Константа Глейшера – Кинкелина - Glaisher–Kinkelin constant

В математика, то Константа Глейшера – Кинкелина или же Постоянная Глейшера, обычно обозначается А, это математическая константа, связанный с К-функция и G-функция Барнса. Константа появляется в ряде суммы и интегралы, особенно с участием гамма-функции и дзета-функции. Он назван в честь математики Джеймс Уитбред Ли Глейшер и Герман Кинкелин.

Его приблизительное значение:

${\displaystyle A\approx 1.2824271291\dots }$ (последовательность A074962 в OEIS ).

Постоянная Глейшера – Кинкелина. ${\displaystyle A}$ может быть дан предел:

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}\,e^{-n^{2}/4}}}}$

куда ${\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}}$ это К-функция. Эта формула показывает сходство между А и π что, возможно, лучше всего проиллюстрировать, отметив Формула Стирлинга:

${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n+1/2}\,e^{-n}}}}$

что показывает, что так же, как π получается из приближения функции ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k}$, А можно также получить из аналогичного приближения к функции ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k^{k}}$.
Эквивалентное определение для А с участием G-функция Барнса, данный ${\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}}$ куда ${\displaystyle \Gamma (n)}$ это гамма-функция является:

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}}$.

Константа Глейшера – Кинкелина также появляется при оценке производных от Дзета-функция Римана, Такие как:

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A}$

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta ^{\prime }(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]}$

куда ${\displaystyle \gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони. Последняя формула приводит непосредственно к следующему продукту, найденному Глейшер:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k^{1/k^{2}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\pi ^{2}/6}}$

Альтернативная формула продукта, определенная над простые числа, читает ^[1]

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }p_{k}^{1/(p_{k}^{2}-1)}={\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}},}$

куда ${\displaystyle p_{k}}$ обозначает ${\displaystyle k}$th простое число.

Ниже приведены некоторые интегралы, содержащие эту константу:

${\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)\,dx={\frac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\frac {1}{4}}\ln \pi }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A}$

Представление этой константы в виде ряда следует из ряда для дзета-функции Римана, задаваемого формулой Хельмут Хассе.

${\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1)}$

Рекомендации

1. Ван Гордер, Роберт А. (2012). «Продукты типа Глейшера над простыми числами». Международный журнал теории чисел. 08 (2): 543–550. Дои:10.1142 / S1793042112500297.

• Гильера, Иисус; Сондоу, Джонатан (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Рамануджанский журнал. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT / 0506319. Дои:10.1007 / s11139-007-9102-0.
• Гильера, Иисус; Сондоу, Джонатан (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Рамануджанский журнал. 16 (3): 247–270. arXiv:математика / 0506319. Дои:10.1007 / s11139-007-9102-0. (Обеспечивает различные отношения.)
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Глайшера – Кинкелина». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Дзета-функция Римана". MathWorld.

внешняя ссылка

• Константа Глейшера – Кинкелина с точностью до 20 000 знаков после запятой