Регуляризованный бессеточный метод - Regularized meshless method

В вычислительной математике регуляризованный бессеточный метод (RMM), также известный как сингулярный бессеточный метод или же десингуляризованный бессеточный метод, представляет собой бессеточный метод коллокации границ, предназначенный для решения некоторых уравнения в частных производных чей фундаментальное решение явно известно. RMM - это сильная форма метод коллокации с достоинствами: отсутствие сетки, отсутствие интеграции, простота внедрения и высокая стабильность. До сих пор этот метод успешно применялся для решения некоторых типичных задач, таких как потенциал, акустика, водная волна и обратные задачи ограниченных и неограниченных областей.

Описание

RMM использует потенциалы двойного слоя из теории потенциала как ее базисные / ядерные функции. Словно метод фундаментальных решений (MFS),[1][2] численное решение аппроксимируется линейной комбинацией функций ядра двойного слоя по отношению к различным точкам источника. В отличие от MFS, точки коллокации и исходные точки RMM, однако, совпадают и помещаются на физическую границу без необходимости в фиктивной границе в MFS. Таким образом, RMM преодолевает основное узкое место в приложениях MFS для реальных проблем.

При совпадении точек коллокации и истока функции ядра двойного слоя будут иметь различные порядки сингулярности. Таким образом, метод регуляризации вычитания и прибавления [3] вводится и, следовательно, устраняет или отменяет такие особенности.

История и недавнее развитие

В эти дни метод конечных элементов (FEM), метод конечных разностей (FDM), метод конечных объемов (FVM) и метод граничных элементов (БЭМ) являются доминирующими численными методами в численном моделировании многих областей техники и науки. Генерация сеток является утомительной и даже очень сложной задачей при решении многомерных движущихся или сложных граничных задач, требует больших вычислительных затрат и часто вызывает затруднения с математической точки зрения.

Долгое время считалось, что БЭМ устраняет такие недостатки благодаря дискретизации только по границам и его полуаналитическому характеру. Несмотря на эти достоинства, БЭМ, однако, включает в себя довольно сложную математику и некоторые хитрые сингулярные интегралы. Более того, создание сетки поверхностей в трехмерной области остается нетривиальной задачей. За последние десятилетия значительные усилия были направлены на облегчение или устранение этих трудностей, что привело к развитию методов коллокации границ без сетки / без сетки, которые не требуют ни доменной, ни граничной сетки. Среди этих методов MFS является наиболее популярным благодаря простоте программирования, математической простоте, высокой точности и быстрой сходимости.

В MFS требуется фиктивная граница вне области задачи, чтобы избежать сингулярности фундаментального решения. Однако определение оптимального расположения фиктивной границы - нетривиальная задача, требующая изучения. С тех пор были предприняты колоссальные усилия для устранения этой давней озадачивающей проблемы. Последние достижения включают, например, метод граничного узла (БКМ),[4][5] регуляризованный бессеточный метод (RMM),[3] модифицированная MFS (MMFS),[6] и особый граничный метод (SBM) [7]

Методология RMM была впервые предложена Янгом и его сотрудниками в 2005 году. Ключевая идея состоит в том, чтобы ввести метод регуляризации с вычитанием и сложением для устранения сингулярности функции ядра двойного слоя в начале координат, чтобы точки источника могли размещать прямо на реальной границе. До сих пор RMM успешно применялся для решения множества физических проблем, таких как потенциальные,[3] внешняя акустика [8] антиплан пьезоэлектричество,[9] акустическая задача на собственные значения с многосвязной областью,[10] обратная задача,[11] уравнение возможности [12] и проблемы с водной волной.[13] Кроме того, были сделаны некоторые улучшенные формулировки, направленные на дальнейшее улучшение осуществимости и эффективности этого метода, см., Например, взвешенный RMM для нерегулярных проблем домена. [14] и аналитический RMM для двумерных задач Лапласа.[15]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ А.К. Фэйрвезер Г. Метод фундаментальных решений эллиптических краевых задач. Достижения в вычислительной математике. 9 (1998) 69–95.
  2. ^ М.А.Гольберг, К.С.Чен, Теория радиальных базисных функций в применении к МГЭ для неоднородных уравнений в частных производных, Связь с граничными элементами. 5 (1994) 57–61.
  3. ^ а б c D.L. Янг, К. Чен, К. В. Ли. Новый бессеточный метод решения потенциальных проблем с произвольными областями. Журнал вычислительной физики 2005; 209(1): 290–321.
  4. ^ В. Чен и М. Танака "Технология RBF без сетки, экспоненциальной сходимости, без интеграции и только с границами В архиве 2016-03-04 в Wayback Machine ", Компьютеры и математика с приложениями, 43, 379–391, 2002.
  5. ^ В. Чен, Ю.С. Дорогой, "Численная сходимость метода граничных узлов при анализе задач Гельмгольца, модифицированной задачи Гельмгольца и конвекции-диффузии В архиве 2015-06-20 на Wayback Machine ", Компьютерные методы в прикладной механике и технике, 192, 1859–1875, 2003.
  6. ^ Б. Сарлер, "Решение потенциальных задач потока модифицированным методом фундаментальных решений: формулировки с однослойными и двухслойными фундаментальными решениями", Eng анальный связанный элемент 2009;33(12): 1374–82.
  7. ^ W. Chen, F.Z. Ван, "Метод фундаментальных решений без фиктивной границы В архиве 2015-06-06 на Wayback Machine ", Eng анальный связанный элемент 2010;34(5): 530–32.
  8. ^ D.L. Янг, К. Чен, К. В. Ли. Сингулярный бессеточный метод с использованием потенциалов двойного слоя для внешней акустики.Журнал Акустического общества Америки 2006;119(1):96–107.
  9. ^ К.Х. Чен, Дж. Као, J.T. Чен. Регуляризованный бессеточный метод решения антиплоских пьезоэлектрических задач с множественными включениями Компьютеры, материалы и продолжение 2009;9(3):253–79.
  10. ^ К.Х. Чен, Дж. Т. Чен, Дж. Као. Регуляризованный бессеточный метод решения акустической задачи на собственные значения в многосвязной области. Компьютерное моделирование в инженерии и науке 2006;16(1):27–39.
  11. ^ К.Х. Чен, Дж. Као, J.T. Чен, К. Ву. Desingularized бессеточный метод решения уравнения Лапласа с переопределенными граничными условиями с использованием методов регуляризации. Вычислительная механика 2009;43:827–37
  12. ^ W. Chen, J. Lin, F.Z. Ван, "Регуляризованный бессеточный метод решения неоднородных задач В архиве 2015-06-06 на Wayback Machine ", Англ. Анальный. Граница. Elem. 35 (2011) 253–257.
  13. ^ К.Х. Чен, М. Лу, Х. Сюй, Регуляризованный бессеточный метод анализа проблемы наклонно падающей водной волны, Англ. Анальный. Граница. Elem. 35 (2011) 355–362.
  14. ^ R.C. Сонг, В. Чен "Исследование регуляризованного бессеточного метода для задач с нерегулярной областью[постоянная мертвая ссылка ]", CMES-Comput. Модель. Англ. Наука. 42 (2009) 59–70.
  15. ^ W. Chen, R.C. Сонг, Аналитические диагональные элементы регуляризованного бессеточного метода для регулярных областей двумерных задач Дирихле Лапласа, Англ. Анальный. Граница. Elem. 34 (2010) 2–8.