G-функция Барнса - Barnes G-function

Функция Барнса G вдоль части действительной оси

В математика, то G-функция Барнса г(z) это функция это продолжение суперфакториалы к сложные числа. Это связано с гамма-функция, то К-функция и Константа Глейшера – Кинкелина, и был назван в честь математик Эрнест Уильям Барнс.^[1] Это можно записать в терминах двойная гамма-функция.

Формально Барнс г-функция определяется следующим образом Продукт Вейерштрасса форма:

${\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

где ${\displaystyle \,\gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони, exp (Икс) = е^Икс, а ∏ - это прописная пи.

Функциональное уравнение и целочисленные аргументы

Барнс г-функция удовлетворяет функциональное уравнение

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}$

с нормализацией г(1) = 1. Обратите внимание на сходство между функциональным уравнением G-функции Барнса и уравнением Эйлера. гамма-функция:

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).}$

Из функционального уравнения следует, что г принимает следующие значения при целое число аргументы:

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}}$

(особенно, ${\displaystyle \,G(0)=0,G(1)=1}$)и поэтому

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}$

где ${\displaystyle \,\Gamma (x)}$ обозначает гамма-функция и K обозначает К-функция. Функциональное уравнение однозначно определяет G-функцию, если выполняется условие выпуклости: ${\displaystyle \,{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}G(x)\geq 0}$ добавлен.^[2]

Значение 1/2

${\displaystyle G\left({\frac {1}{2}}\right)=2^{\frac {1}{24}}e^{{\frac {3}{2}}\zeta '(-1)}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}$

Формула отражения 1.0

В разностное уравнение для G-функции в сочетании с функциональное уравнение для гамма-функция, можно использовать для получения следующих формула отражения для G-функции Барнса (первоначально доказано Герман Кинкелин ):

${\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}$

Логкасательный интеграл в правой части можно вычислить в терминах Функция Clausen (порядка 2), как показано ниже:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Доказательство этого результата зависит от следующей оценки интеграла котангенса: введения обозначений ${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)}$ для логкотангенсного интеграла и с учетом того, что ${\displaystyle \,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x}$, интегрирование по частям дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}}$

Выполнение интегральной замены ${\displaystyle \,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )}$ дает

${\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\frac {y}{2}}\right)\,dy.}$

В Функция Clausen - второго порядка - имеет интегральное представление

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx.}$

Однако в интервале ${\displaystyle \,0<\theta <2\pi }$, то абсолютная величина подписать в интегрировать может быть опущен, поскольку в пределах диапазона функция "полусинус" в интеграле строго положительна и строго не равна нулю. Сравнивая это определение с результатом выше для логкасательного интеграла, очевидно, что выполняется следующее соотношение:

${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z).}$

Таким образом, после небольшой перестановки терминов доказательство завершено:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)\,.\,\Box }$

Используя соотношение ${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}$ и разделив формулу отражения на коэффициент ${\displaystyle \,2\pi }$ дает эквивалентную форму:

${\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Ссылка: см. Адамчик ниже для эквивалентной формы формула отражения, но с другим доказательством.

Формула отражения 2.0

Замена z с (1/2) − z '' в предыдущей формуле отражения дает после некоторого упрощения эквивалентную формулу, показанную ниже (включающую Полиномы Бернулли ):

${\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=}$

${\displaystyle \log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx}$

Расширение ряда Тейлора

К Теорема Тейлора, и учитывая логарифмическую производные функции Барнса можно получить следующее разложение в ряд:

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.}$

Это действительно для ${\displaystyle \,0<z<1}$. Вот, ${\displaystyle \,\zeta (x)}$ это Дзета-функция Римана:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Возведение в степень обеих сторон разложения Тейлора дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}}$

Сравнивая это с Продукт Вейерштрасса форма функции Барнса дает следующее соотношение:

${\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

Формула умножения

Как и гамма-функция, G-функция также имеет формулу умножения:^[3]

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}$

где ${\displaystyle K(n)}$ константа, определяемая как:

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

Здесь ${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$ является производной от Дзета-функция Римана и ${\displaystyle A}$ это Константа Глейшера – Кинкелина.

Асимптотическое разложение

В логарифм из г(z + 1) имеет следующее асимптотическое разложение, установленное Барнсом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}}$

Здесь ${\displaystyle B_{k}}$ являются Числа Бернулли и ${\displaystyle A}$ это Константа Глейшера – Кинкелина. (Обратите внимание, что во времена Барнса ^[4] то Число Бернулли ${\displaystyle B_{2k}}$ было бы написано как ${\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}}$, но это соглашение больше не актуально.) Это расширение действительно для ${\displaystyle z}$ в любом секторе, не содержащем отрицательной действительной оси с ${\displaystyle |z|}$ большой.

Связь с интегралом логгаммы

Параметрическая логгамма может быть оценена с помощью G-функции Барнса (ссылка: этот результат находится в Адамчик ниже, но указано без доказательства):

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

Доказательство несколько косвенное и включает в себя сначала рассмотрение логарифмической разности гамма-функция и G-функция Барнса:

${\displaystyle z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

где

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)e^{-z/k}\right\}}$

и ${\displaystyle \,\gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони.

Взяв логарифм Продукт Вейерштрасса формы функции Барнса и гамма-функции дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}&z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]={}&{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}{\Bigg \}}\right]\\[5pt]&{}-\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]\end{aligned}}}$

Небольшое упрощение и переупорядочение терминов дает расширение серии:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\\[5pt]={}&{-z}\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)\end{aligned}}}$

Наконец, возьмите логарифм Продукт Вейерштрасса форма гамма-функция, и проинтегрируем по интервалу ${\displaystyle \,[0,\,z]}$ чтобы получить:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx\\[5pt]={}&{-(z\log z-z)}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\end{aligned}}}$

Приравнивание двух оценок завершает доказательство:

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

И с тех пор ${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}$ тогда,

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -(1-z)\log \Gamma (z)-\log G(z)\,.}$

Рекомендации

1. Э. У. Барнс, "Теория G-функции", Ежеквартальный журнал. Чистый и Appl. Математика. 31 (1900), 264–314.
2. М. Ф. Виньерас, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL${\displaystyle (2,\mathbb {Z} )}$, Astérisque 61, 235–249 (1979).
3. И. Варди, Детерминанты лапласианов и множественные гамма-функции, SIAM J. Math. Анальный. 19, 493–507 (1988).
4. Э. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон, "Курс современного анализа ", ЧАШКА.

• Askey, R.A .; Рой, Р. (2010), "G-функция Барнса", в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248

• Адамчик, Виктор С. (2003). «Вклад в теорию функции Барнса». arXiv:математика / 0308086.