Метод конечной точки - Finite point method - Wikipedia

В метод конечных точек (FPM) это метод без сетки для решения уравнения в частных производных (PDE) по рассеянному распределению точек. FPM был предложен в середине девяностых годов в (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz & Taylor, 1996a),[1] (Оньяте, Идельсон, Зенкевич, Тейлор и Сакко, 1996b)[2] и (Oñate & Idelsohn, 1998a)[3] с целью облегчить решение проблем, связанных со сложной геометрией, свободными поверхностями, движущимися границами и адаптивное уточнение. С тех пор FPM претерпел значительные изменения, демонстрируя удовлетворительную точность и возможности решения различных задач механики жидкости и твердого тела.

История

Подобно другим бессеточным методам для УЧП, метод конечных точек (FPM) берет свое начало в методах, разработанных для аппроксимации и интерполяции разрозненных данных, в основном в линии взвешенный метод наименьших квадратов методы (WLSQ). Последние можно рассматривать как частные формы метод наименьших квадратов метод (MLS), предложенный Ланкастером и Салкаускасом.[4] Методы WLSQ широко используются в методах без сетки, поскольку позволяют сохранить большую часть MLS, но являются более эффективными и простыми в реализации. Помня об этих целях, в (Oñate, Idelsohn & Zienkiewicz, 1995a) началось выдающееся исследование, которое привело к разработке FPM.[5] и (Taylor, Zienkiewicz, Oñate & Idelsohn, 1995).[6] Предложенная методика характеризовалась аппроксимацией WLSQ на локальных облаках точек и процедурой дискретизации уравнений на основе коллокации точек (в соответствии с работами Батиной, 1989 г.[7] 1992[8]). Первые приложения FPM были сосредоточены на задачах адаптивного сжимаемого потока (Fischer, Onate & Idelsohn, 1995;[9] Оньяте, Идельсон и Зиенкевич, 1995а;[5] Оньяте, Идельсон, Зенкевич и Фишер, 1995b[10]). Влияние на аппроксимацию локальных облаков и весовых функций также было проанализировано с использованием линейных и квадратичных полиномиальных базисов (Fischer, 1996).[11] Дополнительные исследования в контексте проблем конвекции-диффузии и потока несжимаемой жидкости дали FPM более прочную основу; ср. (Оньяте, Идельсон, Зиенкевич и Тейлор, 1996a)[1] и (Оньяте, Идельсон, Зиенкевич, Тейлор и Сакко, 1996b).[2] Эти работы и (Oñate & Idelsohn, 1998)[3] определили основную технику FPM, используемую сегодня.

Численное приближение

Схема численной аппроксимации ФПМ

Приближение в FPM можно резюмировать следующим образом. Для каждой точки в области анализа (звездная точка) приближенное решение строится локально с использованием подмножества окружающих опорных точек , принадлежащих проблемной области (локальное облако точек ). Приближение вычисляется как линейная комбинация неизвестных узловых значений (или параметров) облака и определенных метрических коэффициентов. Они получены путем решения задачи WLSQ на уровне облаков, в которой расстояния между узловыми параметрами и приближенным решением минимизированы в смысле LSQ. Как только коэффициенты метрики аппроксимации известны, задача, определяющая УЧП, выбирается в каждом звездная точка используя метод коллокации. Непрерывные переменные (и их производные) заменяются в выбранных уравнениях дискретными приближенными формами, а решение полученной системы позволяет вычислить неизвестные узловые значения. Следовательно, может быть получено приближенное решение, удовлетворяющее основным уравнениям задачи. Важно отметить, что в высшей степени локальный характер FPM делает этот метод подходящим для реализации эффективных схем параллельных решений.

Построение типичного приближения FPM описано в (Oñate & Idelsohn, 1998).[3] Анализ параметров аппроксимации можно найти в (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2007).[12] и более подробное исследование проведено в (Ortega, 2014).[13] Также предлагались другие подходы, см., Например, (Boroomand, Tabatabaei and Oñate, 2005).[14] Расширение приближения FPM представлено в (Boroomand, Najjar & Oñate, 2009).[15]

Приложения

Гидравлическая механика

Первые направления исследований и приложений FPM к проблемам потока жидкости кратко изложены в (Fischer, 1996).[11] Там конвективно-диффузионные задачи изучались с использованием полиномиальных приближений LSQ и WLSQ. Исследование было сосредоточено на влиянии облака точек и весовых функций на точность локальной аппроксимации, что помогло понять базовое поведение FPM. Результаты показали, что одномерное приближение FPM приводит к дискретным производным формам, аналогичным тем, которые получены с помощью аппроксимаций центральных разностей, которые имеют второй порядок точности. Однако точность ухудшается до первого порядка для несимметричных облаков в зависимости от весовой функции. Также были определены предварительные критерии выбора точек, соответствующих локальным облакам, с целью улучшения условий задачи минимизации. Решатель потока, использованный в этой работе, был основан на двухэтапной схеме Тейлора-Галеркина с явной искусственной диссипацией. Численные примеры включали невязкие дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые двумерные задачи, но также был предоставлен тестовый пример вязкого низкого числа Рейнольдса. В целом результаты, полученные в этой работе, были удовлетворительными и продемонстрировали, что введение взвешивания при минимизации LSQ приводит к лучшим результатам (использовался линейный базис).

В аналогичном направлении исследований был разработан метод остаточной стабилизации, основанный на балансировке потоков в конечной области, известный как исчисление конечного приращения (FIC) (Oñate, 1996,[16] 1998[17]), был представлен. Результаты были сопоставимы с результатами, полученными с явным искусственным рассеиванием, но с тем преимуществом, что стабилизация в FIC вводится последовательным образом, см. (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b).[2] и (Oñate & Idelsohn, 1998a).[3]

Среди этих разработок проблема генерации точек была впервые рассмотрена в (Löhner & Oñate, 1998).[18] Основываясь на прогрессивном методе фронта, авторы показали, что точечные дискретизации, подходящие для бессеточных вычислений, могут быть сгенерированы более эффективно, избегая обычных проверок качества, необходимых при генерации традиционных сеток. Было достигнуто очень конкурентоспособное время генерации по сравнению с традиционными сетками, что впервые продемонстрировало, что бессеточные методы являются реальной альтернативой для решения проблем дискретизации.

Несжимаемые двумерные потоки были впервые изучены в (Oñate, Sacco & Idelsohn, 2000).[19] используя метод проекции стабилизируется с помощью техники FIC. Подробный анализ этого подхода был проведен в (Sacco, 2002).[20] Выдающиеся достижения в этой работе дали ФПМ более прочную основу; Среди них определение локальной и нормализованной баз аппроксимации, процедура построения локальных облаков точек на основе локальной триангуляции Делоне и критерий оценки качества полученной аппроксимации. Представленные численные приложения были сосредоточены в основном на двумерных (вязких и невязких) потоках несжимаемой жидкости, но также был предоставлен пример трехмерного приложения.

Предварительное применение FPM в лагранжевой структуре, представленное в (Idelsohn, Storti & Oñate, 2001),[21] также заслуживает упоминания. Несмотря на интересные результаты, полученные для несжимаемой свободная поверхность потоков, это направление исследований не было продолжено в рамках FPM, и более поздние формулировки основывались исключительно на описаниях эйлеровых потоков.

Первое применение FPM к решению трехмерных сжимаемых потоков было представлено в пионерской работе (Löhner, Sacco, Oñate & Idelsohn, 2002).[22] Там были разработаны надежная и общая процедура построения локальных облаков точек (основанная на методе Делоне) и хорошо подходящая схема для решения уравнений потока. В предложенной схеме решения дискретные производные потока записываются по краям, соединяющим точки облака, как центральное разностное выражение плюс смещенный против ветра член, который обеспечивает конвективную стабилизацию. Для этой цели использовался приближенный решатель Римана для расщепления вектора потока Роу и Ван Лера. Предлагаемый подход является более точным (и более дорогим), чем методы искусственной диссипации, и, кроме того, не требует определения геометрических мер в локальном облаке и проблемно-зависимых параметров. Интегрирование уравнений по времени производилось по многоступенчатой ​​явной схеме в рамках методов Рунге-Кутта.

Несколько лет спустя были проведены дальнейшие исследования в отношении приближения 3D FPM в (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2007).[12] Эта работа была сосредоточена на построении робастных приближений независимо от характеристик локальной опоры. С этой целью была предложена локальная автоматическая настройка весовой функции и других параметров аппроксимации. Дальнейшие 3D-приложения метода включали сжимаемые аэродинамические потоки с адаптивное уточнение (Ортега, Оньяте и Идельсон, 2009 г.)[23] и подвижная / деформирующаяся граница проблемы (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2013).[24] В этих работах FPM показал удовлетворительную надежность и точность, а также возможности для выполнения практических вычислений. Среди других достижений было продемонстрировано, что полное восстановление дискретности модели может быть доступной стратегией решения даже в больших задачах моделирования. Этот результат представляет новые возможности для бессеточного анализа задач движущихся / деформируемых областей. FPM также был успешно применен к адаптивным мелководье проблемы в (Ortega, Oñate, Idelsohn & Buachart, 2011)[25] и (Buachart, Kanok-Nukulchai, Ortega & Oñate, 2014).[26] Предложение по использованию преимуществ бессеточного режима в задачах вязкого течения с высокими значениями Рейнольдса представлено в (Ortega, Oñate, Idelsohn & Flores, 2014a).[27]

В той же области приложений основное исследование точности, вычислительной стоимости и параллельной производительности FPM было проведено в (Ortega, Oñate, Idelsohn & Flores, 2014b).[28] Там FPM сравнивался с эквивалентным решателем на основе конечных элементов, который предоставил стандарт для оценки как характеристик бессеточного решателя, так и его пригодности для решения практических задач. В этой работе были предложены некоторые упрощения метода FPM для повышения эффективности и уменьшения разрыва в производительности с FEM. Затем были проведены исследования сходимости сетки с использованием конфигурации крыло-корпус. Результаты показали сопоставимую точность и производительность, что свидетельствует о конкурентоспособности FPM по сравнению со своим аналогом FEM. Это важно, поскольку бессеточные методы часто считаются непрактичными из-за низкой эффективности первоначальных реализаций.

FPM также применялся в аэроакустика в (Bajko, Cermak & Jicha, 2014).[29] Предлагаемая схема решения основана на линеаризованном решателе Римана и успешно использует преимущества приближений FPM высокого порядка. Полученные результаты указывают на потенциал FPM для решения проблем распространения звука.

Механика твердого тела

Текущие направления расследования

Текущие усилия в основном направлены на использование возможностей FPM для работы в параллельных средах для решения крупномасштабных практических задач, особенно в областях, где бессеточные процедуры могут внести полезный вклад, например, проблемы, связанные со сложной геометрией, перемещением / деформированием области, адаптивным уточнением и многомасштабный явления.

Рекомендации

  1. ^ а б Oñate, E .; Idelsohn, S .; Zienkiewicz, O.C .; Тейлор, Р. Л. (1996). «Метод конечных точек для анализа задач механики жидкости. Приложения к конвективному переносу и потокам жидкости». Международный журнал численных методов в инженерии. 39 (2): 3839–3866. Bibcode:1996IJNME..39.3839O. Дои:10.1002 / (SICI) 1097-0207 (19961130) 39:22 <3839 :: AID-NME27> 3.0.CO; 2-R.
  2. ^ а б c Oñate, E .; Idelsohn, S .; Zienkiewicz, O.C .; Taylor, R.L .; Сакко, К. (1996). «Стабилизированный метод конечных точек для анализа задач механики жидкости». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 139 (1): 315–346. Bibcode:1996CMAME.139..315O. Дои:10.1016 / с0045-7825 (96) 01088-2.
  3. ^ а б c d Oñate, E .; Идельсон, С. (1998). «Метод конечных точек без сетки для адвективно-диффузионного переноса и задач потока жидкости». Вычислительная механика. 24 (4–5): 283–292. Bibcode:1998CompM..21..283O. Дои:10.1007 / s004660050304.
  4. ^ Lancaster, P .; Салкаускас, К. (1981). «Поверхности, созданные методом наименьших квадратов». Математика вычислений. 37 (155): 141–158. Дои:10.2307/2007507. JSTOR  2007507.
  5. ^ а б Oñate, E .; Idelsohn, S .; Зенкевич, О. К. (1995). «Методы конечной точки в вычислительной механике». Публикация CIMNE № 74: Международный центр численных методов в инженерии.
  6. ^ Taylor, R.L .; Zienkiewicz, O.C .; Oñate, E .; Идельсон, С. (1995). «Подвижный метод наименьших квадратов для решения дифференциальных уравнений». Публикация CIMNE № 74 (стр. 31): Международный центр численных методов в инженерии.
  7. ^ Батина, Дж. Т. (1989). «Нестационарный алгоритм Эйлера с неструктурированной динамической сеткой для анализа аэроупругости сложных летательных аппаратов». Бумага AIAA. 89: 1189.
  8. ^ Батина, Дж. Т. (1992). «Бессеточный алгоритм решения Эйлера / Навье-Стокса для сложных двумерных приложений». НАСА-ТМ-107631.
  9. ^ Фишер, Т .; Oñate, E .; Идельсон, С. (1995). «Бессеточная техника компьютерного анализа высокоскоростных потоков». Документ, представленный на симпозиуме AGARD о прогрессе и проблемах методов и алгоритмов CFD, Севилья.
  10. ^ Oñate, E .; Idelsohn, S .; Zienkiewicz, O.C .; Фишер, Т. (1995). «Методы конечной точки в вычислительной механике». Конференция по методам конечных элементов в жидкостях, Вениз, Италия, 15-21.
  11. ^ а б Фишер, Т. (1996). «Вклад в адаптивное численное решение задач сжимаемого потока». Докторская диссертация, Политический университет Каталонии.
  12. ^ а б Ортега, Э .; Oñate, E .; Идельсон, С. (2007). «Улучшенный метод конечных точек для трехмерных потенциальных потоков». Вычислительная механика. 40 (6): 949–963. Bibcode:2007CompM..40..949O. Дои:10.1007 / s00466-006-0154-6.
  13. ^ Ортега, Э .; Oñate, E .; Идельсон, С. (2014). Развитие и применение метода конечных точек к сжимаемым аэродинамическим задачам (PDF). Монография ЦИМНЭ M143. ISBN  978-84-941686-7-3.
  14. ^ Boroomand, B .; Tabatabaei, A. A .; Оньяте, Э. (2005). «Простые модификации для стабилизации метода конечных точек». Международный журнал численных методов в инженерии. 63 (3): 351–379. Bibcode:2005IJNME..63..351B. Дои:10.1002 / nme.1278.
  15. ^ Boroomand, B .; Najjar, M .; Оньяте, Э. (2009). «Обобщенный метод конечных точек». Вычислительная механика. 44 (2): 173–190. Bibcode:2009CompM..44..173B. Дои:10.1007 / s00466-009-0363-x.
  16. ^ Оньяте, Э. (1996). «О стабилизации численного решения задач конвективного переноса и течения жидкости». Отчет об исследовании № 81: Международный центр численных методов в инженерии.
  17. ^ Оньяте, Э. (1998). «Вывод стабилизированных уравнений для численного решения адвективно-диффузионных задач переноса и течения жидкости». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 151 (1): 233–265. Bibcode:1998CMAME.151..233O. Дои:10.1016 / с0045-7825 (97) 00119-9.
  18. ^ Löhner, R .; Оньяте, Э. (1998). «Передовая техника генерации передних точек». Коммуникации в численных методах в инженерии. 14 (12): 1097–1108. Дои:10.1002 / (sici) 1099-0887 (199812) 14:12 <1097 :: aid-cnm183> 3.0.co; 2-7.
  19. ^ Oñate, E .; Sacco, C .; Идельсон, С. (2000). «Метод конечных точек для задач несжимаемой жидкости». Вычислительная техника и визуализация в науке. 3 (1–2): 67–75. Дои:10.1007 / s007910050053.
  20. ^ Сакко, К. (2002). "Desarrollo del método de puntos finitos en mecánica de fluidos". Докторская диссертация, Политический университет Каталонии.
  21. ^ Idelsohn, S .; Сторти, М .; Оньяте, Э. (2001). «Лагранжевые формулы для решения течений несжимаемой невязкой жидкости со свободной поверхностью». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 191 (6): 583–593. Bibcode:2001CMAME.191..583R. Дои:10.1016 / с0045-7825 (01) 00303-6.
  22. ^ Löhner, R .; Sacco, C .; Oñate, E .; Идельсон, С. (2002). «Метод конечных точек для сжимаемого потока». Международный журнал численных методов в инженерии. 53 (8): 1765–1779. Bibcode:2002IJNME..53.1765L. Дои:10.1002 / nme.334. HDL:2117/167123.
  23. ^ Ортега, Э .; Oñate, E .; Идельсон, С. (2009). «Метод конечных точек для адаптивных трехмерных расчетов сжимаемого потока». Международный журнал численных методов в жидкостях. 60 (9): 937–971. Bibcode:2009IJNMF..60..937O. Дои:10.1002 / пол.1892. HDL:2117/24488.
  24. ^ Ортега, Э .; Oñate, E .; Idelsohn, S .; Флорес, Р. (2013). «Бессеточный метод конечных точек для трехмерного анализа задач сжимаемого потока, включающий движущиеся границы и адаптивность». Международный журнал численных методов в жидкостях. 73 (4): 323–343. Bibcode:2013IJNMF..73..323O. Дои:10.1002 / пол.3799. HDL:2117/86276.
  25. ^ Ортега, Э .; Oñate, E .; Idelsohn, S .; Бухарт, К. (2011). «Адаптивный метод конечных точек для уравнений мелкой воды». Международный журнал численных методов в инженерии. 88 (2): 180–204. Bibcode:2011IJNME..88..180O. Дои:10.1002 / nme.3171.
  26. ^ Buachart, C .; Канок-Нукульчай, З .; Ортега, Э .; Оньяте, Э. (2014). «Модель мелкой воды методом конечных точек». Международный журнал вычислительных методов. 11 (1): 1350047. Дои:10.1142 / S0219876213500473.
  27. ^ Ортега, Э .; Oñate, E .; Idelsohn, S .; Флорес, Р. (2014). «Применение метода конечных точек к задачам сжимаемого потока с высоким числом Рейнольдса». Международный журнал численных методов в жидкостях. 74 (10): 732. Bibcode:2014IJNMF..74..732O. Дои:10.1002 / fld.3871.
  28. ^ Ортега, Э .; Oñate, E .; Idelsohn, S .; Флорес, Р. (2014). «Сравнительная оценка точности и эффективности метода конечных точек в задачах сжимаемого потока». Компьютеры и жидкости. 89: 53–65. Дои:10.1016 / j.compfluid.2013.10.024.
  29. ^ Bajko, J .; Cermák, L .; Йича, М. (2014). «Метод конечных точек высокого порядка для решения задач распространения звука». Компьютерные методы в прикладной механике и технике. 280: 157–175. Bibcode:2014CMAME.280..157B. Дои:10.1016 / j.cma.2014.07.022.