Схема MUSCL - MUSCL scheme

При изучении уравнения в частных производных, то Схема MUSCL это метод конечных объемов которые могут обеспечить высокоточные численные решения для данной системы, даже в тех случаях, когда решения демонстрируют удары, разрывы или большие градиенты. MUSCL означает Монотонная ориентированная вверх по течению схема для законов сохранения (van Leer, 1979), и этот термин был введен в основополагающей статье Брэм ван Леер (ван Леер, 1979). В этой статье он построил первый высокого порядка, общее уменьшение вариации (TVD) схема, в которой он получил пространственную точность второго порядка.

Идея состоит в замене кусочно-постоянной аппроксимации Схема Годунова по реконструированным состояниям, полученным из усредненных по ячейкам состояний, полученных на предыдущем временном шаге. Для каждой ячейки получаются восстановленные левое и правое состояния с ограничением наклона, которые используются для расчета потоков на границах (краях) ячеек. Эти потоки, в свою очередь, могут использоваться как входные для Решатель Римана, после чего решения усредняются и используются для продвижения решения во времени. В качестве альтернативы флюсы можно использовать в Без решателя Римана схемы, которые по сути являются схемами типа Русанова.

Линейная реконструкция

1D адвективное уравнение ${displaystyle u_{t}+u_{x}=0}$, при этом ступенчатая волна распространяется вправо. Показывает аналитическое решение вместе с моделированием, основанным на схеме пространственной дискретизации против ветра первого порядка.

Мы рассмотрим основы схемы MUSCL, рассмотрев следующую простую скалярную одномерную систему первого порядка, в которой предполагается, что волна распространяется в положительном направлении:

${displaystyle u_{t}+F_{x}left(uight)=0.,}$

Где ${displaystyle u}$ представляет переменную состояния и ${displaystyle F}$ представляет поток Переменная.

Базовая схема Годунова использует кусочно-постоянные аппроксимации для каждой ячейки и приводит к дискретизации против ветра вышеупомянутой проблемы первого порядка с центрами ячеек, индексируемыми как ${displaystyle i}$. Полудискретную схему можно определить следующим образом:

${displaystyle {frac {mathrm {d} u_{i}}{mathrm {d} t}}+{frac {1}{Delta x_{i}}}left[Fleft(u_{i}ight)-Fleft(u_{i-1}ight)ight]=0.}$

Эта базовая схема не справляется с ударами или резкими разрывами, поскольку они имеют тенденцию размазываться. Пример этого эффекта показан на диаграмме напротив, которая иллюстрирует одномерное уравнение адвективы со ступенчатой ​​волной, распространяющейся вправо. Моделирование проводилось с сеткой из 200 ячеек и использовался 4-й порядок Рунге-Кутта интегратор времени (РК4).

Чтобы обеспечить более высокое разрешение разрывов, схему Годунова можно расширить, чтобы использовать кусочно-линейные аппроксимации каждой ячейки, что приводит к центральная разница схема, которая второго порядка точен в пространстве. Кусочно-линейные приближения получаются из

${displaystyle uleft(xight)=u_{i}+{frac {left(x-x_{i}ight)}{left(x_{i+1}-x_{i}ight)}}left(u_{i+1}-u_{i}ight)qquad forall xin (x_{i},x_{i+1}].}$

Таким образом, оценивая потоки на краях ячейки, получаем следующую полудискретную схему

${displaystyle {frac {mathrm {d} u_{i}}{mathrm {d} t}}+{frac {1}{Delta x_{i}}}left[Fleft(u_{i+1/2}ight)-Fleft(u_{i-1/2}ight)ight]=0,}$

1D адвективное уравнение ${displaystyle u_{t}+u_{x}=0}$, при этом ступенчатая волна распространяется вправо. Показывает аналитическое решение вместе с моделированием, основанным на схеме пространственной дискретизации с центральными разностями второго порядка.

куда ${displaystyle u_{i+1/2}}$ и ${displaystyle u_{i-1/2}}$ - кусочно-приближенные значения переменных края ячейки, т.е.,

${displaystyle u_{i+1/2}=0.5left(u_{i}+u_{i+1}ight),}$

${displaystyle u_{i-1/2}=0.5left(u_{i-1}+u_{i}ight).}$

Хотя приведенная выше схема второго порядка обеспечивает большую точность для гладких решений, она не является общее уменьшение вариации (TVD) и вводит паразитные колебания в раствор, где присутствуют разрывы или удары. Пример этого эффекта показан на диаграмме напротив, которая иллюстрирует одномерное уравнение адвективы. ${displaystyle ,u_{t}+u_{x}=0}$, со ступенчатой ​​волной, распространяющейся вправо. Этой потери точности следовало ожидать из-за Теорема Годунова. Моделирование проводилось с сеткой из 200 ячеек и с использованием RK4 для интегрирования по времени.

Пример линейной экстраполяции левого и правого состояния MUSCL.

Численные схемы на основе MUSCL расширяют идею использования линейной кусочной аппроксимации для каждой ячейки с помощью склон ограничен левые и правые экстраполированные состояния. Это приводит к следующей схеме дискретизации TVD с высоким разрешением:

${displaystyle {frac {mathrm {d} u_{i}}{mathrm {d} t}}+{frac {1}{Delta x_{i}}}left[Fleft(u_{i+1/2}^{*}ight)-Fleft(u_{i-1/2}^{*}ight)ight]=0.}$

Что, в качестве альтернативы, можно записать в более сжатой форме:

${displaystyle {frac {mathrm {d} u_{i}}{mathrm {d} t}}+{frac {1}{Delta x_{i}}}left[F_{i+1/2}^{*}-F_{i-1/2}^{*}ight]=0.}$

Числовые потоки ${displaystyle F_{ipm 1/2}^{*}}$ соответствуют нелинейной комбинации первого и второго приближений к непрерывной функции потока.

Символы ${displaystyle u_{i+1/2}^{*}}$ и ${displaystyle u_{i-1/2}^{*}}$ представляют функции, зависящие от схемы (ограниченных экстраполированных переменных края ячейки), т.е.,

${displaystyle u_{i+1/2}^{*}=u_{i+1/2}^{*}left(u_{i+1/2}^{L},u_{i+1/2}^{R}ight),u_{i-1/2}^{*}=u_{i-1/2}^{*}left(u_{i-1/2}^{L},u_{i-1/2}^{R}ight),}$

где при подветренном спуске:

${displaystyle u_{i+1/2}^{L}=u_{i}+0.5phi left(r_{i}ight)left(u_{i+1}-u_{i}ight),u_{i+1/2}^{R}=u_{i+1}-0.5phi left(r_{i+1}ight)left(u_{i+2}-u_{i+1}ight),}$

${displaystyle u_{i-1/2}^{L}=u_{i-1}+0.5phi left(r_{i-1}ight)left(u_{i}-u_{i-1}ight),u_{i-1/2}^{R}=u_{i}-0.5phi left(r_{i}ight)left(u_{i+1}-u_{i}ight),}$

и

${displaystyle r_{i}={frac {u_{i}-u_{i-1}}{u_{i+1}-u_{i}}}.}$

Функция ${displaystyle phi left(r_{i}ight)}$ является функцией-ограничителем, которая ограничивает наклон кусочных приближений, чтобы гарантировать, что решение является TVD, тем самым предотвращая паразитные колебания, которые в противном случае возникли бы вокруг разрывов или ударов - см. Ограничитель потока раздел. Ограничитель равен нулю при ${displaystyle rleq 0}$ и равна единице, когда ${displaystyle r=1}$. Таким образом, точность TVD-дискретизации ухудшается до первого порядка на локальных экстремумах, но стремится ко второму порядку на гладких участках области.

Алгоритм прост в реализации. Однажды подходящая схема для ${displaystyle F_{i+1/2}^{*}}$ был выбран, например Схема Курганова и Тадмора (см. ниже) решение можно продолжить с использованием стандартных методов численного интегрирования.

Центральная схема Курганова и Тадмора

Предшественник Курганов и Тадмор (КТ) центральная схема, (Курганов, Тадмор, 2000), является Нессяху и Тадмор (NT) в шахматном порядке центральная схема, (Нессяху и Тадмор, 1990). Это не использующий римана решатель, второй порядок, схема высокого разрешения который использует реконструкцию MUSCL. Это полностью дискретный метод, который легко реализовать и может использоваться на скаляр и вектор проблемы, и его можно рассматривать как поток Русанова (в чрезмерной степени называемый потоком Лакса-Фридрихса), дополненный реконструкциями высокого порядка. Алгоритм основан на центральные различия с сопоставимой производительностью с решателями типа Римана при использовании для получения решений для описывающих систем PDE, которые демонстрируют явления высокого градиента.

Схема KT расширяет схему NT и имеет меньшую числовую вязкость, чем исходная схема NT. У него также есть дополнительное преимущество, заключающееся в том, что он может быть реализован как полностью дискретный или же полудискретный схема. Здесь мы рассматриваем полудискретную схему.

Расчет показан ниже:

${displaystyle F_{i-{frac {1}{2}}}^{*}={frac {1}{2}}left{left[Fleft(u_{i-{frac {1}{2}}}^{R}ight)+Fleft(u_{i-{frac {1}{2}}}^{L}ight)ight]-a_{i-{frac {1}{2}}}left[u_{i-{frac {1}{2}}}^{R}-u_{i-{frac {1}{2}}}^{L}ight]ight}.}$

${displaystyle F_{i+{frac {1}{2}}}^{*}={frac {1}{2}}left{left[Fleft(u_{i+{frac {1}{2}}}^{R}ight)+Fleft(u_{i+{frac {1}{2}}}^{L}ight)ight]-a_{i+{frac {1}{2}}}left[u_{i+{frac {1}{2}}}^{R}-u_{i+{frac {1}{2}}}^{L}ight]ight}.}$

1D адвективное уравнение ${displaystyle u_{t}+u_{x}=0}$, при этом ступенчатая волна распространяется вправо. Показано аналитическое решение вместе с моделированием на основе центральной схемы Курганова и Тадмора с ограничителем SuperBee.

Где местная скорость распространения, ${displaystyle a_{ipm {frac {1}{2}}} }$, - максимальное абсолютное значение собственного значения якобиана ${displaystyle Fleft(uleft(x,tight)ight)}$ над ячейками ${displaystyle {i},{ipm 1}}$ данный

${displaystyle a_{i+{frac {1}{2}}}left(tight)=max left[ho left({frac {partial Fleft(u_{i+1/2}^{L}left(tight)ight)}{partial u}}ight),ho left({frac {partial Fleft(u_{i+1/2}^{R}left(tight)ight)}{partial u}}ight),ight]}$

и ${displaystyle ho }$ представляет спектральный радиус из ${displaystyle {frac {partial Fleft(uleft(tight)ight)}{partial u}}.}$

Помимо этих CFL связанных скоростей, никакой характеристической информации не требуется.

Вышеупомянутый расчет потока чаще всего называется Флюс Лакса-Фридрихса (хотя стоит отметить, что такое выражение потока встречается не у Лакса, 1954, а у Русанова, 1961).

Пример эффективности использования схемы высокого разрешения показан на диаграмме напротив, которая иллюстрирует одномерное уравнение адвективы. ${displaystyle u_{t}+u_{x}=0 }$, со ступенчатой ​​волной, распространяющейся вправо. Моделирование проводилось на сетке из 200 ячеек с использованием центральной схемы Курганова и Тадмора с Ограничитель Superbee и использовал РК-4 для временной интеграции. Этот результат моделирования очень хорошо контрастирует с приведенными выше результатами первого порядка для противотока и центральной разности второго порядка. Эта схема также обеспечивает хорошие результаты при применении к системам уравнений - см. Результаты ниже для этой схемы, примененной к уравнениям Эйлера. Однако следует проявлять осторожность при выборе подходящего ограничителя, потому что, например, ограничитель Superbee может вызвать нереалистичное повышение резкости для некоторых плавных волн.

Схема может легко включать термины диффузии, если они присутствуют. Например, если описанная выше одномерная скалярная задача расширена, чтобы включить член диффузии, мы получим

${displaystyle u_{t}+F_{x}left(uight)=Q_{x}left(u,u_{x}ight),}$

для которого Курганов и Тадмор предлагают следующее центрально-разностное приближение:

${displaystyle {frac {mathrm {d} u_{i}}{mathrm {d} t}}=-{frac {1}{Delta x_{i}}}left[F_{i+{frac {1}{2}}}^{*}-F_{i-{frac {1}{2}}}^{*}ight]+{frac {1}{Delta x_{i}}}left[P_{i+{frac {1}{2}}}-P_{i-{frac {1}{2}}}ight].}$

Где,

${displaystyle P_{i+{frac {1}{2}}}={frac {1}{2}}left[Qleft(u_{i},{frac {u_{i+1}-u_{i}}{Delta x_{i}}}ight)+Qleft(u_{i+1},{frac {u_{i+1}-u_{i}}{Delta x_{i}}}ight)ight],}$

${displaystyle P_{i-{frac {1}{2}}}={frac {1}{2}}left[Qleft(u_{i-1},{frac {u_{i}-u_{i-1}}{Delta x_{i-1}}}ight)+Qleft(u_{i},{frac {u_{i}-u_{i-1}}{Delta x_{i-1}}}ight).ight]}$

Полная информация об алгоритме (полный и полудискретный версии) и его вывод можно найти в исходной статье (Курганов, Тадмор, 2000), а также в ряде одномерных и двумерных примеров. Дополнительная информация также доступна в ранее опубликованной статье Нессяху и Тадмор (1990).

Примечание: Первоначально эта схема была представлена ​​Кургановым и Тадмор как схема 2-го порядка, основанная на линейная экстраполяция. В более поздней статье (Курганов и Леви, 2000) показано, что он также может лечь в основу схемы третьего порядка. Пример 1D адвективы и пример их схемы с уравнением Эйлера, использующий параболическую реконструкцию (3-й порядок), показаны в параболическая реконструкция и Уравнение Эйлера разделы ниже.

Кусочно-параболическая реконструкция

Пример параболической реконструкции состояния типа MUSCL.

Можно распространить идею линейной экстраполяции на реконструкцию более высокого порядка, и пример показан на диаграмме напротив. Однако для этого случая левое и правое состояния оцениваются путем интерполяции разностного уравнения второго порядка, смещенного против ветра. В результате получается параболическая схема реконструкции третьего порядка точности в пространстве.

Мы следуем подходу Кермани (Kermani, et al., 2003) и представляем схему третьего порядка, смещенную против ветра, где символы ${displaystyle u_{i+{frac {1}{2}}}^{*}}$ и ${displaystyle u_{i-{frac {1}{2}}}^{*}}$ снова представляют зависимые от схемы функции (ограниченных реконструированных переменных края ячейки). Но в этом случае они основаны на параболически реконструированных состояниях, т.е.,

${displaystyle u_{i+{frac {1}{2}}}^{*}=fleft(u_{i+{frac {1}{2}}}^{L},u_{i+{frac {1}{2}}}^{R}ight),quad u_{i-{frac {1}{2}}}^{*}=fleft(u_{i-{frac {1}{2}}}^{L},u_{i-{frac {1}{2}}}^{R}ight),}$

и

${displaystyle u_{i+{frac {1}{2}}}^{L}=u_{i}+{frac {phi left(r_{i}ight)}{4}}left[left(1-kappa ight)delta u_{i-{frac {1}{2}}}+left(1+kappa ight)delta u_{i+{frac {1}{2}}}ight],}$

${displaystyle u_{i+{frac {1}{2}}}^{R}=u_{i+1}-{frac {phi left(r_{i+1}ight)}{4}}left[left(1-kappa ight)delta u_{i+{frac {3}{2}}}+left(1+kappa ight)delta u_{i+{frac {1}{2}}}ight],}$

${displaystyle u_{i-{frac {1}{2}}}^{L}=u_{i-1}+{frac {phi left(r_{i-1}ight)}{4}}left[left(1-kappa ight)delta u_{i-{frac {3}{2}}}+left(1+kappa ight)delta u_{i-{frac {1}{2}}}ight],}$

${displaystyle u_{i-{frac {1}{2}}}^{R}=u_{i}-{frac {phi left(r_{i}ight)}{4}}left[left(1-kappa ight)delta u_{i+{frac {1}{2}}}+left(1+kappa ight)delta u_{i-{frac {1}{2}}}ight].}$

1D адвективное уравнение ${displaystyle u_{t}+u_{x}=0}$, при этом ступенчатая волна распространяется вправо. Показывает аналитическое решение вместе с моделированием на основе центральной схемы Курганова и Тадмора с параболической реконструкцией и ограничителем Ван Альбада.

Где ${displaystyle kappa }$ = 1/3 и,

${displaystyle delta u_{i+{frac {1}{2}}}=left(u_{i+1}-u_{i}ight),quad delta u_{i-{frac {1}{2}}}=left(u_{i}-u_{i-1}ight),}$

${displaystyle delta u_{i+{frac {3}{2}}}=left(u_{i+2}-u_{i+1}ight),quad delta u_{i-{frac {3}{2}}}=left(u_{i-1}-u_{i-2}ight),}$

и функция ограничителя ${displaystyle phi left(right) }$, то же, что и выше.

Параболическая реконструкция проста в реализации и может использоваться со схемой Курганова и Тадмора вместо линейной экстраполяции, показанной выше. Это приводит к повышению пространственного решения схемы KT до 3-го порядка. Он хорошо работает при решении уравнений Эйлера, см. Ниже. Это увеличение пространственного порядка имеет определенные преимущества перед схемами 2-го порядка для гладких решений, однако для ударных волн оно более диссипативно - сравните диаграмму напротив с приведенным выше решением, полученным с использованием алгоритма KT с линейной экстраполяцией и ограничителем Superbee. Это моделирование было выполнено на сетке из 200 ячеек с использованием того же алгоритма KT, но с параболической реконструкцией. Интеграция времени была выполнена с помощью РК-4 и альтернативной формы ограничителя Ван Альбада, ${displaystyle phi _{va}(r)={frac {2r}{1+r^{2}}} }$, использовался для исключения паразитных колебаний.

Пример: одномерные уравнения Эйлера

Для простоты рассмотрим одномерный случай без теплопередачи и без телесной силы. Следовательно, в векторной форме сохранения общий Уравнения Эйлера сократить до

${displaystyle {frac {partial mathbf {U} }{partial t}}+{frac {partial mathbf {F} }{partial x}}=0,}$

куда

${displaystyle mathbf {U} ={egin{pmatrix}ho ho uEend{pmatrix}}qquad mathbf {F} ={egin{pmatrix}ho up+ho u^{2}u(E+p)end{pmatrix}},qquad }$

и где ${displaystyle {mbox{U}}}$ - вектор состояний и ${displaystyle {mbox{F}}}$ - вектор потоков.

Приведенные выше уравнения представляют собой сохранение масса, импульс, и энергия. Таким образом, есть три уравнения и четыре неизвестных, ${displaystyle ho }$ (плотность) ${displaystyle u}$ (скорость жидкости), ${displaystyle p}$ (давление) и ${displaystyle E}$ (полная энергия). Полная энергия определяется выражением

${displaystyle E=ho e+{frac {1}{2}}ho u^{2},}$

куда ${displaystyle e }$ представляет собой удельную внутреннюю энергию.

Чтобы закрыть систему, уравнение состояния необходимо. Тот, который подходит для нашей цели, это

${displaystyle p=ho left(gamma -1ight)e,}$

куда ${displaystyle gamma }$ равно отношению удельной теплоемкости ${displaystyle left[c_{p}/c_{v}ight]}$ для жидкости.

Теперь мы можем продолжить, как показано выше в простом одномерном примере, получая левые и правые экстраполированные состояния для каждой переменной состояния. Таким образом, для плотности получаем

${displaystyle ho _{i+{frac {1}{2}}}^{*}=ho _{i+{frac {1}{2}}}^{*}left(ho _{i+{frac {1}{2}}}^{L},ho _{i+{frac {1}{2}}}^{R}ight),quad ho _{i-{frac {1}{2}}}^{*}=ho _{i-{frac {1}{2}}}^{*}left(ho _{i-{frac {1}{2}}}^{L},ho _{i-{frac {1}{2}}}^{R}ight),}$

куда

${displaystyle ho _{i+{frac {1}{2}}}^{L}=ho _{i}+0.5phi left(r_{i}ight)left(ho _{i}-ho _{i-1}ight),quad ho _{i+{frac {1}{2}}}^{R}=ho _{i+1}-0.5phi left(r_{i+1}ight)left(ho _{i+1}-ho _{i}ight),}$

${displaystyle ho _{i-{frac {1}{2}}}^{L}=ho _{i-1}+0.5phi left(r_{i-1}ight)left(ho _{i}-ho _{i-1}ight),quad ho _{i-{frac {1}{2}}}^{R}=ho _{i}-0.5phi left(r_{i}ight)left(ho _{i+1}-ho _{i}ight).}$

Аналогично для импульса ${displaystyle ho u}$, а полная энергия ${displaystyle E}$. Скорость ${displaystyle u}$, рассчитывается по импульсу, а давление ${displaystyle p}$, рассчитывается из уравнения состояния.

Получив ограниченные экстраполированные состояния, мы переходим к построению краевых потоков, используя эти значения. Зная краевые потоки, мы можем теперь построить полудискретную схему, т.е.,

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {U} _{i}}{mathrm {d} t}}=-{frac {1}{Delta x_{i}}}left[mathbf {F} _{i+{frac {1}{2}}}^{*}-mathbf {F} _{i-{frac {1}{2}}}^{*}ight].}$

Решение теперь можно продолжить путем интегрирования с использованием стандартных численных методов.

Вышеупомянутое иллюстрирует основную идею схемы MUSCL. Однако для практического решения уравнений Эйлера также должна быть выбрана подходящая схема (например, приведенная выше схема KT), чтобы определить функцию ${displaystyle mathbf {F} _{ipm {frac {1}{2}}}^{*}}$.

Моделирование с высоким разрешением уравнений Эйлера на основе задачи «Ударная труба» Г. А. Сода. Показаны аналитические решения вместе с смоделированными (2-го порядка) решениями, основанными на центральной схеме Куганова и Тадмора с линейной экстраполяцией и ограничителем скопления.

На диаграмме напротив показано решение 2-го порядка для решения G A Sod. ударная труба проблема (Sod, 1978) с использованием указанной выше центральной схемы Курганова и Тадмора с высоким разрешением с линейной экстраполяцией и ограничителем скопа. Это ясно показывает эффективность подхода MUSCL к решению уравнений Эйлера. Моделирование проводилось на сетке из 200 ячеек с использованием кода Matlab (Wesseling, 2001), адаптированного для использования алгоритма KT и Ограничитель Ospre. Интегрирование по времени производилось интегратором 4-го порядка SHK (эквивалентный RK-4 по производительности). Следующие начальные условия (SI ед.) использовались:

• давление левое = 100000 [Па];
• давление правое = 10000 [Па];
• плотность слева = 1,0 [кг / м3];
• плотность справа = 0,125 [кг / м3];
• длина = 20 [м];
• скорость влево = 0 [м / с];
• скорость вправо = 0 [м / с];
• продолжительность = 0,01 [с];
• лямбда = 0,001069 (Δt / Δx).

Моделирование с высоким разрешением уравнений Эйлера на основе задачи «Ударная труба» Г. А. Сода - единицы СИ. Показаны аналитические решения вместе с смоделированными (3-го порядка) решениями, основанными на центральной схеме Курганова и Тадмора с параболической реконструкцией и ограничителем Ван Альбада.

На диаграмме напротив показано решение 3-го порядка решения G A Sod. ударная труба (Sod, 1978) с использованием указанной выше центральной схемы Курганова и Тадмора с высоким разрешением, но с параболической реконструкцией и ограничителем Ван Альбада. Это еще раз демонстрирует эффективность подхода MUSCL к решению уравнений Эйлера.Моделирование проводилось на сетке из 200 ячеек с использованием кода Matlab (Wesseling, 2001), адаптированного для использования алгоритма KT с параболической экстраполяцией и ограничитель van Albada. Альтернативная форма ограничителя Ван Альбада, ${displaystyle phi _{va}(r)={frac {2r}{1+r^{2}}} }$, использовался для исключения паразитных колебаний. Интегрирование по времени производилось интегратором SHK 4-го порядка. Использовались те же начальные условия.

Были разработаны различные другие схемы высокого разрешения, которые решают уравнения Эйлера с хорошей точностью. Примеры таких схем:

• то Схема Ошера, и
• то Лиу-Штеффен AUSM (метод адвекции вверх по потоку) схема.

Более подробную информацию об этих и других методах можно найти в приведенных ниже ссылках. Реализацию центральной схемы Курганова и Тадмора с открытым кодом можно найти по внешним ссылкам ниже.

Смотрите также

• Метод конечных объемов
• Ограничитель потока
• Теорема Годунова
• Схема высокого разрешения
• Метод линий
• Сергей К. Годунов
• Уменьшение общей вариации
• Дерновая ударная трубка

Рекомендации

• Кермани М. Дж., Гербер А. Г. и Стокки Дж. М. (2003), Прогноз влажности на основе термодинамики с использованием схемы Роу, 4-я конференция иранского аэрокосмического общества, Технологический университет Амира Кабира, Тегеран, Иран, 27–29 января. [1]
• Курганов Александр и Эйтан Тадмор (2000), Новые центральные схемы с высоким разрешением для нелинейных законов сохранения и уравнений конвекции-диффузии, J. Comput. Phys., 160, 241–282. [2]
• Курганов, Александр и Дорон Леви (2000), Полудискретная центральная схема третьего порядка для законов сохранения и уравнений конвекции-диффузии, SIAM J. Sci. Comput., 22, 1461–1488. [3]
• Лакс, П. Д. (1954). Слабые решения нелинейных гиперболических уравнений и их численное вычисление. Comm. Pure Appl. Математика., VII, pp159–193.
• Левек, Р. Дж. (2002). Методы конечных объемов для гиперболических задач, Издательство Кембриджского университета.
• ван Леер Б. (1979), К предельной консервативной схеме различий, V. Продолжение второго порядка метода Годунова, J. Com. Phys.., 32, 101–136.
• Нессяху, Х. и Э. Тадмор (1990), Неколебательное центральное дифференцирование для гиперболических законов сохранения, J. Comput. Phys., 87, 408–463. [4].
• Русанов, В. В. (1961). Расчет пересечения нестационарных ударных волн с препятствиями, J. Comput. Математика. Phys. СССР, 1, pp267–279.
• Сод, Г. А. (1978), Численное исследование сходящегося цилиндрического удара. J. Механика жидкости, 83, 785–794.
• Торо, Э. Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики, Springer-Verlag.
• Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики, Springer-Verlag.

дальнейшее чтение

• Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков, том 2, Wiley.
• Лэйни, Калберт Б. (1998), Вычислительная газовая динамика, Издательство Кембриджского университета.
• Таннехилл, Джон С. и др. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача, 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.

внешняя ссылка

• GEES - Открытый исходный код решения уравнений Эйлера с использованием центральной схемы Курганова и Тадмора, написанный на Фортран (автор: Арно Майрхофер)