Движение снаряда - Projectile motion

Параболическая траектория движения воды

Составляющие начальной скорости параболического броска

Движение снаряда это форма движение испытывает объект или частица ( снаряд ), который проецируется у поверхности Земли и движется по кривой траектории под действием сила тяжести только (в частности, эффекты сопротивление воздуха считаются незначительными). Этот изогнутый путь был показан Галилео быть парабола, но также может быть линией в особом случае, когда она брошена прямо вверх. Изучение таких движений называется баллистика, и такая траектория есть баллистическая траектория. Единственная значимая сила, которая действует на объект, - это гравитация, которая действует вниз, тем самым придавая объекту нисходящую силу. ускорение. Из-за объекта инерция, для поддержания горизонтальной скорости не требуется внешняя горизонтальная сила компонент объекта. Принимая во внимание другие силы, такие как трение из аэродинамическое сопротивление или внутренний движитель, такой как в ракета, требует дополнительного анализа. Баллистическая ракета - это ракета, управляемая только во время относительно короткого начального этапа полета с двигателем, и последующий курс которой определяется законами классической механики.

Баллистика (гр. Βάλλειν ('ba'llein'), «бросать») - это наука о механике, которая занимается полетом, поведением и действием снарядов, особенно пуль, неуправляемых бомб, ракет и т. П. наука или искусство создания и ускорения снарядов для достижения желаемых характеристик.

Траектории полета снаряда с воздушным сопротивлением и различными начальными скоростями

В элементарных уравнениях баллистики пренебрегают почти всеми факторами, кроме начальной скорости и предполагаемого постоянного гравитационного ускорения. Практическое решение проблемы баллистики часто требует учета сопротивления воздуха, бокового ветра, движения цели, переменного ускорения под действием силы тяжести, а в таких задачах, как запуск ракеты из одной точки на Земле в другую, - вращения Земли. Подробные математические решения практических задач обычно не имеют закрытая форма решения, и поэтому требуют численные методы адресовать.

Кинематические величины движения снаряда

В движении снаряда горизонтальное движение и вертикальное движение не зависят друг от друга; то есть ни одно движение не влияет на другое. Это принцип сложное движение установлен Галилео в 1638 г.,^[1] и использованный им для доказательства параболической формы движения снаряда ^[2].

Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости снаряда не зависят друг от друга.

Баллистическая траектория - это парабола с однородным ускорением, например, в космическом корабле с постоянным ускорением в отсутствие других сил. На Земле ускорение меняет величину с высотой и направление с широтой / долготой. Это вызывает эллиптический траектория, которая очень близка к параболе в мелком масштабе. Однако, если объект был брошен, и Земля внезапно была заменена черная дыра равной массы, стало бы очевидно, что баллистическая траектория является частью эллиптической орбита вокруг этой черной дыры, а не параболы, уходящей в бесконечность. На более высоких скоростях траектория также может быть круговой, параболической или гиперболический (если не искажено другими объектами, такими как Луна или Солнце). В этой статье предполагается однородное ускорение.

Ускорение

Поскольку имеется только ускорение в вертикальном направлении, скорость в горизонтальном направлении постоянна и равна ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$. Вертикальное движение снаряда - это движение частицы во время свободного падения. Здесь ускорение постоянно, равное грамм.^{[примечание 1]} Составляющими ускорения являются:

${\displaystyle a_{x}=0}$,

${\displaystyle a_{y}=-g}$.

Скорость

Пусть запускается снаряд с начальным скорость ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$, который можно выразить как сумму горизонтальных и вертикальных составляющих следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}} }$.

Компоненты ${\displaystyle v_{0x}}$ и ${\displaystyle v_{0y}}$ можно найти, если начальный угол запуска, ${\displaystyle \theta }$, известен:

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )}$,

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$

Горизонтальная составляющая скорость объекта остается неизменным на протяжении всего движения. Вертикальная составляющая скорости изменяется линейно,^{[заметка 2]} потому что ускорение свободного падения постоянно. Ускорения в Икс и у направления могут быть интегрированы для решения компонентов скорости в любое время т, следующее:

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos(\theta )}$,

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt}$.

Величина скорости (под теорема Пифагора, также известный как закон треугольника):

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$.

Смещение

Перемещение и координаты параболического метания

В любое время ${\displaystyle t}$, снаряд по горизонтали и вертикали смещение находятся:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$,

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

Величина смещения составляет:

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

Рассмотрим уравнения,

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

Если т устраняется между этими двумя уравнениями, получается следующее уравнение:

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}}$.

С грамм, θ, и v₀ - константы, приведенное выше уравнение имеет вид

${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$,

в котором а и б являются константами. Это уравнение параболы, поэтому путь параболический. Ось параболы вертикальна.

Если положение снаряда (x, y) и угол запуска (θ или α) известны, начальную скорость можно найти, решив для v₀ в вышеупомянутом параболическом уравнении:

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$.

Свойства траектории

Время полета или общее время всего путешествия

Общее время т за которое снаряд остается в воздухе, называется временем полета.

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

После полета снаряд возвращается на горизонтальную ось (ось x), поэтому ${\displaystyle y=0}$.

${\displaystyle 0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt}$

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$

Обратите внимание, что мы не учли сопротивление воздуха на снаряде.

Если начальная точка находится на высоте у₀ относительно точки удара время полета составляет:

${\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

Как и выше, это выражение можно свести к

${\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {v\sin {\theta }+v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {(45)}}{g}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{g}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{g}}}$

если θ составляет 45 ° и у₀ равно 0.

Максимальная высота снаряда

Максимальная высота снаряда

Наибольшая высота, которой может достичь объект, называется пиком движения объекта. Увеличение высоты продолжается до ${\displaystyle v_{y}=0}$, то есть,

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$.

Время достижения максимальной высоты (ч):

${\displaystyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$.

Для вертикального перемещения максимальной высоты снаряда:

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2g}}}$

Максимальная достижимая высота достигается для θ=90°:

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}}$

Соотношение между горизонтальным диапазоном и максимальной высотой

Связь между диапазоном d в горизонтальной плоскости и максимальной высоте час достиг в ${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$ является:

${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$

Доказательство
${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}}$ ${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}}$ ${\displaystyle {\frac {h}{d}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}}$ × ${\displaystyle {\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}}$ ${\displaystyle {\frac {h}{d}}={\frac {\sin ^{2}\theta }{4\sin \theta \cos \theta }}}$ ${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$.

Максимальная дальность снаряда

Основная статья: Дальность снаряда

Максимальная дальность полета снаряда

Дальность и максимальная высота снаряда не зависят от его массы. Следовательно, дальность и максимальная высота одинаковы для всех тел, брошенных с одинаковой скоростью и направлением. d снаряда - это расстояние по горизонтали, которое он прошел, когда вернулся на исходную высоту (${\displaystyle y=0}$).

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$.

Время добраться до земли:

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$.

От горизонтального смещения максимальная дальность снаряда:

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$,

так^{[заметка 3]}

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin(2\theta )}$.

Обратите внимание, что d имеет максимальное значение, когда

${\displaystyle \sin 2\theta =1}$,

что обязательно соответствует

${\displaystyle 2\theta =90^{\circ }}$,

или же

${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$.

Траектории снарядов, выпущенных под разными углами возвышения, но с одинаковой скоростью 10 м / с в вакууме и однородном нисходящем гравитационном поле 10 м / с². Точки расположены с интервалом 0,05 с, и длина их хвостов линейно пропорциональна их скорости. т = время от запуска, Т = время полета, р = диапазон и ЧАС = высшая точка траектории (обозначена стрелками).

Общее расстояние по горизонтали (г) путешествовал.

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)}$

Когда поверхность плоская (начальная высота объекта равна нулю), пройденное расстояние:^[3]

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}}$

Таким образом, максимальное расстояние получается, если θ составляет 45 градусов. Это расстояние составляет:

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}}$

Применение теоремы об энергии работы

Согласно теорема об энергии работы вертикальная составляющая скорости:

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$.

В этих формулах не учитывается аэродинамическое сопротивление, а также предполагается, что зона приземления находится на постоянной высоте 0.

Угол досягаемости

«Угол досягаемости» - это угол (θ), по которому должен быть выпущен снаряд, чтобы пролететь расстояние d, учитывая начальную скорость v.

${\displaystyle \sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}}$

Есть два решения:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$ (пологая траектория)

и

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$ (крутая траектория)

Угол θ требуется для координаты попадания (Икс, у)

Вакуумная траектория полета снаряда для разных углов пуска. Скорость пуска одинакова для всех углов, 50 м / с при «g» 10 м / с.².

Чтобы поразить цель на расстоянии Икс и высота у при выстреле из точки (0,0) и с начальной скоростью v требуемый угол (ы) запуска θ находятся:

${\displaystyle \tan \theta ={\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}}$

Два корня уравнения соответствуют двум возможным углам запуска, если они не являются мнимыми, и в этом случае начальная скорость недостаточна для достижения точки (Икс,у) выбрано. Эта формула позволяет найти необходимый угол пуска без ограничения ${\displaystyle y=0}$.

Можно также спросить, какой угол запуска обеспечивает минимально возможную скорость запуска. Это происходит, когда два вышеуказанных решения равны, что означает, что величина под знаком квадратного корня равна нулю. Это требует решения квадратного уравнения для ${\displaystyle v^{2}}$, и мы находим

${\displaystyle v^{2}/g=y+{\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.}$

Это дает

${\displaystyle \theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).}$

Если обозначить угол, тангенс которого равен у / х к α, тогда

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }}}$

${\displaystyle \tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)}$

${\displaystyle 2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )}$

Из этого следует

${\displaystyle \theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).}$

Другими словами, запуск должен производиться под углом посередине между целью и Зенитом (вектор противоположен Гравитации).

Общая длина пути траектории

Длина параболической дуги, прослеживаемой снарядом Lпри одинаковой высоте взлета и посадки и отсутствии сопротивления воздуха рассчитывается по формуле:

${\displaystyle L={\frac {v^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)}$

куда ${\displaystyle v}$ - начальная скорость, ${\displaystyle \theta }$ угол запуска и ${\displaystyle g}$ - ускорение свободного падения как положительное значение. Выражение может быть получено путем вычисления интеграл длины дуги для параболы высота-расстояние между границами исходный и окончательный смещения (т.е. между 0 и горизонтальным диапазоном снаряда) такие, что:

${\displaystyle L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(-{\frac {g}{v^{2}\cos ^{2}\theta }}x+\tan \theta \right)^{2}}}\,\mathrm {d} x}$.

Траектория полета снаряда с сопротивлением воздуха

Траектории движения массы, брошенной под углом 70 °:
  без тащить
  с Стокса сопротивление
  с Сопротивление Ньютона

Сопротивление воздуха создает силу, которая (для симметричных снарядов) всегда направлена ​​против направления движения в окружающей среде и имеет величину, зависящую от абсолютной скорости: ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$. Зависимость силы трения от скорости линейна (${\displaystyle f(v)\propto v}$) на очень малых скоростях (Стокса сопротивление ) и квадратичной (${\displaystyle f(v)\propto v^{2}}$) на больших скоростях (Сопротивление Ньютона ).^[4] Переход между этими поведениями определяется Число Рейнольдса, который зависит от скорости, размера объекта и кинематическая вязкость среды. Для чисел Рейнольдса ниже примерно 1000 зависимость линейная, выше - квадратичная. В воздухе, который имеет кинематическая вязкость вокруг ${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$, это означает, что сила сопротивления становится квадратичной по v когда произведение скорости и диаметра больше примерно ${\displaystyle 0.015\,\mathrm {m^{2}/s} }$, что обычно имеет место для снарядов.

• Стокса сопротивление: ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad }$ (за ${\displaystyle Re\lesssim 1000}$)
• Сопротивление Ньютона: ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k\,|\mathbf {v} |\cdot \mathbf {v} \qquad }$ (за ${\displaystyle Re\gtrsim 1000}$)

Схема свободного тела тела, на которое действует только сила тяжести и сопротивление воздуха

В диаграмма свободного тела справа - для снаряда, который испытывает сопротивление воздуха и действие силы тяжести. Здесь предполагается, что сопротивление воздуха находится в направлении, противоположном скорости снаряда: ${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {air} }} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$

Траектория полета снаряда с сопротивлением Стокса

Стокса перетащите, где ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v} }$, применяется только при очень низкой скорости в воздухе и поэтому не является типичным случаем для снарядов. Однако линейная зависимость ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }}$ на ${\displaystyle v}$ вызывает очень простое дифференциальное уравнение движения

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}}$

в котором два декартовых компонента становятся полностью независимыми, и поэтому их легче решать.^[5]Здесь, ${\displaystyle v_{0}}$,${\displaystyle v_{x}}$ и ${\displaystyle v_{y}}$ будет использоваться для обозначения начальной скорости, скорости вдоль направления Икс и скорость по направлению у, соответственно. Масса снаряда обозначим через м, и ${\displaystyle \mu :=k/m}$. Для вывода только случай, когда ${\displaystyle 0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}}$ Считается. Опять же, снаряд стреляет из исходной точки (0,0).

Вывод горизонтального положения

Соотношения, которые представляют движение частицы, выводятся следующим образом: Второй закон Ньютона, как в направлениях x, так и y. В направлении x ${\displaystyle \Sigma F=-kv_{x}=ma_{x}}$ и в направлении y ${\displaystyle \Sigma F=-kv_{y}-mg=ma_{y}}$. Это означает, что: ${\displaystyle a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}}$ (1), и ${\displaystyle a_{y}=-\mu v_{y}-g={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}}$ (2) Решение (1) является элементарным дифференциальное уравнение, таким образом, шаги, ведущие к уникальному решению для vИкс и впоследствии Икс перечисляться не будут. Учитывая начальные условия ${\displaystyle v_{x}=v_{x0}}$ (куда vx0 понимается как x-составляющая начальной скорости) и ${\displaystyle x=0}$ за ${\displaystyle t=0}$: ${\displaystyle v_{x}=v_{x0}e^{-\mu t}}$ (1а)

${\displaystyle x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)}$ (1b)

Вывод вертикального положения

В то время как (1) решается почти так же, (2) представляет особый интерес из-за своей неоднородной природы. Следовательно, мы будем активно решать (2). Обратите внимание, что в этом случае используются начальные условия ${\displaystyle v_{y}=v_{y0}}$ и ${\displaystyle y=0}$ когда ${\displaystyle t=0}$. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}-g}$ (2) ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y}=-g}$ (2а) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть решено несколькими способами; однако в этом случае будет быстрее подойти к решению через интегрирующий фактор ${\displaystyle e^{\int \mu \,\mathrm {d} t}}$. ${\displaystyle e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)}$ (2c) ${\displaystyle (e^{\mu t}v_{y})^{\prime }=e^{\mu t}(-g)}$ (2г) ${\displaystyle \int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}}$ (2e) ${\displaystyle e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C}$(2f) ${\displaystyle v_{y}={\frac {-g}{\mu }}+Ce^{-\mu t}}$ (2 г) А путем интеграции находим: ${\displaystyle y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C}$ (3) Решение для наших начальных условий: ${\displaystyle v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}}$ (2ч) ${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})}$ (3а) Немного алгебры для упрощения (3a):

${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)}$ (3b)

Вывод времени полета

Общее время в пути при наличии сопротивления воздуха (точнее, когда ${\displaystyle F_{air}=-kv}$) можно вычислить с помощью той же стратегии, что и выше, а именно решаем уравнение ${\displaystyle y(t)=0}$. Если в случае нулевого сопротивления воздуха это уравнение решается элементарно, то здесь нам понадобится W функция Ламберта. Уравнение${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0}$имеет форму ${\displaystyle c_{1}t+c_{2}+c_{3}e^{c_{4}t}=0}$, и такое уравнение можно преобразовать в уравнение, разрешимое ${\displaystyle W}$ функция (см. пример такого преобразования Вот ). Некоторые алгебры показывают, что полное время полета в замкнутой форме дается как[6]

${\displaystyle t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)}$.

Траектория полета снаряда с сопротивлением Ньютона

Траектории парашютист в воздухе с сопротивлением Ньютона

Самый типичный случай сопротивление воздуха, в случае Числа Рейнольдса выше примерно 1000 - сопротивление Ньютона с силой сопротивления, пропорциональной квадрату скорости, ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}}$. В воздухе, который имеет кинематическая вязкость вокруг ${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$, это означает, что произведение скорости и диаметра должно быть больше примерно ${\displaystyle 0.015\,\mathrm {m^{2}/s} }$.

К сожалению, уравнения движения могут нет легко решается аналитически для этого случая. Поэтому численное решение будет рассмотрено.

Сделаны следующие предположения:

• Постоянный гравитационное ускорение
• Сопротивление воздуха дается следующим формула перетаскивания,

${\displaystyle \mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v} }$

Где:

• F_D сила сопротивления
• c это коэффициент трения
• ρ это плотность воздуха
• А это площадь поперечного сечения снаряда
• μ = k/м = cρA/(2м)

Особые случаи

Хотя общий случай снаряда с сопротивлением Ньютона не может быть решен аналитически, некоторые частные случаи могут. Здесь мы обозначаем предельная скорость в свободном падении, как ${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}}$ и характеристическая постоянная времени установления ${\displaystyle t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}}$.

• Почти горизонтальное движение: если движение почти горизонтальное, ${\displaystyle |v_{x}|\gg |v_{y}|}$, например, летящей пули, вертикальная составляющая скорости очень мало влияет на горизонтальное движение. В этом случае:

${\displaystyle {\dot {v}}_{x}(t)=-\mu \,v_{x}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{x}(t)={\frac {1}{1/v_{x,0}+\mu \,t}}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\mu }}\ln(1+\mu \,v_{x,0}\cdot t)}$

То же самое касается движения с трением вдоль линии в любом направлении, когда сила тяжести незначительна. Это также применимо, когда предотвращается вертикальное движение, например, для движущегося автомобиля с выключенным двигателем.

• Вертикальное движение вверх:

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g-\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=v_{\infty }\tan {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }+{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}\right)}$

Снаряд не может подниматься дольше, чем ${\displaystyle t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}}$ вертикально, прежде чем достигнет пика.

• Вертикальное движение вниз:^[7]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g+\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=-v_{\infty }\tanh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }-{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cosh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}\right)}$

Через время ${\displaystyle t_{f}}$, снаряд достигает почти конечной скорости ${\displaystyle -v_{\infty }}$.

Интегральные выражения

Подход будет заключаться в формулировке интегральных выражений, которые могут быть оценивается численно. Затем все переменные будут выражены через параметр. ${\displaystyle Q}$.

Вывод интегральных выражений

Снаряд массой m запускается из точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, с начальной скоростью ${\displaystyle \mathbf {v_{0}} }$ в начальном направлении, составляющем угол ${\displaystyle \Psi _{0}}$ с горизонтальным. Он испытывает сопротивление воздуха, определяемое ${\displaystyle F_{air}=-kv^{2}}$ который действует по касательной к пути движения в любой точке. Второй закон движения Ньютона является ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$. Применение этого в направлении x дает; ${\displaystyle F_{x}=-kv^{2}\cos \Psi =m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ (1) Где, ${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$, ${\displaystyle v_{x}}$ и ${\displaystyle v_{y}}$ - горизонтальная и вертикальная составляющие скорости ${\displaystyle v}$ соответственно. Позволять ${\displaystyle \mu ={\frac {k}{m}}}$, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}$, и ${\displaystyle \cos \Psi ={\frac {v_{x}}{v}}}$. Уравнение (1) теперь становится; ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$ (А) В направлении y; ${\displaystyle F_{y}=-kv^{2}\sin \Psi -mg=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ (2) Опять позвольте, ${\displaystyle \mu ={\frac {k}{m}}}$, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}}$, и ${\displaystyle \sin \Psi ={\frac {v_{y}}{v}}}$. Уравнение (2) сейчас; ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}-g}$ (B) Знаю это ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} v_{x}}}={\frac {{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}{{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}}}$ мы можем разделить уравнение (B) уравнением (А) получить; ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} v_{x}}}={\frac {v_{y}}{v_{x}}}+{\frac {g}{\mu v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}}}$ (C) Введите количество ${\displaystyle q}$ такой, что ${\displaystyle v_{y}=qv_{x}}$, тогда; ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} v_{x}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v_{x}}}(qv_{x})=q+v_{x}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} u}}}$ (D) Из уравнений (C) и (D), заметьте, что; ${\displaystyle {\frac {v_{y}}{v_{x}}}+{\frac {g}{\mu v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}}=q+v_{x}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} v_{x}}}}$ Следовательно, ${\displaystyle v_{x}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} v_{x}}}={\frac {g}{\mu v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}}}$ который можно переписать как; ${\displaystyle v_{x}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} v_{x}}}={\frac {g}{\mu v_{x}^{2}{\sqrt {1+q^{2}}}}}}$ Разделите переменные и интегрируйте как; ${\displaystyle {\frac {g}{\mu }}\int v_{x}^{-3}\,\mathrm {d} v_{x}=\int {\sqrt {1+q^{2}}}\,\mathrm {d} q}$ (E) Левая часть уравнения (E) является ${\displaystyle \int v_{x}^{-3}\,\mathrm {d} v_{x}=-{\frac {1}{2v_{x}^{2}}}}$ Для правой части пусть ${\displaystyle q=\sinh Q}$, так что ${\displaystyle 1+q^{2}=1+\sinh ^{2}Q=\cosh ^{2}Q}$ и, ${\displaystyle \mathrm {d} q=\cosh Q\,\mathrm {d} Q}$ Таким образом ${\displaystyle \int {\sqrt {1+q^{2}}}\,\mathrm {d} q=\int \cosh ^{2}Q\,\mathrm {d} Q}$. Также ${\displaystyle \cosh ^{2}Q={\frac {1}{2}}(1+\cosh {2Q})}$ Следовательно; ${\displaystyle \int \cosh ^{2}Q\,\mathrm {d} Q={\frac {1}{2}}{\biggl \{}Q+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q}{\biggr \}}}$ Уравнение (E) сейчас; ${\displaystyle -{\frac {g}{2\mu v_{x}^{2}}}={\frac {1}{2}}{\biggl \{}Q+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q}{\biggr \}}-{\tilde {B}}}$ От чего; ${\displaystyle v_{x}={\sqrt {\frac {g}{\mu }}}{\frac {1}{\sqrt {{\biggl \{}B-{\Bigl (}Q+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q}{\Bigr )}{\biggr \}}}}}}$ С ${\displaystyle v_{y}=v_{x}q=v_{x}\sinh {Q}}$ ${\displaystyle v_{y}={\sqrt {\frac {g}{\mu }}}{\frac {\sinh {Q}}{\sqrt {{\biggl \{}B-{\Bigl (}Q+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q}{\Bigr )}{\biggr \}}}}}}$ Обозначить ${\displaystyle \lambda =B-{\Bigl (}Q+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q}{\Bigr )}}$, такое, что; ${\displaystyle v_{x}={\sqrt {\frac {g}{\mu }}}{\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}}$ (F) ${\displaystyle v_{y}={\sqrt {\frac {g}{\mu }}}{\frac {\sinh {Q}}{\sqrt {\lambda }}}}$ (грамм) В начале движения ${\displaystyle t=0}$ и ${\displaystyle v_{0}^{2}=v_{x,0}^{2}+v_{y,0}^{2}}$ Следовательно; ${\displaystyle \tan {\Psi _{0}}={\frac {v_{y,0}}{v_{x,0}}}=q_{0}=\sinh {Q_{0}}}$, такое что; ${\displaystyle B={\frac {g}{\mu v_{x,0}^{2}}}+{\biggl \{}Q_{0}+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q_{0}}{\biggr \}}}$ По мере продвижения движения ${\displaystyle v_{x}\rightarrow 0}$ и ${\displaystyle v_{y}\rightarrow (a\,negative\,constant)}$, т.е. ${\displaystyle q\rightarrow -\infty }$, и ${\displaystyle Q\rightarrow -\infty }$ Это означает, что, ${\displaystyle \lambda \to +\infty }$ и ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}\to 0}$ Следовательно; ${\displaystyle \lim _{Q\to -\infty }{\frac {\sinh {Q}}{\sqrt {\lambda }}}=-1}$ В уравнениях (F) и (грамм), заметьте, что; В качестве ${\displaystyle v_{x}\to 0}$, ${\displaystyle v_{y}\to {\sqrt {\frac {g}{\mu }}}}$ Когда состояние динамического равновесия достигается при вертикальном свободном падении, противодействующие силы тяжести и сопротивления уравниваются, т. Е. ${\displaystyle kv_{y,t}^{2}=mg}$ ${\displaystyle v_{y,t}={\sqrt {\frac {g}{\mu }}}}$ (ЧАС) В уравнении (А), замены на ${\displaystyle v_{x}}$ и ${\displaystyle v_{y}}$ из уравнений (F) и (грамм) урожайность; ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {g}{\lambda }}\cosh {Q}}$ Также; ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} Q}}={\frac {1}{2\lambda ^{3/2}}}{\sqrt {\frac {g}{\mu }}}(1+\cosh {2Q})}$ Знаю это; ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}{{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} Q}}{\Bigr )}}}}$, мы можем написать ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} Q}}=-{\frac {\cosh {Q}}{{\sqrt {g\mu }}{\sqrt {\lambda }}}}}$

${\displaystyle t(Q)=-{\frac {1}{\sqrt {g\mu }}}\int _{Q_{0}}^{Q}{\frac {\cosh {\tilde {Q}}}{\sqrt {\lambda }}}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}}$

(я)

Также; ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} Q}}={\frac {{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}{{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}}=-{\frac {1}{\mu }}{\frac {\cosh {Q}}{\lambda }}}$

${\displaystyle x(Q)=x_{0}-{\frac {1}{\mu }}\int _{Q_{0}}^{Q}{\frac {\cosh {\tilde {Q}}}{\lambda }}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}}$

(J)

И; ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} Q}}={\frac {{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}{{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}}=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\sinh {2Q}}{\lambda }}}$

${\displaystyle y(Q)=y_{0}-{\frac {1}{2\mu }}\int _{Q_{0}}^{Q}{\frac {\sinh {2{\tilde {Q}}}}{\lambda }}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}}$

(K)

Определить время полета ${\displaystyle T}$ установив ${\displaystyle y}$ к ${\displaystyle 0}$ в уравнении (K) над. Найдите значение переменной ${\displaystyle Q}$.

${\displaystyle y_{0}-{\frac {1}{2\mu }}\int _{Q_{0}}^{Q_{T}}{\frac {\sinh {2{\tilde {Q}}}}{\lambda }}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}=0}$

(L)

Уравнение (я) с ${\displaystyle Q_{T}}$ заменен на ${\displaystyle Q}$ дает;

${\displaystyle T=-{\frac {1}{\sqrt {g\mu }}}\int _{Q_{0}}^{Q_{T}}{\frac {\cosh {\tilde {Q}}}{\sqrt {\lambda }}}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}}$

(M)

Уравнение (J) дает горизонтальный диапазон ${\displaystyle R}$ в качестве;

${\displaystyle R=x_{0}-{\frac {1}{\mu }}\int _{Q_{0}}^{Q_{T}}{\frac {\cosh {\tilde {Q}}}{\lambda }}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}}$

(N)

В самой высокой точке траектории снаряда ${\displaystyle \Psi =0}$, и ${\displaystyle Q=0}$, давая максимальную высоту ${\displaystyle H}$ из уравнения (K) в качестве;

${\displaystyle H=y_{0}-{\frac {1}{2\mu }}\int _{Q_{0}}^{0}{\frac {\sinh {2{\tilde {Q}}}}{\lambda }}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}}$

(О)

Численное решение

Движение снаряда с сопротивлением может быть вычислено в общем случае с помощью численное интегрирование из обыкновенное дифференциальное уравнение, например, применяя редукция к системе первого порядка. Решаемое уравнение:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}}$.

Следующая компьютерная программа в виде Python скрипт демонстрирует такую ​​симуляцию, где снаряд моделируется как бейсбольный мяч (параметры из ^[8]). Скрипт использует библиотеки тупой (для массивов), странный (за численное интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения, и для поиск корней к Метод Ньютона ) и matplotlib (для черчения).

#! / usr / bin / env python3из математика импорт *импорт тупой в качестве нпиз scipy.integrate импорт odeintиз scipy.optimize импорт ньютонимпорт matplotlib.pyplot в качестве pltdef projectile_motion(грамм, му, xy0, vxy0, тт):    # используем четырехмерную векторную функцию vec = [x, y, vx, vy]    def дифф(vec, т):        # производная по времени всего вектора vec        v = sqrt(vec[2] ** 2 + vec[3] ** 2)        возвращаться [vec[2], vec[3], -му * v * vec[2], -грамм - му * v * vec[3]]    # решаем дифференциальное уравнение численно    vec = odeint(дифф, [xy0[0], xy0[1], vxy0[0], vxy0[1]], тт)    возвращаться vec[:, 0], vec[:, 1], vec[:, 2], vec[:, 3]  # вернуть x, y, vx, vy# Параметры снаряда (по образцу бейсбольного мяча)грамм       = 9.81         # Ускорение свободного падения (м / с ^ 2)rho_air = 1.29         # Плотность воздуха (кг / м ^ 3)v0      = 44.7         # Начальная скорость (м / с)альфа0  = радианы(75)  # Угол пуска (град.)м       = 0.145        # Масса снаряда (кг)CD      = 0.5          # Коэффициент лобового сопротивления (сферический снаряд)р       = 0.0366       # Радиус снаряда (м)му = 0.5 * CD * (число Пи * р ** 2) * rho_air / м# Исходное положение и скорость запускаx0, y0 = 0.0, 0.0vx0, vy0 = v0 * потому что(альфа0), v0 * грех(альфа0)T_peak = ньютон(лямбда т: projectile_motion(грамм, му, (x0, y0), (vx0, vy0), [0, т])[3][1], 0)y_peak = projectile_motion(грамм, му, (x0, y0), (vx0, vy0), [0, T_peak])[1][1]Т = ньютон(лямбда т: projectile_motion(грамм, му, (x0, y0), (vx0, vy0), [0, т])[1][1], 2 * T_peak)т = нп.внутреннее пространство(0, Т, 501)Икс, у, vx, вы = projectile_motion(грамм, му, (x0, y0), (vx0, vy0), т)Распечатать("Время полета: {: .1f} s ".формат(Т))        # возвращает 6,6 сРаспечатать("Горизонтальный диапазон: {: .1f} м ".формат(Икс[-1]))  # возвращает 43,7 мРаспечатать("Максимальная высота: {: .1f} м ".формат(y_peak))   # возвращает 53,4 м# График траекторииРис, топор = plt.подсюжеты()топор.участок(Икс, у, "р-", метка="Числовой")топор.set_title(р«Путь снаряда»)топор.set_aspect("равный")топор.сетка(б=Истинный)топор.легенда()топор.set_xlabel("$ x $ (млн)")топор.set_ylabel("$ y $ (м)")plt.savefig("01 Path.png")Рис, топор = plt.подсюжеты()топор.участок(т, vx, "б-", метка="$ v_x $")топор.set_title(р«Горизонтальная составляющая скорости»)топор.сетка(б=Истинный)топор.легенда()топор.set_xlabel("$ t $ (s)")топор.set_ylabel("$ v_x $ (м / с)")plt.savefig("02 Horiz vel.png")Рис, топор = plt.подсюжеты()топор.участок(т, вы, "б-", метка="$ v_y $")топор.set_title(р«Вертикальная составляющая скорости»)топор.сетка(б=Истинный)топор.легенда()топор.set_xlabel("$ t $ (s)")топор.set_ylabel("$ v_y $ (м / с)")plt.savefig("03 Vert vel.png")

• 
• 
• 

Этот подход также позволяет добавить эффекты зависящего от скорости коэффициента сопротивления, зависящей от высоты плотности воздуха и зависящего от положения гравитационного поля.

Лофт-траектория

Взлетные траектории северокорейских ракет Хвасон-14 и Хвасон-15

Частным случаем баллистической траектории ракеты является взлетная траектория, траектория с апогей больше, чем минимум энергии траектория к той же дальности. In other words, the rocket travels higher and by doing so it uses more energy to get to the same landing point. This may be done for various reasons such as increasing distance to the horizon to give greater viewing/communication range or for changing the angle with which a missile will impact on landing. Lofted trajectories are sometimes used in both missile rocketry and in космический полет.^[9]

Projectile motion on a planetary scale

Projectile trajectory around a planet, compared to the motion in a uniform field

When a projectile without air resistance travels a range that is significant compared to the earth's radius (above ≈100 km), the curvature of the earth and the non-uniform gravitational field have to be considered. This is for example the case with spacecraft or intercontinental projectiles. The trajectory then generalizes from a parabola to a Kepler-эллипс with one focus at the center of the earth. The projectile motion then follows Законы движения планет Кеплера.

The trajectories' parameters have to be adapted from the values of a uniform gravity field stated above. В earth radius is taken as р, и грамм as the standard surface gravity. Позволять ${\displaystyle {\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}}$ the launch velocity relative to the first cosmic velocity.

Total range d between launch and impact:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}{\Big /}{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

Maximum range of a projectile for optimum launch angle (${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)}$):

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$ с ${\displaystyle v<{\sqrt {Rg}}}$, то первая космическая скорость

Maximum height of a projectile above the planetary surface:

${\displaystyle h={\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{g}}{\Big /}\left(1-{\tilde {v}}^{2}+{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)}$

Maximum height of a projectile for vertical launch (${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$):

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$ с ${\displaystyle v<{\sqrt {2Rg}}}$, то second cosmic velocity

Time of flight:

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}\cdot {\frac {1}{2-{\tilde {v}}^{2}}}\left(1+{\frac {1}{{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }}\arcsin {\frac {{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)}$

Примечания

1. В грамм это ускорение силы тяжести. (${\displaystyle 9.81\,\mathrm {m/s^{2}} }$ near the surface of the Earth).
2. decreasing when the object goes upward, and increasing when it goes downward
3. ${\displaystyle 2\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\sin(2\alpha )}$

Рекомендации

1. Galileo Galilei, Две новые науки, Leiden, 1638, p.249
2. Nolte, David D., Galileo Unbound (Oxford University Press, 2018) pp. 39-63.
3. Tatum (2019). Классическая механика (PDF). pp. ch. 7.
4. Stephen T. Thornton; Jerry B. Marion (2007). Классическая динамика частиц и систем. Брукс / Коул. п. 59. ISBN  978-0-495-55610-7.
5. Atam P. Arya; Atam Parkash Arya (September 1997). Введение в классическую механику. Prentice Hall Internat. п. 227. ISBN  978-0-13-906686-3.
6. Rginald Cristian, Bernardo; Jose Perico, Esguerra; Jazmine Day, Vallejos; Jeff Jerard, Canda (2015). "Wind-influenced projectile motion". Европейский журнал физики. 36 (2). Дои:10.1088/0143-0807/36/2/025016.
7. Walter Greiner (2004). Classical Mechanics: Point Particles and Relativity. Springer Science & Business Media. п. 181. ISBN  0-387-95586-0.
8. Hyperphysics - Fluid Friction
9. Ballistic Missile Defense, Glossary, v. 3.0, Министерство обороны США, June 1997.