Методы Неймана – Неймана - Neumann–Neumann methods

В математике Методы Неймана – Неймана разложение области предварительные кондиционеры названы так, потому что они решают Проблема Неймана на каждом субдомене с обеих сторон интерфейса между субдоменами.^[1] Как и все методы декомпозиции области, так что количество итераций не растет с увеличением числа подобластей, методы Неймана – Неймана требуют решения грубой задачи для обеспечения глобальной связи. В балансировка декомпозиции области является методом Неймана – Неймана со специальным видом грубой задачи.

Более конкретно, рассмотрим область Ω, в которой мы хотим решить уравнение Пуассона

${\displaystyle -\Delta u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=0}$

для какой-то функции ж. Разделим область на две неперекрывающиеся подобласти Ω₁ и Ω₂ с общей границей Γ и пусть ты₁ и ты₂ быть значениями ты в каждом поддомене. На границе между двумя подобластями два решения должны удовлетворять условиям согласования

${\displaystyle u_{1}=u_{2},\qquad \partial _{n_{1}}u_{1}=\partial _{n_{2}}u_{2}}$

куда ${\textstyle n_{i}}$ - единичный вектор нормали к Γ в каждой подобласти.

Итерационный метод с итерациями k = 0,1, ... для аппроксимации каждого u_я (i = 1,2), удовлетворяющая условиям согласования, должна сначала решить задачи Дирихле

${\displaystyle -\Delta u_{i}^{(k)}=f_{i}\;{\text{in}}\;\Omega _{i},\qquad u_{i}^{(k)}|_{\partial \Omega }=0,\quad u_{i}^{(k)}|_{\Gamma }=\lambda ^{(k)}}$

для некоторой функции λ^(k) на Γ, где λ⁽⁰⁾ - любое недорогое первоначальное предположение Затем мы решаем две задачи Неймана.

${\displaystyle -\Delta \psi _{i}^{(k)}=0\;{\text{in}}\;\Omega _{i},\qquad \psi _{i}^{(k)}|_{\partial \Omega }=0,\quad \partial _{n_{i}}\psi _{i}^{(k)}|_{\Gamma }=\omega (\partial _{n_{1}}u_{1}^{(k)}+\partial _{n_{2}}u_{2}^{(k)}).}$

Затем мы получаем следующую итерацию, задав

${\displaystyle \lambda ^{(k+1)}=\lambda ^{(k)}-\omega (\theta _{1}\psi _{1}^{(k)}+\theta _{2}\psi _{2}^{(k)})\;{\text{on}}\;\Gamma }$

для некоторых параметров ω, θ₁ и θ₂.

Эту процедуру можно рассматривать как Итерация Ричардсона для итерационного решения уравнений, возникающих из Метод дополнения Шура.^[2]

Эта непрерывная итерация может быть дискретизирована метод конечных элементов а затем решали - параллельно - на компьютере. Расширение на большее количество поддоменов является простым, но использование этого метода, как указано в качестве предварительного условия для системы дополнений Шура, не масштабируется с количеством поддоменов; отсюда необходимость глобального грубого решения.

Смотрите также

• Метод Неймана – Дирихле.

Рекомендации

1. А. Клавонн и О. Б. Видлунд, FETI и итерационные методы субструктурирования Неймана – Неймана: связи и новые результаты, Comm. Pure Appl. Math., 54 (2001), стр. 57–90.
2. А. Куартерони и А. Валли, Методы декомпозиции областей для уравнений с частными производными, Oxford Science Publications 1999.