Правило тройного продукта - Triple product rule

В правило тройного произведения, известный как правило циклической цепи, циклическое отношение, циклическое правило или же Цепное правило Эйлера, это формула, которая связывает частные производные трех взаимозависимых переменных. Правило находит применение в термодинамика, где часто три переменные могут быть связаны функцией вида ж(Икс, у, z) = 0, поэтому каждая переменная задается как неявная функция двух других переменных. Например, уравнение состояния для жидкость относится температура, давление, и объем таким образом. Правило тройного произведения для таких взаимосвязанных переменных Икс, у, и z исходит от использования отношения взаимности по результату теорема о неявной функции и дается

${displaystyle left({frac {partial x}{partial y}}ight)_{z}left({frac {partial y}{partial z}}ight)_{x}left({frac {partial z}{partial x}}ight)_{y}=-1.}$

Примечание. В каждом факторе переменная в числителе считается неявной функцией двух других. В каждом факторе индексируемая переменная остается постоянной.

Здесь нижние индексы указывают, какие переменные остаются постоянными при использовании частной производной. То есть, чтобы явно вычислить частную производную от Икс относительно у с z постоянным, можно было бы написать Икс как функция у и z и возьмем частную производную этой функции по у Только.

Преимущество правила тройного произведения состоит в том, что, переставляя члены, можно вывести ряд тождеств замещения, которые позволяют заменять частные производные, которые трудно аналитически оценить, экспериментально измерить или интегрировать с частными частных производных, которые легче работать. с. Например,

${displaystyle left({frac {partial x}{partial y}}ight)_{z}=-{frac {left({frac {partial z}{partial y}}ight)_{x}}{left({frac {partial z}{partial x}}ight)_{y}}}}$

В литературе представлены различные другие формы правила; их можно получить, переставив переменные {Икс, у, z}.

Вывод

Далее следует неформальный вывод. Предположим, что ж(Икс, у, z) = 0. Написать z как функция Икс и у. Таким образом полный дифференциал дз является

${displaystyle dz=left({frac {partial z}{partial x}}ight)_{y}dx+left({frac {partial z}{partial y}}ight)_{x}dy}$

Предположим, что мы движемся по кривой с дз = 0, где кривая параметризуется Икс. Таким образом у можно записать в терминах Икс, поэтому на этой кривой

${displaystyle dy=left({frac {partial y}{partial x}}ight)_{z}dx}$

Следовательно, уравнение для дз = 0 становится

${displaystyle 0=left({frac {partial z}{partial x}}ight)_{y},dx+left({frac {partial z}{partial y}}ight)_{x}left({frac {partial y}{partial x}}ight)_{z},dx}$

Поскольку это должно быть верно для всех dx, перестановка условий дает

${displaystyle left({frac {partial z}{partial x}}ight)_{y}=-left({frac {partial z}{partial y}}ight)_{x}left({frac {partial y}{partial x}}ight)_{z}}$

Деление на производные в правой части дает правило тройного произведения

${displaystyle left({frac {partial x}{partial y}}ight)_{z}left({frac {partial y}{partial z}}ight)_{x}left({frac {partial z}{partial x}}ight)_{y}=-1}$

Обратите внимание, что это доказательство делает много неявных предположений относительно существования частных производных, существования точный дифференциал дз, возможность построить кривую в некоторых район с дз = 0, и ненулевое значение частных производных и их обратных величин. Формальное доказательство, основанное на математический анализ устранит эти потенциальные двусмысленности.

Альтернативное происхождение

Предположим, что функция f (x, y, z) = 0, куда Икс,у и z являются функциями друг друга. Написать общие дифференциалы переменных

${displaystyle dx=left({frac {partial x}{partial y}}ight)_{z}dy+left({frac {partial x}{partial z}}ight)_{y}dz}$

${displaystyle dy=left({frac {partial y}{partial x}}ight)_{z}dx+left({frac {partial y}{partial z}}ight)_{x}dz}$

Заменять dy в dx

${displaystyle dx=left({frac {partial x}{partial y}}ight)_{z}left[left({frac {partial y}{partial x}}ight)_{z}dx+left({frac {partial y}{partial z}}ight)_{x}dzight]+left({frac {partial x}{partial z}}ight)_{y}dz}$

Используя Правило цепи можно показать коэффициент dx в правой части равен единице, поэтому коэффициент при дз должен быть нулевым

${displaystyle left({frac {partial x}{partial y}}ight)_{z}left({frac {partial y}{partial z}}ight)_{x}+left({frac {partial x}{partial z}}ight)_{y}=0}$

Вычитание второго члена и умножение на обратное дает правило тройного произведения

${displaystyle left({frac {partial x}{partial y}}ight)_{z}left({frac {partial y}{partial z}}ight)_{x}left({frac {partial z}{partial x}}ight)_{y}=-1.}$

Приложения

Профиль бегущей волны во времени т (сплошная линия) и t + Δt (пунктир). Во временном интервале Δt, смысл п₂ поднимется на ту же высоту, что и п₁ когда-то т.

Геометрическую реализацию правила тройного произведения можно найти в его тесной связи со скоростью бегущей волны.

${displaystyle phi (x,t)=Acos(kx-omega t)}$

показано справа во время т (сплошная синяя линия) и через некоторое время t + Δt (пунктирная). Волна сохраняет свою форму по мере распространения, так что точка в положении Икс вовремя т будет соответствовать точке в позиции х + Δx вовремя t + Δt,

${displaystyle Acos(kx-omega t)=Acos(k(x+Delta x)-omega (t+Delta t)).}$

Это уравнение может быть выполнено только для всех Икс и т если kΔx-ωΔt = 0, что приводит к формуле для фазовая скорость

${displaystyle v={frac {Delta x}{Delta t}}={frac {omega }{k}}.}$

Чтобы прояснить связь с правилом тройного произведения, рассмотрим вопрос п₁ вовремя т и соответствующая ему точка (той же высоты) п₁ в t + Δt. Определять п₂ как момент т чья координата x совпадает с координатой п₁, и определим п₂ быть соответствующей точкой п₂ как показано на рисунке справа. Расстояние Δx между п₁ и п₁ такое же, как расстояние между п₂ и п₂ (зеленые линии), и разделив это расстояние на Δt дает скорость волны.

Вычислить Δx, рассмотрим две частные производные, вычисленные при п₂,

${displaystyle left({frac {partial phi }{partial t}}ight)_{x}Delta t={ ext{rise from }}p_{2}{ ext{ to }}{ar {p}}_{1}{ ext{ in time }}Delta t{ ext{ (gold line)}}}$

${displaystyle left({frac {partial phi }{partial x}}ight)_{t}={ ext{slope of the wave (red line) at time }}t.}$

Разделив эти две частные производные и используя определение наклона (подъем, деленный на пробег), мы получаем желаемую формулу для

${displaystyle Delta x=-{frac {left({frac {partial phi }{partial t}}ight)_{x}Delta t}{left({frac {partial phi }{partial x}}ight)_{t}}},}$

где отрицательный знак учитывает то, что п₁ лежит позади п₂ относительно движения волны. Таким образом, скорость волны определяется выражением

${displaystyle v={frac {Delta x}{Delta t}}=-{frac {left({frac {partial phi }{partial t}}ight)_{x}}{left({frac {partial phi }{partial x}}ight)_{t}}}.}$

Для бесконечно малых Δt, ${displaystyle {frac {Delta x}{Delta t}}=left({frac {partial x}{partial t}}ight)_{phi }}$ и мы восстанавливаем правило тройного произведения

${displaystyle v={frac {Delta x}{Delta t}}=-{frac {left({frac {partial phi }{partial t}}ight)_{x}}{left({frac {partial phi }{partial x}}ight)_{t}}}.}$

Смотрите также

• Точный дифференциал (есть другой вывод правила тройного произведения)
• Полная производная
• Тройной продукт для векторов и скаляров.

Рекомендации

• Эллиотт, младший, и Лира, Коннектикут. Введение в термодинамику химического машиностроения, 1-е изд., Prentice Hall PTR, 1999. стр. 184.
• Картер, Эшли Х. Классическая и статистическая термодинамика, Прентис Холл, 2001, стр. 392.