Матрица Гильберта - Hilbert matrix

В линейная алгебра, а Матрица Гильберта, представлен Гильберта  (1894 ), это квадратная матрица с записями, являющимися единицы измерения

${\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}.}$

Например, это матрица Гильберта 5 × 5:

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.}$

Матрицу Гильберта можно рассматривать как производную от интеграла

${\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,}$

то есть как Матрица грамиана для полномочий Икс. Возникает в наименьших квадратов приближение произвольных функций многочлены.

Матрицы Гильберта являются каноническими примерами плохо воспитанный матрицы, которые, как известно, трудно использовать в численных вычислениях. Например, 2-норма номер условия матрицы выше составляет около 4,8×10⁵.

Историческая справка

Гильберт (1894) ввел матрицу Гильберта для изучения следующего вопроса в теория приближения: "Предположить, что я = [а, б], - реальный интервал. Тогда возможно ли найти ненулевой многочлен п с интегральными коэффициентами, такими, что интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)^{2}dx}$

меньше любой заданной границы ε > 0, взятого сколь угодно малым? »Чтобы ответить на этот вопрос, Гильберт выводит точную формулу для детерминант матриц Гильберта и исследует их асимптотику. Он заключает, что ответ на его вопрос положительный, если длина б − а интервала меньше 4.

Характеристики

Матрица Гильберта симметричный и положительно определенный. Матрица Гильберта также полностью положительный (это означает, что определитель каждого подматрица положительный).

Матрица Гильберта является примером Матрица Ганкеля. Это также конкретный пример Матрица Коши.

Определитель может быть выражен в закрытая форма, как частный случай Определитель Коши. Определитель п × п Матрица Гильберта

${\displaystyle \det(H)={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}},}$

куда

${\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.}$

Гильберт уже упоминал любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целому числу (см. Последовательность OEIS: A005249 в OEIS ), что также следует из тождества

${\displaystyle {\frac {1}{\det(H)}}={\frac {c_{2n}}{c_{n}^{4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{\binom {i}{[i/2]}}.}$

С помощью Приближение Стирлинга из факториал, можно установить следующий асимптотический результат:

${\displaystyle \det(H)=a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},}$

куда а_п сходится к постоянной ${\displaystyle e^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\approx 0.6450}$ в качестве ${\displaystyle n\to \infty }$, куда А это Константа Глейшера – Кинкелина.

В обратный матрицы Гильберта можно выразить в замкнутой форме с помощью биномиальные коэффициенты; его записи

${\displaystyle (H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{n-j}}{\binom {n+j-1}{n-i}}{\binom {i+j-2}{i-1}}^{2},}$

куда п - порядок матрицы.^[1] Отсюда следует, что все элементы обратной матрицы - целые числа, а знаки образуют узор шахматной доски, будучи положительными на главной диагонали. Например,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}^{-1}=\left[{\begin{array}{rrrrr}25&-300&1050&-1400&630\\-300&4800&-18900&26880&-12600\\1050&-18900&79380&-117600&56700\\-1400&26880&-117600&179200&-88200\\630&-12600&56700&-88200&44100\end{array}}\right].}$

Номер условия п × п Матрица Гильберта растет как ${\displaystyle O\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4n}/{\sqrt {n}}\right)}$.

Приложения

В метод моментов применительно к полиномиальным распределениям приводит к Матрица Ганкеля, что в частном случае аппроксимации распределения вероятностей на интервале [0,1] приводит к матрице Гильберта. Эту матрицу необходимо инвертировать, чтобы получить весовые параметры приближения полиномиального распределения.^[2]

Рекомендации

1. Чой, Ман-Дуэн (1983). «Уловки или угощения с матрицей Гильберта». Американский математический ежемесячник. 90 (5): 301–312. Дои:10.2307/2975779. JSTOR  2975779.
2. Дж. Мункхаммар, Л. Матссон, Дж. Риден (2017) «Оценка полиномиального распределения вероятностей с использованием метода моментов». PLoS ONE 12 (4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573

дальнейшее чтение

• Гильберт, Дэвид (1894), "Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms", Acta Mathematica, 18: 155–159, Дои:10.1007 / BF02418278, ISSN  0001-5962, JFM  25.0817.02. Перепечатано в Гильберт, Дэвид. «статья 21». Сборник статей. II.
• Беккерман, Бернхард (2000). «Число обусловленности вещественных матриц Вандермонда, Крылова и положительно определенных матриц Ганкеля». Numerische Mathematik. 85 (4): 553–577. CiteSeerX  10.1.1.23.5979. Дои:10.1007 / PL00005392.
• Чой, М.-Д. (1983). «Уловки или угощения с матрицей Гильберта». Американский математический ежемесячный журнал. 90 (5): 301–312. Дои:10.2307/2975779. JSTOR  2975779.
• Тодд, Джон (1954). «Число обусловленности конечного сегмента матрицы Гильберта». Национальное бюро стандартов, серия по прикладной математике. 39: 109–116.
• Уилф, Х. С. (1970). Конечные сечения некоторых классических неравенств. Гейдельберг: Springer. ISBN  978-3-540-04809-1.