчеркивает, что представленное свойство сохраняется, т. е. тип уравнение неразрывности. Этот термин обычно используется в контексте механика сплошной среды.

Общая форма

Уравнения в форме сохранения принимают вид

${\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}+\nabla \cdot f(\xi )=0}$

для любого консервированного количества ${\displaystyle \xi }$, с подходящей функцией ${\displaystyle f}$. Уравнение такого вида можно преобразовать в интегральное уравнение

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V}\xi dV=\int _{\partial V}f(\xi )\cdot \nu ~dS}$

с использованием теорема расходимости. Интегральное уравнение утверждает, что скорость изменения интеграла величины ${\displaystyle \xi }$ над произвольной контрольной громкостью ${\displaystyle V}$ дается поток ${\displaystyle f(\xi )}$ через границу контрольного объема, с ${\displaystyle \nu }$ будучи нормальная поверхность через границу. ${\displaystyle \xi }$ не производится и не потребляется внутри ${\displaystyle V}$ и, следовательно, сохраняется. Типичный выбор для ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle f(\xi )=\xi \mathbf {u} }$, со скоростью ${\displaystyle \mathbf {u} }$, что означает, что величина ${\displaystyle \xi }$ течет с заданным полем скорости.

Интегральная форма таких уравнений обычно является физически более естественной формулировкой, а дифференциальное уравнение возникает в результате дифференцирования. Поскольку интегральное уравнение также может иметь недифференцируемые решения, равенство обеих формулировок в некоторых случаях может нарушаться, что приводит к слабые решения и серьезные численные трудности при моделировании таких уравнений.

Пример

Примером системы уравнений, записанных в форме сохранения, являются Уравнения Эйлера потока жидкости:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

${\displaystyle {\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=0}$

${\displaystyle {\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+pV))=0}$

Каждый из них представляет сохранение массы, импульс и энергия, соответственно.

Смотрите также

• Закон сохранения
• Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения

дальнейшее чтение

• Торо, Э. Ф. (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики. Springer-Verlag. ISBN  3-540-65966-8.
• Рэндалл Дж. Левек: Методы конечных объемов для гиперболических задач. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002 г., ISBN  0-521-00924-3 (Кембриджские тексты по прикладной математике).