Уменьшение общей вариации - Total variation diminishing

В численные методы, уменьшение общей вариации (TVD) является собственностью определенных дискретизация схемы, используемые для решения гиперболические уравнения в частных производных. Наиболее заметное применение этого метода в вычислительная гидродинамика. Концепция TVD была представлена Ами Хартен.^[1]

Уравнение модели

В системах, описанных уравнения в частных производных, например следующие гиперболические уравнение переноса,

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}+a{frac {partial u}{partial x}}=0,}$

то полное изменение (ТВ) дается

${displaystyle TV(u(cdot ,t))=int left|{frac {partial u}{partial x}}ight|mathrm {d} x,}$

а полное изменение для дискретного случая равно,

${displaystyle TV(u^{n})=TV(u(cdot ,t^{n}))=sum _{j}left|u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}ight|.}$

куда ${displaystyle u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})}$.

Численный метод называется общее уменьшение вариации (TVD) если,

${displaystyle TVleft(u^{n+1}ight)leq TVleft(u^{n}ight).}$

Характеристики

Численная схема называется сохраняющей монотонность, если сохраняются следующие свойства:

• Если ${displaystyle u^{n}}$ монотонно возрастает (или убывает) в пространстве, то ${displaystyle u^{n+1}}$.

Хартен 1983 доказали следующие свойства численной схемы:

• А монотонная схема это TVD, и
• Схема TVD монотонность сохранение.

Применение в CFD

В Вычислительная гидродинамика, TVD-схема используется для получения более точных прогнозов ударной волны без каких-либо вводящих в заблуждение колебаний при изменении переменной поля «${displaystyle phi }$”Является прерывистым. Чтобы зафиксировать вариации мелкой сетки (${displaystyle Delta x}$ очень маленькие), и вычисления становятся тяжелыми и, следовательно, неэкономичными. Использование грубых сеток с центральная разностная схема, схема против ветра, гибридная разностная схема, и схема степенного закона дает ложные предсказания шока. Схема TVD позволяет более точно прогнозировать ударную нагрузку на грубых сетках, экономя время вычислений, а поскольку схема сохраняет монотонность, в решении отсутствуют паразитные колебания.

Дискретизация

Рассмотрим стационарное одномерное уравнение диффузии конвекции,

${displaystyle abla cdot (ho mathbf {u} phi ),=abla cdot (Gamma abla phi )+S_{phi };}$,

куда ${displaystyle ho }$ это плотность, ${displaystyle mathbf {u} }$ - вектор скорости, ${displaystyle phi }$ перевозится ли имущество, ${displaystyle Gamma }$ - коэффициент диффузии и ${displaystyle S_{phi }}$ исходный термин, ответственный за создание собственности ${displaystyle phi }$.

Выполняя баланс потока этого свойства относительно контрольного объема, мы получаем,

${displaystyle int _{A}mathbf {n} cdot (ho mathbf {u} phi ),mathrm {d} A=int _{A}mathbf {n} cdot (Gamma abla phi ),mathrm {d} A+int _{CV}S_{phi },mathrm {d} V}$ ${displaystyle ;}$

Здесь ${displaystyle mathbf {n} }$ нормаль к поверхности контрольного объема.

Игнорируя исходный член, уравнение сводится к следующему:

${displaystyle (ho mathbf {u} phi A)_{r}-(ho mathbf {u} phi A)_{l}=left(Gamma A{frac {partial phi }{partial x}}ight)_{r}-left(Gamma A{frac {partial phi }{partial x}}ight)_{l}}$

Картинка, показывающая контрольный объем со скоростями на гранях, узлах и расстоянии между ними, где «P» - узел в центре.

Предполагая

${displaystyle {frac {partial phi }{partial x}}={frac {delta phi }{delta x}}}$ и ${displaystyle A_{r}=A_{l},}$

Уравнение сводится к

${displaystyle (ho mathbf {u} phi )_{r}-(ho mathbf {u} phi )_{l},=left({frac {Gamma }{delta x}}delta phi ight)_{r}-left({frac {Gamma }{delta x}}delta phi ight)_{l}.}$

Сказать,

${displaystyle F_{r}=(ho mathbf {u} )_{r};qquad F_{l}=(ho mathbf {u} )_{l};}$

${displaystyle D_{l}=left({frac {Gamma }{delta x}}ight)_{l};qquad D_{r}=left({frac {Gamma }{delta x}}ight)_{r};}$

На рисунке:

${displaystyle delta phi _{r}=phi _{R}-phi _{P};qquad delta x_{r}=x_{PR};}$

${displaystyle delta phi _{l}=phi _{P}-phi _{L};qquad delta x_{l}=x_{LP};}$

Уравнение становится,

$${displaystyle F_{r}phi _{r}-F_{l}phi _{l}=D_{r}(phi _{R}-phi _{P})-D_{l}(phi _{P}-phi _{L});}$$

Так же уравнение неразрывности должно быть выполнено в одной из эквивалентных ему форм для этой задачи:

${displaystyle (ho mathbf {u} )_{r}-(ho mathbf {u} )_{l},=0 Longleftrightarrow F_{r}-F_{l}=0 Longleftrightarrow F_{r}=F_{l}=F.}$

Предполагая диффузионность является однородным свойством и равным шагом сетки, можно сказать

${displaystyle Gamma _{l}=Gamma _{r};qquad delta x_{LP}=delta x_{PR}=delta x,}$

мы получили

$${displaystyle D_{l}=D_{r}=D.}$$

Далее уравнение сводится к

$${displaystyle (phi _{r}-phi _{l})cdot F=Dcdot (phi _{R}-2phi _{P}+phi _{L}).}$$

Вышеприведенное уравнение можно записать как

$${displaystyle (phi _{r}-phi _{l})cdot P=(phi _{R}-2phi _{P}+phi _{L})}$$

куда ${displaystyle P}$ это Число Пекле

${displaystyle P={frac {F}{D}}={frac {ho mathbf {u} delta x}{Gamma }}.}$

Схема TVD

Схема уменьшения общей вариации^[2][3] делает предположение о значениях ${displaystyle phi _{r}}$ и ${displaystyle phi _{l}}$ подставляем в дискретизированное уравнение следующим образом:

${displaystyle phi _{r}cdot P={frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{r}^{+}phi _{R}+(1-f_{r}^{+})phi _{L}]+{frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{r}^{-}phi _{P}+(1-f_{r}^{-})phi _{RR}]}$

${displaystyle phi _{l}cdot P={frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{l}^{+}phi _{P}+(1-f_{l}^{+})phi _{LL}]+{frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{l}^{-}phi _{L}+(1-f_{l}^{-})phi _{R}]}$

Где ${displaystyle P}$ - число Пекле и ${displaystyle f}$ - функция взвешивания, определяемая из,

${displaystyle f=fleft({frac {phi _{U}-phi _{UU}}{phi _{D}-phi _{UU}}}ight)}$

куда ${displaystyle U}$ относится к восходящему потоку, ${displaystyle UU}$ относится к восходящему потоку ${displaystyle U}$ и ${displaystyle D}$ относится к нисходящим потокам.

Обратите внимание, что ${displaystyle f^{+}}$ - функция взвешивания, когда поток идет в положительном направлении (т.е. слева направо) и ${displaystyle f^{-}}$ - функция взвешивания, когда поток идет в отрицательном направлении справа налево. Так,

${displaystyle {egin{aligned}&f_{r}^{+}{ ext{ is a function of }}left({dfrac {phi _{P}-phi _{L}}{phi _{R}-phi _{L}}}ight),[10pt]&f_{r}^{-}{ ext{ is a function of }}left({dfrac {phi _{R}-phi _{RR}}{phi _{P}-phi _{RR}}}ight),[10pt]&f_{l}^{+}{ ext{ is a function of }}left({dfrac {phi _{L}-phi _{LL}}{phi _{P}-phi _{LL}}}ight),{ ext{ and}}[10pt]&f_{l}^{-}{ ext{ is a function of }}left({dfrac {phi _{P}-phi _{R}}{phi _{L}-phi _{R}}}ight).end{aligned}}}$

Если поток положительный, то число Пекле ${displaystyle P}$ положительный и срок ${displaystyle (P-|P|)=0}$, поэтому функция ${displaystyle f^{-}}$ не будет играть никакой роли в предположении ${displaystyle phi _{r}}$ и ${displaystyle phi _{l}}$. Аналогично, когда поток идет в отрицательном направлении, ${displaystyle P}$ отрицательный, и термин ${displaystyle (P+|P|)=0}$, поэтому функция ${displaystyle f^{+}}$ не будет играть никакой роли в предположении ${displaystyle phi _{r}}$ и ${displaystyle phi _{r}}$.

Поэтому он учитывает значения свойств в зависимости от направления потока, а с помощью взвешенных функций пытается достичь монотонности решения, тем самым обеспечивая результаты без ложных ударов.

Ограничения

Монотонные схемы привлекательны для решения инженерных и научных задач, потому что они не дают нефизических решений. Теорема Годунова доказывает, что линейные схемы, сохраняющие монотонность, имеют точность не более первого порядка. Линейные схемы более высокого порядка, хотя и более точны для гладких решений, не являются TVD и имеют тенденцию вносить паразитные колебания (покачивания) там, где возникают разрывы или удары. Чтобы преодолеть эти недостатки, различные высокое разрешение, нелинейный были разработаны методы, часто использующие ограничители потока / наклона.

Смотрите также

• Ограничители потока
• Теорема Годунова
• Схема высокого разрешения
• Схема MUSCL
• Сергей К. Годунов
• Общая вариация

Рекомендации

1. Хартен, Ами (1983), "Схемы высокого разрешения для гиперболических законов сохранения", J. Comput. Phys., 49 (2): 357–393, Дои:10.1016/0021-9991(83)90136-5, HDL:2060/19830002586
2. Versteeg, H.K .; Малаласекера, В. (2007). Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечных объемов (2-е изд.). Харлоу: Прентис Холл. ISBN  9780131274983.
3. Блазек, Иржи (2001). Вычислительная гидродинамика: принципы и приложения (1-е изд.). Лондон: Эльзевьер. ISBN  9780080430096.

дальнейшее чтение

• Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков, Том 2, Wiley.
• Лэйни, К. Б. (1998), Вычислительная газовая динамика, Cambridge University Press.
• Торо, Э. Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики, Springer-Verlag.
• Таннехилл, Дж. К., Андерсон, Д.А. и Плетчер Р. Х. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача, 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.
• Весселинг, П. (2001), Принципы вычислительной гидродинамики, Springer-Verlag.
• Анил В. Дата Введение в вычислительную гидродинамику, Cambridge University Press.