Метод средневзвешенных остатков - Method of mean weighted residuals

В прикладной математике методы средневзвешенных остатков (MWR) методы решения дифференциальные уравнения. Предполагается, что решения этих дифференциальных уравнений хорошо аппроксимируются конечной суммой пробных функций ${\displaystyle \phi _{i}}$. В таких случаях выбранный метод взвешенных остатков используется для нахождения значения коэффициента каждой соответствующей тестовой функции. Результирующие коэффициенты созданы для минимизации ошибки между линейной комбинацией тестовых функций и фактическим решением в выбранной норме.

Обозначение этой страницы

Часто очень важно сначала разобраться в используемых обозначениях, прежде чем описывать, как выполняется этот метод, чтобы избежать путаницы.

• ${\displaystyle u(x)}$ должен использоваться для обозначения решения дифференциального уравнения, к которому применяется метод MWR.
• Решение упомянутого дифференциального уравнения должно быть приравнено к настройке некоторой функции ${\displaystyle R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right)}$ называется «функцией вычета» до нуля.
• Каждый метод средневзвешенных остатков включает в себя некоторые «тестовые функции», которые будут обозначаться ${\displaystyle w_{i}}$.
• Степени свободы обозначим ${\displaystyle a_{i}}$.
• Если принятый вид решения дифференциального уравнения ${\displaystyle R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right)=0}$ является линейным (по степеням свободы), то используемые в указанной форме базисные функции обозначаются как ${\displaystyle \phi _{i}}$.

Математическая формулировка метода

Метод средневзвешенных остатков решает ${\displaystyle R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right)=0}$ утверждая, что степени свободы ${\displaystyle a_{i}}$ таковы, что:

${\displaystyle \left(R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right),w_{i}\right)=0}$

доволен. Где внутренний продукт ${\displaystyle (f,g)}$ является внутренним произведением стандартной функции относительно некоторой весовой функции ${\displaystyle r(x)}$ который обычно определяется набором базисных функций или произвольно в зависимости от того, какая весовая функция наиболее удобна. Например, когда базовый набор - это просто Полиномы Чебышева первого вида весовая функция обычно ${\displaystyle r(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ потому что тогда внутренние продукты легче вычислить с помощью Преобразование Чебышева.

Кроме того, все эти методы объединяет то, что они обеспечивают соблюдение граничных условий либо путем обеспечения того, чтобы базовые функции (в случае линейной комбинации) индивидуально применяли граничные условия на исходном BVP (это работает, только если граничные условия однородны, однако его можно применить к задачам с неоднородными граничными условиями, если ${\displaystyle u(x)=v(x)+L(x)}$ и подставив это выражение в исходное дифференциальное уравнение и наложив однородные граничные условия на новое решение, которое ищется, чтобы найти u (x), то есть v (x), где L (x) - функция, которая удовлетворяет граничным условиям, наложенным на u, т.е. известное.), или путем явного наложения границы путем удаления n строк из матрицы, представляющей дискретизированную задачу, где n относится к порядку дифференциального уравнения, и замены их на те, которые представляют граничные условия.

Выбор тестовых функций

Выбор тестовой функции, как упоминалось ранее, зависит от конкретного используемого метода (под общим заголовком методов средневзвешенных остатков). Вот список часто используемых конкретных методов MWR и соответствующих им тестовых функций примерно в зависимости от их популярности:

• В Метод Галеркина, который использует сами базисные функции в качестве тестовых функций или, в более общем случае нелинейной предполагаемой формы (где нелинейность находится в степенях свободы) решения, метод Галеркина использует тестовые функции: ${\displaystyle w_{i}={\frac {\partial u}{\partial a_{i}}}}$
• В псевдоспектральный метод который использует Дельта-функции Дирака с центром в наборе дискретных x точек ${\displaystyle x_{i}}$ и равносильно установке нулевой функции вычета в этих точках x.
• Метод наименьших квадратов использует тестовые функции: ${\displaystyle w_{i}={\frac {\partial R}{\partial a_{i}}}}$. Этот метод сводит к минимуму площадь L2-норма функции вычета (т. е. ${\displaystyle \|{R}\|^{2}}$) по степеням свободы ${\displaystyle a_{i}}$.
• Метод моментов использует простой набор тестовых функций. ${\displaystyle x^{i}}$ и редко когда-либо реализуется, когда требуется высокая степень точности из-за вычислительных проблем, связанных с инвертированием Матрица Гильберта.

Рекомендации

• Введение в прикладную математику, Wellesley-Cambridge Press (1986).