Состав без сетки с обобщенной деформацией - Generalized-strain mesh-free formulation

В генерализованная деформация без сетки (GSMF) формулировка является локальным бессеточным методом в области числовой анализ, полностью свободная от интеграции, работающая как словосочетание взвешенно-остаточной слабой формы. Этот метод был впервые представлен Oliveira и Portela (2016),^[1] с целью дальнейшего повышения вычислительной эффективности бессеточные методы в численном анализе. Локальные бессеточные методы выводятся с помощью формулировки взвешенной невязки, которая приводит к локальной слабой форме, которая является хорошо известной рабочая теорема теории конструкций. В произвольной локальной области рабочая теорема устанавливает энергетическое соотношение между статически допустимым полем напряжений и независимым кинематически допустимым полем деформаций. Основываясь на независимости этих двух полей, эта формулировка приводит к локальной форме рабочей теоремы, которая сводится только к регулярным граничным членам, без интегрирования и без объемный замок.

Преимущества перед методы конечных элементов заключаются в том, что GSMF не полагается на сетку и более точен и быстрее решает двумерные задачи. По сравнению с другими бессеточными методами, такими как смещение твердого тела без сетки (RBDMF) формулировка безэлементный Галёркин (EFG)^[2] и бессеточный местный Петров-Галеркин метод конечных объемов (MLPG FVM);^[3] GSMF оказался лучше не только по вычислительной эффективности, но и по точности.^[4]

В перемещение наименьших квадратов (MLS) приближение упругого поля используется в этой локальной бессеточной постановке.

Формулировка

В локальной форме теоремы о работе уравнение:

${\displaystyle \int _{\Gamma _{Q}}\mathbf {t} ^{T}\mathbf {u} ^{*}d\Gamma +\int _{\Omega _{Q}}\mathbf {b} ^{T}\mathbf {u} ^{*}d\Omega =\int _{\Omega _{Q}}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}d\Omega .}$

Поле смещения ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$, предполагалась как непрерывная функция, приводящая к регулярной интегрируемой функции, которая является кинематически допустимым полем деформаций ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}}$. Однако это предположение о непрерывности ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$, применяемый в локальной форме рабочей теоремы, не является абсолютно необходимым, но может быть ослаблен для удобства при условии ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}}$ может быть полезен как обобщенная функция в смысле теории распределений, см. Гельфанд и Шилов.^[5] Следовательно, в этой формулировке считается, что поле смещения ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$, является кусочно-непрерывной функцией, определяемой в терминах ступенчатой ​​функции Хевисайда и, следовательно, соответствующего поля деформации ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}}$, является обобщенной функцией, определенной в терминах Дельта-функция Дирака.

Для простоты, имея дело с дельта-функциями Хевисайда и Дирака в двумерном координатном пространстве, рассмотрим скалярную функцию ${\displaystyle d}$, определяется как:

${\displaystyle d=\lVert \ \mathbf {x} -\mathbf {x} _{Q}\rVert }$

который представляет собой функцию абсолютного значения расстояния между полевой точкой ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и конкретный ориентир ${\displaystyle \mathbf {x} _{Q}}$, в локальном домене ${\displaystyle \Omega _{Q}\cup \Gamma _{Q}}$ назначен полевому узлу ${\displaystyle Q}$. Следовательно, это определение всегда предполагает ${\displaystyle d=d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{Q})\geq 0}$, как положительное или нулевое значение, в этом случае всякий раз, когда ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {x} _{Q}}$ являются совпадающими точками.

Для скалярной координаты ${\displaystyle d\supset d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{Q})}$, то Ступенчатая функция Хевисайда можно определить как

${\displaystyle H(d)=1\,\,\,\,\,\,if\,\,\,\,\,d\leq 0\,\,\,\,\,\,(d=0\,\,\,for\,\,\,\mathbf {x} \equiv \mathbf {x} _{Q})}$

${\displaystyle H(d)=0\,\,\,\,\,\,if\,\,\,\,\,d>0\,\,\,\,\,\,(\mathbf {x} \neq \mathbf {x} _{Q})}$

в котором разрыв предполагается при ${\displaystyle \mathbf {x} _{Q}}$ и, следовательно, Дельта-функция Дирака определяется со следующими свойствами

${\displaystyle \delta (d)=H'(d)=\infty \,\,\,\,\,\,if\,\,\,\,\,d=0\,\,\,that\,\,is\,\,\,\mathbf {x} \equiv \mathbf {x} _{Q}}$

${\displaystyle \delta (d)=H'(d)=0\,\,\,\,\,\,if\,\,\,\,\,d\neq 0\,\,\,(d>0\,\,\,for\,\,\,\mathbf {x} \neq \mathbf {x} _{Q})}$

и

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (d)\,dd=1}$

в котором ${\displaystyle H'(d)}$ представляет производная по распределению из ${\displaystyle H(d)}$. Обратите внимание, что производная от ${\displaystyle H(d)}$, по координате ${\displaystyle x_{i}}$, можно определить как

${\displaystyle H(d)_{,i}=H'(d)\,\,d_{,i}=\delta (d)\,\,d_{,i}=\delta (d)\,\,n_{i}}$

Поскольку на результат этого уравнения не влияет какое-либо конкретное значение постоянной ${\displaystyle n_{i}}$, эта константа будет удобно переопределена позже.

Считают, что ${\displaystyle d_{l}}$, ${\displaystyle d_{j}}$ и ${\displaystyle d_{k}}$ представляют функцию расстояния ${\displaystyle d}$, для соответствующих точек коллокации ${\displaystyle \mathbf {x} _{l}}$, ${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$. Поле смещения ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}(\mathbf {x} )}$, можно удобно определить как

${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}(\mathbf {x} )={\Bigg [}{\frac {L_{i}}{n_{i}}}\,\sum _{l=1}^{n_{i}}H(d_{l})+{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\,\sum _{j=1}^{n_{t}}H(d_{j})+{\frac {S}{n_{\Omega }}}\,\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}H(d_{k}){\Bigg ]}\mathbf {e} }$

в котором ${\displaystyle \mathbf {e} =[1\,\,\,\,1]^{T}}$ представляет собой метрику ортогональных направлений и ${\displaystyle n_{i}}$, ${\displaystyle n_{t}}$ и ${\displaystyle n_{\Omega }}$ представляют количество точек коллокации, соответственно, на локальной внутренней границе ${\displaystyle \Gamma _{Qi}=\Gamma _{Q}-\Gamma _{Qt}-\Gamma _{Qu}}$ с длиной ${\displaystyle L_{i}}$, на локальной статической границе ${\displaystyle \Gamma _{Qt}}$ с длиной ${\displaystyle L_{t}}$ и в локальном домене ${\displaystyle \Omega _{Q}}$ с площадью ${\displaystyle S}$. Это предполагаемое поле смещения ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}(\mathbf {x} )}$, дискретное смещение твердотельной единицы, определенное в точках коллокации. Поле деформации ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}(\mathbf {x} )}$, дан кем-то

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}^{*}(\mathbf {x} )=\mathbf {L} \,\mathbf {u} ^{*}(\mathbf {x} )={\Bigg [}{\frac {L_{i}}{n_{i}}}\,\sum _{l=1}^{n_{i}}\mathbf {L} \,H(d_{l})+{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\,\sum _{j=1}^{n_{t}}\mathbf {L} \,H(d_{j})+{\frac {S}{n_{\Omega }}}\,\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\mathbf {L} \,H(d_{k}){\Bigg ]}\mathbf {e} ={\Bigg [}{\frac {L_{i}}{n_{i}}}\,\sum _{l=1}^{n_{i}}\,\delta (d_{l})\,\mathbf {n} ^{T}\,+{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\,\sum _{j=1}^{n_{t}}\,\delta (d_{j})\,\mathbf {n} ^{T}\,+{\frac {S}{n_{\Omega }}}\,\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\,\delta (d_{k})\,\mathbf {n} ^{T}{\Bigg ]}\mathbf {e} }$

Определив компоненты смещения и деформации кинематически допустимого поля, теорему о локальной работе можно записать в виде

${\displaystyle {\frac {L_{i}}{n_{i}}}\sum _{l=1}^{n_{i}}\,\int \limits _{\Gamma _{Q}-\Gamma _{Qt}}\!\!\!\!\!\!\mathbf {t} ^{T}H(d_{l})\mathbf {e} \,d\Gamma +{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\sum _{j=1}^{n_{t}}\,\int \limits _{\Gamma _{Qt}}\!{\overline {\mathbf {t} }}^{T}H(d_{j})\mathbf {e} \,d\Gamma +{\frac {S}{n_{\Omega }}}\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\,\int \limits _{\Omega _{Q}}\mathbf {b} ^{T}H(d_{k})\mathbf {e} \,d\Omega ={\frac {S}{n_{\Omega }}}\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\,\int \limits _{\Omega _{Q}}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\delta (d_{k})\,\mathbf {n} ^{T}\mathbf {e} \,d\Omega .}$

Принимая во внимание свойства Ступенчатая функция Хевисайда и Дельта-функция Дирака, это уравнение просто приводит к

${\displaystyle {\frac {L_{i}}{n_{i}}}\sum _{l=1}^{n_{i}}\,\mathbf {t} _{\mathbf {x} _{l}}=-\,{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\sum _{j=1}^{n_{t}}\,{\overline {\mathbf {t} }}_{\mathbf {x} _{j}}-\,{\frac {S}{n_{\Omega }}}\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\,\mathbf {b} _{\mathbf {x} _{k}}}$

Дискретность этого уравнения может быть проведена с помощью приближения MLS для локальной области ${\displaystyle \Omega _{Q}}$, в терминах узловых неизвестных ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений, которую можно записать как

${\displaystyle {\frac {L_{i}}{n_{i}}}\sum _{l=1}^{n_{i}}\,\mathbf {n} _{\mathbf {x} _{l}}\mathbf {D} \mathbf {B} _{\mathbf {x} _{l}}{\hat {\mathbf {u} }}=-\,{\frac {L_{t}}{n_{t}}}\sum _{j=1}^{n_{t}}\,{\overline {\mathbf {t} }}_{\mathbf {x} _{j}}-\,{\frac {S}{n_{\Omega }}}\sum _{k=1}^{n_{\Omega }}\,\mathbf {b} _{\mathbf {x} _{k}}}$

или просто

${\displaystyle \mathbf {K} _{Q}\,{\hat {\mathbf {u} }}=\mathbf {F} _{Q}}$

Эта формулировка утверждает равновесие тяги и объемных сил, поточечно определенное в точках коллокации, очевидно, это поточечный вариант Принцип напряжений Эйлера-Коши. Это уравнение используется в Состав без сетки с обобщенными деформациями (GSMF) который, следовательно, свободен от интеграции. Поскольку рабочая теорема является слабой формой с взвешенным остатком, легко увидеть, что эта формулировка без интегрирования является не чем иным, как коллокацией слабой формы с взвешенным остатком. Коллокация взвешенной остаточной слабой формы легко преодолевает хорошо известные трудности, создаваемые коллокацией взвешенной остаточной сильной формы,^[6] относительно точности и стабильности решения.

Смотрите также

• Перемещение наименьших квадратов
• Метод конечных элементов
• Метод граничных элементов
• Meshfree методы
• Числовой анализ
• Вычислительная Механика твердого тела

Рекомендации

1. Оливейра, Т. и А. Портела (2016). «Слабая форма коллокации - локальный бессеточный метод линейной упругости». Инженерный анализ с граничными элементами.
2. Беличко, Т., Ю. Ю. Лу и Л. Гу (1994). «Безэлементные методы Галеркина». Международный журнал численных методов в инженерии. 37.2, стр. 229–256.
3. Атлури, С.Н., З.Д. Хан и А. Раджендран (2004). «Новая реализация бессеточного метода конечных объемов с помощью смешанного подхода MLPG». CMES: компьютерное моделирование в технике и науке. 6. С. 491–513.
4. Оливейра, Т. и А. Портела (2016). «Сравнительное исследование бессеточной формулировки коллокации слабой формы и других бессеточных методов». Труды XXXVII Иберийско-латиноамериканского конгресса по вычислительным методам в технике. ABMEC, Бразилия
5. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. (1964). Обобщенные функции. Том I, Academic Press, Нью-Йорк.
6. Канса, Э.Дж., (1990) "Мультиквадрика: схема аппроксимации разбросанных данных с приложениями к вычислительной гидродинамике", Компьютеры и математика с приложениями, 19(8-9), 127--145.