Экспериментальная математика - Experimental mathematics

Информацию об одноименном математическом журнале см. Экспериментальная математика (журнал).

Экспериментальная математика это подход к математика в котором вычисления используются для исследования математических объектов и определения свойств и закономерностей.^[1] Он был определен как «та отрасль математики, которая в конечном итоге занимается кодификацией и передачей идей в рамках математического сообщества посредством использования экспериментального (в галилеевском, бэконовском, аристотелевском или кантианском смысле) исследования догадки и более неформальные убеждения и тщательный анализ данных, полученных в ходе этого исследования ».^[2]

По выражению Пол Халмос: "Математика - это не дедуктивная наука - это клише. Когда вы пытаетесь доказать теорему, вы не просто перечисляете гипотезы, а затем начинайте рассуждать. Что ты делаешь методом проб и ошибок, эксперименты, догадки. Вы хотите узнать, каковы факты, и то, что вы делаете в этом отношении, похоже на то, что делает лаборант ».^[3]

История

Математики всегда занимались экспериментальной математикой. Существующие записи ранней математики, такие как Вавилонская математика, обычно состоят из списков числовых примеров, иллюстрирующих алгебраические тождества. Однако в современной математике, начиная с 17 века, сложилась традиция публикации результатов в окончательном, формальном и абстрактном виде. Численные примеры, которые, возможно, привели математика к первоначальной формулировке общей теоремы, не были опубликованы и, как правило, были забыты.

Экспериментальная математика как отдельная область исследований возродилась в двадцатом веке, когда изобретение электронного компьютера значительно увеличило диапазон возможных вычислений со скоростью и точностью, намного превосходящими все, что было доступно предыдущим поколениям математиков. Важной вехой и достижением экспериментальной математики стало открытие в 1995 г. Формула Бейли – Борвейна – Плуфа для двоичных цифр π. Эта формула была открыта не формальными рассуждениями, а численным поиском на компьютере; только потом был проведен строгий доказательство найденный.^[4]

Цели и использование

Задачи экспериментальной математики - «генерировать понимание и понимание; генерировать и подтверждать или опровергать предположения; и в целом сделать математику более осязаемой, живой и интересной как для профессионального исследователя, так и для новичка».^[5]

Использование экспериментальной математики определяется следующим образом:^[6]

1. Обретение проницательности и интуиции.
2. Открытие новых моделей и отношений.
3. Использование графических дисплеев для подсказки основных математических принципов.
4. Проверка и особенно опровержение домыслов.
5. Изучение возможного результата, чтобы увидеть, стоит ли он формального доказательства.
6. Предлагаем подходы к формальному доказательству.
7. Замена длинных ручных выводов компьютерными выводами.
8. Подтверждение аналитически полученных результатов.

Инструменты и техники

Экспериментальная математика использует численные методы рассчитать приблизительные значения для интегралы и бесконечная серия. Арифметика произвольной точности часто используется для определения этих значений с высокой степенью точности - обычно 100 значащих цифр или более. Алгоритмы целочисленных отношений затем используются для поиска отношений между этими значениями и математические константы. Работа с высокими значениями точности снижает вероятность ошибки математическое совпадение для истинного отношения. Затем будет искать формальное доказательство предполагаемого отношения - часто бывает легче найти формальное доказательство, когда известна форма предполагаемого отношения.

Если контрпример ищется или крупномасштабный доказательство исчерпания предпринимается попытка, распределенных вычислений методы могут использоваться для разделения вычислений между несколькими компьютерами.

Часто используются общие математическое программное обеспечение Такие как Mathematica,^[7] хотя предметно-ориентированное программное обеспечение также написано для атак на проблемы, требующие высокой эффективности. Программное обеспечение для экспериментальной математики обычно включает обнаружение и исправление ошибок механизмы, проверки целостности и избыточные вычисления, предназначенные для минимизации возможности недействительности результатов из-за аппаратной или программной ошибки.

Приложения и примеры

Приложения и примеры экспериментальной математики включают:

• В поисках контрпримера гипотезе
  • Роджер Фрай использовал методы экспериментальной математики, чтобы найти наименьший контрпример к Гипотеза Эйлера о сумме степеней.
  • В ZetaGrid проект был создан для поиска контрпримера к Гипотеза Римана.
  • Томас Оливейра и Силва^[8] искал контрпример к Гипотеза Коллатца.
• Поиск новых примеров чисел или объектов с определенными свойствами
  • В Отличный Интернет-поиск Mersenne Prime ищет новые Простые числа Мерсенна.
  • В распределенный.net проект OGR ищет оптимальные Правители Голомба.
  • В Сито Ризеля проект ищет самых маленьких Число Ризеля.
  • В Семнадцать или бюст проект ищет самых маленьких Число Серпинского.
• Поиск случайных числовых моделей
  • Эдвард Лоренц нашел Аттрактор Лоренца, ранний пример хаотичного динамическая система, исследуя аномальное поведение в численной модели погоды.^[7]
  • В Спираль Улама был обнаружен случайно.
  • Образец в Номера улама был обнаружен случайно.
  • Митчелл Фейгенбаум открытие Постоянная Фейгенбаума изначально было основано на численных наблюдениях, за которыми последовало строгое доказательство.^[7]
• Использование компьютерных программ для проверки большого, но конечного числа случаев для завершения компьютерный доказательство исчерпания
  • Томас Хейлз доказательство Гипотеза Кеплера.
  • Различные доказательства теорема четырех цветов.
  • Клемент Лам доказательство отсутствия конечная проективная плоскость порядка 10.^[9]
  • Гэри МакГуайр доказал однозначно разрешимый минимум Судоку требуется 17 подсказок.^[10]
• Символическая проверка (через компьютерная алгебра ) гипотез, чтобы мотивировать поиск аналитического доказательства
  • Решения частного случая квантовой проблема трех тел известный как молекула водорода-ион были найдены стандартные базовые наборы квантовой химии, прежде чем осознать, что все они приводят к одному и тому же уникальному аналитическому решению с точки зрения обобщение из W функция Ламберта. С этой работой связано выделение ранее неизвестной связи между теорией гравитации и квантовой механикой в ​​более низких измерениях (см. квантовая гравитация и ссылки там).
  • В сфере релятивистской многотельная механика, а именно симметричный во времени Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана: эквивалентность продвинутого Потенциал Льенара – Вихерта частицы j действующий на частицу я и соответствующий потенциал для частицы я действующий на частицу j был исчерпывающе продемонстрирован на заказ ${\displaystyle 1/c^{10}}$ прежде, чем быть доказанным математически Теория Уиллера-Фейнмана снова привлекла к себе внимание благодаря квантовая нелокальность.
  • В области линейной оптики проверка разложения в ряд конверт электрического поля для ультракороткие световые импульсы, распространяющиеся в неизотропных средах. Предыдущие расширения были неполными: в результате был обнаружен дополнительный термин, подтвержденный экспериментом.
• Оценка бесконечная серия, бесконечные продукты и интегралы (также см символическая интеграция ), как правило, путем проведения высокоточного численного расчета, а затем с помощью алгоритм целочисленного отношения (такой как Обратный символьный калькулятор ), чтобы найти линейную комбинацию математических констант, соответствующую этому значению. Например, следующая личность была заново открыта Энрико Ау-Йунг, студентом Джонатан Борвейн с помощью компьютерного поиска и Алгоритм PSLQ в 1993 г ​​.:^[11][12]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{k}}\right)^{2}={\frac {17\pi ^{4}}{360}}.\end{aligned}}}$

• Визуальные исследования
  • В Жемчуг Индры, Дэвид Мамфорд и другие исследовали различные свойства Преобразование Мёбиуса и Группа Шоттки с использованием компьютерных изображений группы который: предоставили убедительные доказательства для многих предположений и соблазнов к дальнейшим исследованиям.^[13]

Правдоподобные, но ложные примеры

Основная статья: математическое совпадение

Некоторые правдоподобные соотношения сохраняются с высокой степенью точности, но все же не соответствуют действительности. Один из примеров:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x={\frac {\pi }{8}}.}$

Две стороны этого выражения фактически различаются после 42-го десятичного знака.^[14]

Другой пример: максимальное высота (максимальное абсолютное значение коэффициентов) всех факторов Икс^п - 1 похоже на высоту пth круговой полином. Компьютер показал, что это верно для п <10000 и ожидалось, что он будет верным для всех п. Однако более широкий компьютерный поиск показал, что это равенство не выполняется для п = 14235, когда высота п-й круговой полином равен 2, но максимальная высота множителей равна 3.^[15]

Практикующие

Следующее математики и компьютерные ученые внесли значительный вклад в область экспериментальной математики:

• Фабрис Беллар
• Дэвид Х. Бейли
• Джонатан Борвейн
• Дэвид Эпштейн
• Геламан Фергюсон
• Рональд Грэм
• Томас Каллистер Хейлз
• Дональд Кнут
• Клемент Лам
• Орен Паташник
• Саймон Плафф
• Эрик Вайсштейн
• Стивен Вольфрам
• Дорон Зейлбергер
• А.Дж. Хан Винк

Смотрите также

• Интеграл Борвейна
• Компьютерное доказательство
• Доказательства и опровержения
• Экспериментальная математика (журнал)
• Институт экспериментальной математики

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Экспериментальная математика». MathWorld.
2. Экспериментальная математика: обсуждение В архиве 2008-01-21 на Wayback Machine Дж. Борвейн, П. Борвейн, Р. Гирдженсон и С. Парнес
3. Я хочу быть математиком: автоматография (1985), стр. 321 (в переиздании 2013 г.)
4. В поисках Пи к Дэвид Х. Бейли, Джонатан М. Борвейн, Питер Б. Борвейн и Саймон Плафф.
5. Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид (2004). Математика экспериментально: правдоподобные рассуждения в 21 веке. А.К. Питерс. стр. vii. ISBN  978-1-56881-211-3.
6. Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид (2004). Математика экспериментально: правдоподобные рассуждения в 21 веке. А.К. Питерс. п. 2. ISBN  978-1-56881-211-3.
7. Новый вид науки [1]
8. Сильва, Томас (28 декабря 2015 г.). «Вычислительная проверка гипотезы 3x + 1». Институт Электроники и Информатики Авейру. В архиве из оригинала 18 марта 2013 г.
9. Клемент В. Х. Лам (1991). «Поиск конечной проективной плоскости порядка 10». Американский математический ежемесячный журнал. 98 (4): 305–318. Дои:10.2307/2323798. JSTOR  2323798.
10. arXiv, Новые технологии из. «Математики решают минимальную задачу судоку». Обзор технологий MIT. Получено 27 ноября 2017.
11. Бейли, Дэвид (1997). «Новые математические формулы, открытые с помощью суперкомпьютеров» (PDF). Новости NAS. 2 (24).
12. Х. Ф. Сандхэм и Мартин Кнезер, The American Mathematical Monthly, Advanced problem 4305, Vol. 57, No. 4 (апрель 1950 г.), стр. 267-268
13. Мамфорд, Дэвид; Сериал, Кэролайн; Райт, Дэвид (2002). Жемчуг Индры: видение Феликса Кляйна. Кембридж. стр. viii. ISBN  978-0-521-35253-6.
14. Дэвид Х. Бейли и Джонатан М. Борвейн, Будущие перспективы компьютерной математики, Декабрь 2005 г.
15. Высота Φ₄₇₄₅ равно 3 и 14235 = 3 x 4745. См. последовательности Слоана. OEIS: A137979 и OEIS: A160338.

внешняя ссылка

• Экспериментальная математика (Журнал)
• Центр экспериментальной и конструктивной математики (CECM) в Университет Саймона Фрейзера
• Совместная группа исследований в области математического образования в Саутгемптонский университет
• Распознавание числовых констант к Дэвид Х. Бейли и Саймон Плафф
• Психология экспериментальной математики
• Веб-сайт экспериментальной математики (Ссылки и ресурсы)
• Алгоритм для веков: PSLQ, лучший способ найти целочисленные отношения (Альтернатива связь )
• Экспериментальная алгоритмическая теория информации
• Примерные задачи экспериментальной математики к Дэвид Х. Бейли и Джонатан М. Борвейн
• Десять задач экспериментальной математики к Дэвид Х. Бейли, Джонатан М. Борвейн, Вишаал Капур и Эрик В. Вайсштейн
• Институт экспериментальной математики в Университет Дуйсбург-Эссен