Брэм ван Леер - Bram van Leer

Брэм ван Леер
Bram van Leer - Aerospace UM.jpg
Профессор ван Леер в здании аэрокосмической инженерии FXB Мичиганского университета
Родившийся
Нидерланды Ост-Индия
Альма-матерЛейденский университет
ИзвестенСхема MUSCL
Научная карьера
ПоляCFD
Динамика жидкостей
Числовой анализ
Учрежденияуниверситет Мичигана
ДокторантХендрик К. ван де Хюльст

Брэм ван Леер является заслуженным профессором Артура Б. Модина аэрокосмическая техника на университет Мичигана, в Анн-Арбор.[1] Он специализируется на Вычислительная гидродинамика (CFD), динамика жидкостей, и числовой анализ. Его самая влиятельная работа связана с CFD, областью, которую он помог модернизировать с 1970 года. Оценка его ранних работ была дана К. Хиршем (1979).[2]

Астрофизик по образованию, ван Леер внес значительный вклад в CFD в своей серии статей из пяти частей «На пути к окончательной консервативной разностной схеме (1972–1979)», в которых он расширил схему конечных объемов Годунова до второго порядка (MUSCL). Также в этой серии он разработал неосциллирующую интерполяцию с использованием ограничителей, приближенного решателя Римана и разрывных схем Галеркина для нестационарной адвекции. С момента прихода на факультет аэрокосмической техники Мичиганского университета (1986 г.) он работал над ускорением сходимости за счет локальной предварительной обработки и многосеточной релаксации для задач Эйлера и Навье-Стокса, нестационарных адаптивных сеток, моделирования космической среды, моделирования атмосферных потоков, расширенной гидродинамики для разреженных потоков и разрывных методов Галеркина. Он вышел на пенсию в 2012 году, вынужден прекратить исследования из-за прогрессирующей слепоты.

На протяжении всей своей карьеры работы ван Лера носили междисциплинарный характер. Начав с астрофизики, он сначала оказал влияние на исследования в области оружия, за ним последовали аэронавтика, затем моделирование космической погоды, атмосферное моделирование, моделирование поверхностных вод и моделирование автомобильных двигателей, чтобы назвать наиболее важные области.

Личный интерес

ван Леер играет на пианино в Pierpont Commons, Мичиганский университет

Ван Леер также является опытным музыкантом, играет на фортепиано в 5 лет и сочиняет в 7 лет. Его музыкальное образование включает два года в Королевской консерватории музыки Гааги, Нидерланды. Как пианист он был показан в зимнем выпуске Michigan Engineering (Engineering and the Arts) за 1996 год. Как карильонист, он играл на карильоне Центрального кампуса Бертон-Тауэр по субботам, проводимым футболом. Он был первым и единственным в мире CJ (карильон-жокей), основанным на карильоне Северного кампуса, который транслировался в прямом эфире с башни Лурье.

В 1993 году он дал полный час сольный концерт на карильоне мэрии Лейдена, города его альма-матер. Ван Леер любит импровизировать в стиле голландского карильона; одна из его импровизаций включена в компакт-диск 1998 года, на котором представлены карильоны Мичиганского университета. Его карильонная композиция "Lament" была опубликована в музыкальной серии карильонов UM School of Music по случаю Ежегодного конгресса Гильдии карильонеров в Северной Америке, Анн-Арбор, июнь 2002 г. Композиция для флейты ван Леера исполнялась дважды в 1997 г. профессором Мичиганского университета Леоне Буйзе.

Поисковая работа

Брэм ван Лир был докторантом астрофизики в Лейденской обсерватории (1966–1970), когда он заинтересовался вычислительной гидродинамикой (CFD) для решения задач космических потоков. Его первый крупный результат в CFD[3] была формулировкой числовой функции потока против ветра для гиперболической системы законов сохранения:

Здесь матрица впервые появляется в CFD и определяется как матрица, имеющая те же собственные векторы, что и якобиан потока , но соответствующие собственные значения являются модулями модулей . Нижний индекс указывает репрезентативное или среднее значение на интервале ; это было не менее чем 10 лет спустя Филип Л. Роу впервые представил свои часто используемые формулы усреднения.

Затем ван Леру удалось обойти барьерную теорему Годунова (т. Е. Схема переноса с сохранением монотонности не может быть лучше, чем точность первого порядка), ограничив член второго порядка в схеме Лакса-Вендроффа как функцию негладкости собственно численное решение. Это нелинейный метод даже для линейного уравнения. Обнаружив этот основной принцип, он запланировал серию из трех статей под названием «На пути к окончательной консервативной разностной схеме», в которой скалярно неконсервативная, но не колеблющаяся (часть I[4]) через скалярную консервативную неколебательную (часть II[5]) консервативному неосциллирующему Эйлеру (часть III[6]). Конечно-разностные схемы для уравнений Эйлера оказались непривлекательными из-за большого количества членов; переход к формулировке конечного объема полностью прояснил это и привел к Части IV.[7] (скаляр конечного объема) и, наконец, Часть V[8] (конечный том Лагранжа и Эйлера) под названием «Продолжение второго порядка метода Годунова», которая является его наиболее цитируемой статьей (около 6000 цитирований на 1 ноября 2017 г.). Эта бумага[9] была переиздана в 1997 г. в юбилейном 30-м выпуске журнала «Вычислительная физика» с введением Чарльза Хирша.

Серия содержит несколько оригинальных методов, нашедших свое отражение в сообществе CFD. В Части II представлены два ограничителя, позже названные Ван Леером «двойным minmod» (в честь ограничителя «minmod» Ошера) и его сглаженная версия «гармоническим»; последний ограничитель иногда упоминается в литературе как «ограничитель Ван Лера». Часть IV, «Новый подход к численной конвекции», описывает группу из 6 схем второго и третьего порядка, которая включает две разрывные схемы Галеркина с точным интегрированием по времени. Ван Леер был не единственным, кто преодолел барьер Годунова, используя нелинейное ограничение; подобные техники были независимо разработаны примерно в то же время Борисом[10] и В. Колган, русский исследователь, неизвестный на Западе. В 2011 году ван Леер посвятил статью вкладу Колгана. [11] и перепечатал отчет Колгана в ЦАГИ 1972 года в переводе в Journal of Computational Physics.

После публикации серии (1972–1979) ван Леер проработал два года в ICASE (NASA LaRC), где его наняли инженеры НАСА, заинтересованные в его численных знаниях. Это привело к дифференцируемому расщеплению вектора потока Ван Лера.[12] и разработка блочно-структурных кодов CFL2D и CFL3D [13][14] которые до сих пор широко используются. Другой вклад этих лет - обзор методов против ветра с Хартеном и Лаксом,[15] документ семинара AMS [16] детализирует различия и сходства между потоками против ветра и формулой потока Джеймсона, а также документ конференции с Малдером[17] о методах расслабления против ветра; последний включает концепцию переключаемой эволюции-релаксации (SER) для автоматического выбора временного шага в неявной маршевой схеме.

После постоянного переезда в США первой влиятельной статьей ван Лира было «Сравнение численных формул потоков для уравнений Эйлера и Навье-Стокса,[18]», В котором анализируются числовые функции потока и их пригодность для разрешения пограничных слоев в расчетах Навье-Стокса. В 1988 году он приступил к очень большому проекту по достижению устойчивых решений Эйлера в O (N) операциях с помощью чисто явной методологии. Эта стратегия состояла из трех важнейших компонентов: 1. Оптимально сглаживающие многоступенчатые односеточные схемы для адвекций 2. Локальная предобусловливость уравнений Эйлера 3. Полугрубая многосеточная релаксация

Первый предмет был разработан в сотрудничестве с его докторантом Ч. Тай.[19] Второй предмет был нужен, чтобы уравнения Эйлера выглядели как можно более скалярными. Предварительная подготовка была разработана с докторантом W. -T. Ли.[20] Чтобы применить это к дискретной схеме, необходимо было внести существенные изменения в исходную дискретизацию. Оказалось, что применение предварительной обработки к дискретизации Эйлера потребовало переформулировки числовой функции потока для сохранения точности при малых числах Маха. Сочетание оптимальных односеточных схем с предобусловленной дискретизацией Эйлера было достигнуто докторантом Дж. Ф. Линном.[21] Такую же стратегию дискретизации Навье-Стокса использовал Д. Ли.[22]

Третий компонент, полувысокая многосеточная релаксация, был разработан бывшим учеником ван Лира В. А. Малдером (Mulder, 1989). Этот метод необходим для гашения определенных комбинаций высокочастотных и низкочастотных мод, когда сетка выровнена с потоком.

В 1994 году ван Леер объединился с Дармофалом, в то время докторантом Мичиганского университета, чтобы завершить проект. Первоначально цель проекта была достигнута Дармофалом и Сиу (Дармофал и Сиу, 1999), а позже была реализована более эффективно ван Леером и Нисикавой.[23]

Пока продолжался проект с несколькими сетками, ван Леер работал еще над двумя темами: многомерные решатели Римана,[24][25] и зависящая от времени адаптивная декартова сетка.[26] После завершения многосеточного проекта ван Леер вместе с К. Депчик продолжил работу над локальной предварительной подготовкой уравнений Навье-Стокса.[27] Получено одномерное предварительное кондиционирование, оптимальное для всех чисел Маха и Рейнольдса. Однако есть узкая область на (M, Re) -плоскости, где предварительно обусловленные уравнения допускают нарастающую моду. На практике такой режим, если бы он возник, должен был подавляться маршевой схемой, например неявной схемой.

В последнее десятилетие своей карьеры ван Леер занимался расширенной гидродинамикой и разрывным методом Галеркина. Целью первого проекта было описание разреженного течения до промежуточных чисел Кнудсена (Kn ~ 1) включительно с помощью системы гиперболической релаксации. Это хорошо работает для дозвуковых течений и слабых ударных волн, но более сильные ударные волны приобретают неправильную внутреннюю структуру.[28][29] Для низкоскоростного потока докторант ван Лира Х. Л. Кхиеу проверил точность формулировки гиперболической релаксации, сравнив моделирование с численными результатами полнокинетического решателя, основанного на уравнении Больцмана.[30] Недавние исследования показали, что система УЧП второго порядка, полученная из систем гиперболической релаксации, может быть полностью успешной; подробности см. в Myong Overflow 2014.

Второй проект - разработка разрывных методов Галеркина (ДГ) для операторов диффузии. Все началось с открытия метода восстановления для представления оператора одномерной диффузии.

Начиная с 2004 г., DG по восстановлению (RDG)[31] была показана точность порядка 3p + 1 или 3p + 2 для четной или нечетной степени p в полиномиальном пространстве. Этот результат справедлив для декартовых сеток в 1-, 2- или 3-мерном пространстве, для линейных и нелинейных уравнений диффузии, которые могут содержать или не содержать члены сдвига.[32][33][34][35] На неструктурированных сетках прогнозировалось, что RDG достигнет порядка точности 2p + 2; К сожалению, это исследование не было завершено до выхода на пенсию ван Леера.

В дополнение к приведенному выше описанию мы перечисляем некоторые темы и документы, связанные с междисциплинарными исследованиями ван Леера:

  • Космическая газовая динамика - ван Альбада, ван Леер и Робертс[36]
  • Моделирование космической среды - Clauer et al.[37]
  • Атмосферное моделирование - Ульрих, Яблоновски, ван Леер[38]
  • Моделирование автомобильных двигателей - Депчик, ван Леер, Ассанис[39]

Три важных обзорных статьи ван Леера:

  • Развитие численной механики жидкости и аэродинамики с 1960-х годов: США и Канада[40]
  • Введение в вычислительную гидродинамику[41]
  • Б. ван Леер, "Методы против ветра и высокого разрешения для сжимаемого потока: от донорной ячейки до схем остаточного распределения", Сообщения в области вычислительной физики, том 1, стр. 192–205, 2006.

В 2010 году ван Леер получил награду AIAA Fluid Dynamics за свои жизненные достижения. По этому случаю ван Леер представил пленарную лекцию под названием «История CFD, часть II», которая охватывает период с 1970 по 1995 год. Ниже представлен плакат ван Леера и его докторанта Ло, созданный для этого случая.

Эта таблица представляет собой аллегорию зарождения современной CFD в период 1970-1985 годов, а именно: развитие методов высокого разрешения (не колебательные методы с точностью выше первого порядка) и их окончательное внедрение в аэрокосмической отрасли. сообщество. Мы видим экзотический пейзаж, в котором доминирует великая пирамида. Трое мужчин пытаются достичь его вершины разными способами: Джей Борис (молоток с зубилом), Брэм ван Леер (веревка) и Владимир Колган (лестница); Безвременная смерть последнего в 1978 году сделала его неизвестным даже в России. Обратите внимание, что пирамида также является гигантской заглавной греческой дельтой, символом конечной разницы, которая пронизывает уравнения CFD. Хранителем ворот является Джон фон Нейман, отец CFD. Из предыстории CFD в крайнем левом углу изображены бюсты Ричарда Куранта, Курта Фридрихса и Ганса Леви, инициалы которых мы так хорошо знаем. Справа на шезлонгах мы видим Питера Лакса и Сергея Годунова, гигантов численного анализа из поколения, следующего за фон Нейманом. Они расслабляются, в то время как молодое поколение пытается поднять уровень искусства в CFD. На переднем плане слева направо мы впервые встречаем Боба МакКормака, который в конце 1960-х адаптировал метод Лакса-Вендроффа второго порядка для использования в авиации, но не смог приручить его числовые колебания. Затем Фил Роу, возможно, обдумывает свой примерный решатель Римана или ограничитель Superbee. Мимо ворот Стэн Ошер и Ами Хартен (умерли в 1994 г.), вероятно, обсуждают техники TVD или ENO. Последние три, вместе с ван Леером, были наиболее влиятельными в принятии методов высокого разрешения в аэрокосмической технике; большая часть перехода к технологиям произошла в ICASE, NASA LaRC. И наконец, что не менее важно, в самолете Энтони Джеймсон, который пошел своим путем, разработав набор высокоэффективных кодов CFD для устойчивой аэронавтики.

Образование и обучение

  • 1963 - кандидат астрономии, Лейденский государственный университет.
  • 1966 - доктор астрофизики, Лейденский государственный университет
  • 1970 г. - к.э.н. Астрофизика, Лейденский государственный университет, 1970 г.
  • 1970–72 - научный сотрудник Миллера по астрофизике, Калифорнийский университет в Беркли

Профессиональный опыт

  • 2012 – настоящее время - Артур Б. Модайн, почетный профессор Мичиганского университета
  • 2007–2012 - Артур Б. Модайн, профессор инженерных наук, Мичиганский университет
  • 1986–2007 гг. - профессор аэрокосмической техники Мичиганского университета.
  • 1982–86 - руководитель исследований, Делфтский технологический университет
  • 1979–81 - приглашенный научный сотрудник, НАСА Лэнгли (ICASE)
  • 1978–82 - руководитель исследований, Лейденская обсерватория.
  • 1970–72 - научный сотрудник Миллера по астрофизике, Калифорнийский университет в Беркли
  • 1966–77 - научный сотрудник, Лейденская обсерватория

Почести и награды

  • 2010 - Премия AIAA Fluid Dynamics
  • 2007 - профессор аэрокосмической инженерии Артура Б. Модина
  • 2005–2009 - старший научный сотрудник Мичиганского университета.
  • 2005 г. - Премия отдела аэрокосмических инженерных услуг, Univ. Мичигана
  • 2003 - Премия в области вычислительной механики, Японское общество инженеров-механиков
  • 1996 - Премия колледжа инженерных исследований за выдающиеся достижения, Univ. Мичигана
  • 1995 - сотрудник AIAA
  • 1992 - Премия за заслуги перед обществом, НАСА Лэнгли
  • 1992 - Премия за исследования в области аэрокосмической техники, Univ. Мичигана
  • 1990 - Премия за групповые достижения, НАСА в Лэнгли
  • 1990 - почетный доктор, Свободный университет Брюсселя
  • 1978 - Премия К. Дж. Кока, Лейденский университет

Последние публикации

Все следующие статьи относятся к разрывному методу Галеркина для уравнений диффузии:

  • Б. ван Леер и С. Номура, "Прерывистый Галеркин для диффузии", AIAA Paper 2005-5108, 2005.
  • Б. ван Леер, М. Ло и М. ван Раалте, "Прерывистый метод Галеркина для диффузии, основанный на извлечении", статья AIAA 2007-4083, 2007.
  • М. ван Раалте и Б. ван Леер, "Билинейные формы для основанного на восстановлении разрывного метода Галеркина для диффузии", Сообщения в области вычислительной физики, Vol. 5. С. 683–693, 2009.
  • Б. ван Леер и М. Ло, "Объединение разрывных методов Галеркина для адвекции и диффузии", статья AIAA 2009-0400, 2009.
  • М. Ло и Б. ван Леер, «Анализ и реализация прерывного метода Галеркина на основе восстановления для распространения», AIAA Paper 2009-3786, 2009.
  • Lo, M .; ван Леер, Б., "Прерывистый Галеркин на основе восстановления для вязких членов Навье-Стокса", AIAA Paper 2011-3406, 2011.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ "Ван Лир из Мичиганского университета". Архивировано из оригинал на 2011-07-20. Получено 2009-04-04.
  2. ^ Hirsch, Ch. (1997). «Введение в» на пути к окончательной консервативной схеме различий. V. Продолжение второго порядка метода Годунова"". Журнал вычислительной физики. 135 (2): 227–228. Дои:10.1006 / jcph.1997.5757.
  3. ^ ван Леер, Б. (1970). Выбор разностных схем для идеального сжимаемого потока (Кандидат наук.). Стервахт, Лейден, Нидерланды.
  4. ^ Б. ван Леер. К предельной консервативной разностной схеме I. В поисках монотонности. В конспектах лекций по физике. Труды Третьей Международной конференции по численным методам в механике жидкости, страницы 163–168. Спрингер, 1973.
  5. ^ Ван Леер, Брэм (1974). «К окончательной консервативной разностной схеме. II. Монотонность и сохранение, объединенные в схеме второго порядка». Журнал вычислительной физики. 14 (4): 361–370. Bibcode:1974JCoPh..14..361V. Дои:10.1016/0021-9991(74)90019-9.
  6. ^ Ван Леер, Брэм (1977). «На пути к окончательной консервативной разностной схеме III. Конечно-разностные схемы, центрированные вверх по потоку для идеального сжимаемого потока». Журнал вычислительной физики. 23 (3): 263–275. Bibcode:1977JCoPh..23..263V. Дои:10.1016/0021-9991(77)90094-8.
  7. ^ Ван Леер, Брэм (1977). «К окончательной консервативной разностной схеме. IV. Новый подход к числовой конвекции». Журнал вычислительной физики. 23 (3): 276–299. Дои:10.1016 / 0021-9991 (77) 90095-Х.
  8. ^ Ван Леер, Брэм (1979). «К предельной консервативной разностной схеме. V. Продолжение второго порядка метода Годунова». Журнал вычислительной физики. 32: 101–136. Bibcode:1979JCoPh..32..101V. Дои:10.1016/0021-9991(79)90145-1.
  9. ^ Ван Леер, Брэм (1997). «К крайней консервативной схеме различий». Журнал вычислительной физики. 135 (2): 229–248. Дои:10.1006 / jcph.1997.5704.
  10. ^ Борис, Джей П .; Книга, Дэвид Л. (1973), "Транспортировка с поправкой на поток. И. ШАСТА, Алгоритм переноса жидкости, который работает", Журнал вычислительной физики, 11.1 (1): 38–69, Bibcode:1973JCoPh..11 ... 38B, Дои:10.1016/0021-9991(73)90147-2
  11. ^ ван Леер, Б. (2011), «Историческая оплошность: Владимир П. Колган и его схема с высоким разрешением», Журнал вычислительной физики, 230.7 (7): 2378–2383, Bibcode:2011JCoPh.230.2378V, Дои:10.1016 / j.jcp.2010.12.032
  12. ^ Ван Лер, Б. (1982), "Расщепление вектора потока для уравнений Эйлера", Конспект лекций по физике, Международная конференция по численным методам динамики жидкости, 170: 507–512
  13. ^ Андерсон, W.K .; Thomas, J.L .; ван Леер, Б. (1985), "Сравнение разделений вектора потока и конечного объема для уравнений Эйлера", Бумага AIAA
  14. ^ Thomas, J.L .; Walters, R.W .; Van Leer, B .; Андерсон, В.К. (1985), "Неявные схемы разделения потока для уравнений Эйлера", Бумага AIAA, 85: 1680
  15. ^ Harten, A .; Lax, P.D .; ван Леер, Б. (1983), "Схемы восходящего дифференцирования и типа Годунова для гиперболических законов сохранения", SIAM Rev., 25: 35–61, Дои:10.1137/1025002
  16. ^ ван Леер, Брэм (1985). «Противветренно-разностные методы решения аэродинамических задач, описываемых уравнениями Эйлера». In Engquist, Bjorn E .; Ошер, Стэнли; Сомервилль, Ричард С. Дж (ред.). Крупномасштабные вычисления в механике жидкости, часть 2. Лекции по прикладной математике. С. 327–336.
  17. ^ Mulder, W.A .; ван Леер, Б. (1985), "Эксперименты с неявными методами против ветра для уравнений Эйлера", J. Comput. Phys., 59 (2): 232–246, Bibcode:1985JCoPh..59..232M, Дои:10.1016/0021-9991(85)90144-5
  18. ^ van Leer, B .; Thomas, J. L .; Roe, P. L .; Ньюсом, Р. В. (1987), "Сравнение численных формул потоков для уравнений Эйлера и Навье-Стокса", Бумага AIAA CP-874: 36–41
  19. ^ van Leer, B .; Tai, C.-H .; Пауэлл, К. Г. (1989), "Разработка оптимально сглаживающих многоступенчатых схем для уравнений Эйлера", Документ AIAA 89-1933-CP
  20. ^ van Leer, B .; Lee, W. T .; Роу, П. Л. (1991), "Характерный временной шаг или локальная предварительная подготовка для уравнений Эйлера", 10-я конференция AIAA по вычислительной гидродинамике, документ AIAA CP-91-1552: 260–282
  21. ^ van Leer, B .; Линн, Дж. (1995), "Полугрубый многосеточный решатель для уравнений Эйлера с локальной предварительной обработкой", 12-я конференция AIAA по вычислительной гидродинамике, документ AIAA 95-1667-CP: 242–252
  22. ^ Ли, Д .; van Leer, B .; Линн, Дж. (1997), "Локальный предобуславливатель Навье-Стокса для всех чисел Маха и ячейки Рейнольдса", 13-я конференция AIAA CFD, AIAA-97-2024
  23. ^ Nishikawa, H .; ван Леер, Б. (2003), "Оптимальная многосеточная сходимость посредством гиперболического / эллиптического расщепления", Журнал вычислительной физики, 190 (1): 52–63, Bibcode:2003JCoPh.190 ... 52N, Дои:10.1016 / s0021-9991 (03) 00253-5, HDL:2027.42/77269
  24. ^ Леви, Д. В .; Пауэлл, К. Г .; ван Леер, Б. (1993), "Использование повернутого решателя Римана для двумерных уравнений Эйлера", Журнал вычислительной физики, 106 (2): 201–214, Дои:10.1016 / с0021-9991 (83) 71103-4, HDL:2027.42/30757,
  25. ^ Rumsey, C.L .; van Leer, B .; Роу, П. Л. (1993), «Многомерная функция потока с приложениями к уравнениям Эйлера и Навье-Стокса» (PDF), Журнал вычислительной физики, 105 (2): 306–323, Bibcode:1993JCoPh.105..306R, Дои:10.1006 / jcph.1993.1077
  26. ^ Chiang, Y.-L .; ван Леер, Б. (1992), "Моделирование нестационарного невязкого потока на адаптивно уточненной декартовой сетке", Документ AIAA 92-0443
  27. ^ Depcik, C .; ван Леер, Б. (2003), "В поисках оптимального локального предобуславливателя Навье-Стокса", 16-я конференция AIAA по вычислительной гидродинамике, AIAA 2003-3703
  28. ^ Suzuki, Y .; ван Леер, Б. (2005), "Применение 10-моментной модели к потокам MEMS", Документ AIAA 2005-1398
  29. ^ Suzuki, Y .; Khieu, H.L .; ван Леер, Б. (июнь 2009 г.), «CFD от PDE первого порядка», Механика сплошной среды и термодинамика, 21 (6): 445–465, Bibcode:2009CMT .... 21..445S, Дои:10.1007 / s00161-009-0124-2
  30. ^ Khieu, L .; ван Леер, Б. (2011), "Обработка твердых границ для моментных уравнений", 20-я конференция AIAA по вычислительной гидродинамике, 3
  31. ^ van Leer, B .; Номура, С. (2005), "Разрыв Галеркина для диффузии", Документ AlAA 2005-5108
  32. ^ van Leer, B .; Lo, M .; ван Раалте, М. (2007), "Прерывистый метод Галеркина для диффузии на основе восстановления", 18-я конференция AlAA по вычислительной гидродинамике, документ AIAA 2007-4083
  33. ^ van Leer, B .; Lo., M. (2009), "Объединение разрывных методов Галеркина для адвекции и диффузии", 19-я конференция AIAA по вычислительной гидродинамике, AIAA-2009-0400
  34. ^ Lo, M .; ван Леер, Б. (2009), "Анализ и реализация основанного на восстановлении разрывного метода Галеркина для диффузии", Бумага AIAA Nr. 2009-3786
  35. ^ Lo, M .; ван Леер, Б. (2011), "Прерывистый Галеркин на основе восстановления для вязких членов Навье-Стокса", Документ AIAA 2011-3406
  36. ^ van Albada, G.D .; van Leer, B .; Робертс, W.W. Мл. (1982), "Сравнительное исследование вычислительных методов в динамике космического газа", Астрономия и астрофизика, 108 (1): 76–84, Bibcode:1982 А & А ... 108 ... 76 В
  37. ^ Clauer, C.R .; Gombosi, T.I .; Dezeeuw, D.L .; Ridley, A.J .; Powell, K.G .; van Leer, B .; Стаут, Q.F .; Groth, C.P.T .; Хольцер, Т. (2000), "Высокопроизводительные компьютерные методы, применяемые для прогнозирования космической погоды", IEEE Transactions по науке о плазме, 28 (6): 1931–1937, Bibcode:2000ITPS ... 28.1931C, CiteSeerX  10.1.1.77.7344, Дои:10.1109/27.902221
  38. ^ Ullrich, P.A .; Jablonowski, C .; ван Леер, Б. (2010), "Методы конечных объемов высокого порядка для уравнений мелкой воды на сфере", Журнал вычислительной физики
  39. ^ Depcik, C .; van Leer, B .; Ассанис, Д. (2005), «Численное моделирование динамики реагирующего газа с переменными свойствами: новые идеи и подтверждения», Числовая передача тепла, часть A: приложения, 47 (1): 27–56, Bibcode:2004НТА ... 47 ... 27Д, Дои:10.1080/10407780490520823
  40. ^ ван Леер, Брэм (1985). «Развитие численной механики жидкости и аэродинамики с 1960-х годов: США и Канада». В Хиршеле, Эрнст Генрих; Карусэ, Эгон (ред.). 100 томов заметок по численной механике жидкости. Springer. С. 159–185.
  41. ^ ван Леер, Брэм (2010). «Часть 7: Введение в вычислительную гидродинамику». В Ричарде, Блокли; Shyy, Wei (ред.). Энциклопедия аэрокосмической техники. 2. Вайли. С. 1–14.

внешняя ссылка