Метод спектральных элементов - Spectral element method

При численном решении уравнения в частных производных, тема в математика, то метод спектральных элементов (SEM) - это формулировка метод конечных элементов (FEM) с высокой степенью кусочно многочлены как базовые функции. Метод спектральных элементов был представлен в статье 1984 г.^[1] А. Т. Патера. Хотя Патере приписывают разработку метода, его работа была повторным открытием существующего метода (см. Историю развития)

Обсуждение

В спектральный метод расширяет решение в тригонометрический серии, главное преимущество в том, что полученный метод имеет очень высокий порядок. Этот подход основан на том, что тригонометрические полиномы являются ортонормированный базис для ${displaystyle L^{2}(Omega )}$^[2]. Метод спектрального элемента вместо этого выбирает кусочно-полиномиальные базисные функции высокой степени, также обеспечивая очень высокий порядок точности. Такие многочлены обычно ортогональны. Полиномы Чебышева или очень высокого порядка Полиномы Лежандра над неравномерно расположенными узлами. В SEM погрешность вычисления экспоненциально уменьшается по мере увеличения порядка аппроксимирующего полинома, поэтому быстрая сходимость решения к точному решению реализуется с меньшим количеством степеней свободы конструкции по сравнению с FEM. мониторинг состояния конструкций, МКЭ можно использовать для обнаружения крупных дефектов в конструкции, но поскольку размер дефекта уменьшается, возникает необходимость в использовании высокочастотной волны с небольшой длиной волны. Следовательно, сетка FEM должна быть намного более мелкой, что приводит к увеличению времени вычислений и неточному решению. SEM с меньшим количеством степеней свободы на узел может быть полезен для обнаружения небольших дефектов. Неравномерность узлов помогает сделать диагональ матрицы масс, что экономит время и память, а также полезно для принятия метода центральной разности (CDM). К недостаткам SEM можно отнести сложность моделирования сложной геометрии по сравнению с гибкостью FEM.

Хотя метод может быть применен с модальным кусочно-ортогональным полиномиальным базисом, он чаще всего реализуется с узловым тензорным произведением базиса Лагранжа^[3]. Эффективность метода повышается за счет размещения узловых точек в точках Лежандра-Гаусса-Лобатто (LGL) и выполнения интеграций метода Галеркина с уменьшенным Квадратура Гаусса-Лобатто используя те же узлы. С помощью этой комбинации упрощения приводят к тому, что скопление массы происходит во всех узлах, а процедура совмещения получается во внутренних точках.

Наиболее популярные приложения метода - вычислительная гидродинамика.^[3] и моделирование распространения сейсмических волн^[4].

Априорная оценка погрешности

Классический анализ Методы Галеркина и Лемма Сеа здесь выполняется, и можно показать, что если ты является решением слабого уравнения, ты_N приближенное решение и ${displaystyle uin H^{s+1}(Omega )}$:

${displaystyle |u-u_{N}|_{H^{1}(Omega )}leqq C_{s}N^{-s}|u|_{H^{s+1}(Omega )}}$

где C не зависит от N и s не больше степени кусочно-полиномиального базиса. По мере увеличения N, мы также можем увеличить степень базисных функций. В этом случае, если ты является аналитическая функция:

${displaystyle |u-u_{N}|_{H^{1}(Omega )}leqq Cexp(-gamma N)}$

где ${displaystyle gamma }$ зависит только от ${displaystyle u}$.

Гибрид-коллокация-Галеркин обладает некоторыми свойствами сверхсходимости.^[5]. Форма LGL SEM эквивалентна^[6], поэтому он достигает тех же свойств сверхсходимости.

История развития

Разработку самой популярной формы метода LGL обычно приписывают Мадей и Патера.^[7]. Однако он был разработан более десяти лет назад. Во-первых, это метод гибридной коллокации-Галеркина (HCGM).^[8][5], который применяет коллокацию во внутренних точках Лобатто и использует интегральную процедуру, подобную Галеркину, на интерфейсах элементов. Метод Лобатто-Галеркина, описанный Янгом.^[9] идентичен SEM, в то время как HCGM эквивалентен этим методам^[6]. Эта более ранняя работа игнорируется в спектральной литературе.

Связанные методы

• G-NI или SEM-NI - наиболее часто используемые спектральные методы. Галёркинская формулировка спектральных методов или методов спектральных элементов для G-NI или SEM-NI соответственно модифицирована и Интеграция Гаусса-Лобатто используется вместо интегралов в определении билинейная форма ${displaystyle a(cdot ,cdot )}$ а в функционале ${displaystyle F}$. Их сближение является следствием Лемма Стрэнга.
• SEM - это МКЭ на основе Галеркина (метод конечных элементов) с базисными функциями Лагранжа (форма) и сокращенным численным интегрированием с помощью Квадратура лобатто используя те же узлы.
• В псевдоспектральный метод, ортогональное словосочетание, дифференциальный квадратурный метод и G-NI - разные названия одного и того же метода. Эти методы используют глобальные, а не кусочно-полиномиальные базисные функции. Расширение до кусочного базиса МКЭ или СЭМ почти тривиально.^[6].
• В методе спектральных элементов используется тензорное произведение пространство, покрытое узловыми базисными функциями, связанными с Точки Гаусса – Лобатто. Напротив, p-версия метода конечных элементов охватывает пространство полиномов высокого порядка безузловыми базисными функциями, выбранными приблизительно ортогональными для числовая стабильность. Поскольку не все внутренние базисные функции должны присутствовать, метод конечных элементов p-версии может создать пространство, содержащее все многочлены до заданной степени с меньшим количеством степеней свободы.^[10] Однако некоторые методы ускорения, возможные в спектральных методах из-за их характера тензорного произведения, больше не доступны. Название p-версия означает, что точность увеличивается за счет увеличения порядка приближающих многочленов (таким образом, п) вместо уменьшения размера ячейки, час.
• В л.с. метод конечных элементов (hp-FEM ) сочетает в себе преимущества час и п уточнения для получения экспоненциальной скорости сходимости.^[11]

Заметки

1. Патера А. Т. (1984). «Метод спектральных элементов для гидродинамики - Ламинарное течение в расширении канала». Журнал вычислительной физики. 54 (3): 468–488. Дои:10.1016/0021-9991(84)90128-1.
2. Мурадова, Алики Д. "Спектральный метод и алгоритм численного продолжения для задачи фон Кармана с поведением решений после блокировки". Adv Comput Math. 29 (2): 179–206, 2008. Дои:10.1007 / s10444-007-9050-7.
3. Карниадакис, Г. и Шервин, С .: Спектральные / HP элементные методы для вычислительной гидродинамики, Oxford Univ. Пресса, (2013), ISBN  9780199671366
4. Коматич, Д. и Виллот, Дж. П .: «Метод спектральных элементов: эффективный инструмент для моделирования сейсмического отклика 2D и 3D геологических структур», Бюл. Seismological Soc. Америка, 88, 2, 368-392 (1998).
5. Уилер, М.Ф .: «Метод конечных элементов с коллокацией C0 для двухточечных граничных и одномерных параболических задач», SIAM J. Numer. Anal., 14, 1, 71-90 (1977).
6. Янг, Л.К., «Возвращение к ортогональным словосочетаниям», Comp. Методы в Прил. Мех. и Engr. 345 (1) 1033-1076 (март 2019), doi.org/10.1016/j.cma.2018.10.019
7. Мадей Ю. и Патера А. Т. «Методы спектральных элементов для уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости» в современных обзорах по вычислительной механике, А.К. Нур, редактор ASME, Нью-Йорк (1989).
8. Диаз, Дж. «Метод коллокации-Галеркина для двухточечной краевой задачи с использованием непрерывных кусочно-полиномиальных пространств», SIAM J. Num. Анал., 14 (5) 844-858 (1977) ISSN 0036-1429
9. Янг, Л.С., "Метод конечных элементов для моделирования коллектора", Soc. Петр. Engrs. J. 21 (1) 115-128 (февраль 1981 г.), статья SPE 7413, представленная в октябре 1978 г., doi.org/10.2118/7413-PA
10. Барна Сабо и Иво Бабушка, Анализ методом конечных элементов, John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1991. ISBN  0-471-50273-1
11. П. Шолин, К. Сегет, И. Долежель: Методы конечных элементов высшего порядка, Chapman & Hall / CRC Press, 2003. ISBN  1-58488-438-X