Матрица взвешивания - Weighing matrix

В математика, а матрица взвешивания W порядка п и вес ш является п × п (0,1, -1) -матрица такая, что ${\displaystyle WW^{T}=wI_{n}}$, где ${\displaystyle W^{T}}$ это транспонировать из ${\displaystyle W}$ и ${\displaystyle I_{n}}$ это единичная матрица порядка ${\displaystyle n}$.

Для удобства взвешивающая матрица порядка п и вес ш часто обозначается как W(п,ш). А W(п,п) это Матрица Адамара и W (п, п-1) эквивалентно матрица конференции.

Характеристики

Некоторые свойства непосредственно вытекают из определения. Если W это W(п,ш), тогда:

• Ряды W попарно ортогональный (то есть каждая пара строк, которую вы выбираете из W будет ортогональным). Точно так же столбцы попарно ортогональны.
• Каждая строка и каждый столбец W точно ш ненулевые элементы.
• ${\displaystyle W^{T}W=wI}$, поскольку определение означает, что ${\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{T}}$, где ${\displaystyle W^{-1}}$ это обратный из ${\displaystyle W}$.
• ${\displaystyle \operatorname {det} (W)=\pm w^{n/2}}$ где ${\displaystyle \operatorname {det} (W)}$ это детерминант из ${\displaystyle W}$.

Примеры

Обратите внимание, что при отображении матриц взвешивания символ ${\displaystyle -}$ используется для представления -1. Вот два примера:

Это W(2,2):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}}$

Это W(7,4):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-\\0&1&0&-&1&0&1\\0&0&1&-&-&1&0\end{pmatrix}}}$

Эквивалентность

Две матрицы взвешивания считаются эквивалентными, если одна может быть получена из другой серией перестановок и отрицаний строк и столбцов матрицы. Классификация весовых матриц завершена для случаев, когда ш ≤ 5, а также все случаи, когда п ≤ 15 также завершены.^[1] Однако помимо этого было сделано очень мало, за исключением классификации циркуляционных матриц взвешивания.^[2][3]

Открытые вопросы

Есть много открытых вопросов о матрицах для взвешивания. Главный вопрос о весовых матрицах - их наличие: для каких значений п и ш существует ли W(п,ш)? Многое об этом неизвестно. Не менее важным, но часто упускаемым из виду вопросом о матрицах взвешивания является их перечисление: для заданного п и ш, Как много W(п,ш) есть?

Этот вопрос имеет два разных значения. Перечисление до эквивалентности и перечисление различных матриц с одинаковыми параметрами n, k. Некоторые статьи были опубликованы по первому вопросу, но не были опубликованы по второму важному вопросу.

Рекомендации

1. Харада, Масааки; Мунемаса, Акихиро (2012). «О классификации весовых матриц и самоортогональных кодов». J. Combin. Дизайн. 20: 40–57. arXiv:1011.5382. Дои:10.1002 / jcd.20295. S2CID  1004492.
2. Анг, Мийн Хьюи; Arasu, K.T .; Лун Ма, Сиу; Страсслер, Йозеф (2008). «Изучение правильных циркуляционных матриц взвешивания с весом 9». Дискретная математика. 308 (13): 2802–2809. Дои:10.1016 / j.disc.2004.12.029.
3. Arasu, K.T .; Хин Люнг, Ка; Лун Ма, Сиу; Набави, Али; Рэй-Чаудхури, Д.К. (2006). «Определение всех возможных порядков веса 16 циркулирующих весовых матриц». Конечные поля и их приложения. 12 (4): 498–538. Дои:10.1016 / j.ffa.2005.06.009.