Матрица Карлемана - Carleman matrix

В математике Матрица Карлемана матрица, используемая для преобразования функциональная композиция в матричное умножение. Он часто используется в теории итераций для нахождения непрерывного итерация функций который не может быть повторен распознавание образов один. Другие применения матриц Карлемана встречаются в теории вероятность производящие функции, и Цепи Маркова.

Определение

В Матрица Карлемана бесконечно дифференцируемой функции ${\displaystyle f(x)}$ определяется как:

${\displaystyle M[f]_{jk}={\frac {1}{k!}}\left[{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x))^{j}\right]_{x=0}~,}$

так, чтобы удовлетворить (Серия Тейлор ) уравнение:

${\displaystyle (f(x))^{j}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{jk}x^{k}.}$

---

Например, вычисление ${\displaystyle f(x)}$ к

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{1,k}x^{k}.~}$

просто составляет скалярное произведение строки 1 ${\displaystyle M[f]}$ с вектором-столбцом ${\displaystyle \left[1,x,x^{2},x^{3},...\right]^{\tau }}$.

Записи ${\displaystyle M[f]}$ в следующей строке укажите 2-ю степень ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle f(x)^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{2,k}x^{k}~,}$

а также, чтобы иметь нулевую степень ${\displaystyle f(x)}$ в ${\displaystyle M[f]}$, принимаем строку 0, содержащую нули всюду, кроме первой позиции, так что

${\displaystyle f(x)^{0}=1=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{0,k}x^{k}=1+\sum _{k=1}^{\infty }0*x^{k}~.}$

Таким образом, скалярное произведение ${\displaystyle M[f]}$ с вектором-столбцом ${\displaystyle \left[1,x,x^{2},...\right]^{\tau }}$ дает вектор-столбец ${\displaystyle \left[1,f(x),f(x)^{2},...\right]^{\tau }}$

${\displaystyle M[f]*\left[1,x,x^{2},x^{3},...\right]^{\tau }=\left[1,f(x),(f(x))^{2},(f(x))^{3},...\right]^{\tau }.}$

Матрица колокола

В Белл матрица функции ${\displaystyle f(x)}$ определяется как

${\displaystyle B[f]_{jk}={\frac {1}{j!}}\left[{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}(f(x))^{k}\right]_{x=0}~,}$

чтобы удовлетворить уравнению

${\displaystyle (f(x))^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }B[f]_{jk}x^{j}~,}$

так что это транспонировать приведенной выше матрицы Карлемана.

Матрица Жаботинского

Эри Жаботинский разработал эту концепцию матриц в 1947 году с целью представления сверток многочленов. В статье «Аналитическая итерация» (1963 г.) он вводит термин «матрица представления» и обобщает эту концепцию на двусторонние бесконечные матрицы. В этой статье только функции типа ${\displaystyle f(x)=a_{1}x+\sum _{k=2}^{\infty }a_{k}x^{k}}$ обсуждаются, но рассматриваются для положительных * и * отрицательных степеней функции. Некоторые авторы называют матрицы Белла «матрицей Жаботинского» с (D. Knuth 1992, W.D. Lang 2000), и, возможно, это название станет более каноническим.

Аналитическая итерация Автор (ы): Эри Жаботинский Источник: Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 108, No. 3 (сентябрь 1963 г.), pp. 457–477 Издано: Американским математическим обществом Стабильный URL: https://www.jstor.org/stable/1993593 Дата обращения: 19.03.2009 15:57

Обобщение

Обобщение матрицы Карлемана функции может быть определено вокруг любой точки, например:

${\displaystyle M[f]_{x_{0}}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]M_{x}[x+x_{0}]}$

или же ${\displaystyle M[f]_{x_{0}}=M[g]}$ куда ${\displaystyle g(x)=f(x+x_{0})-x_{0}}$. Это позволяет матричная мощность относиться как:

${\displaystyle (M[f]_{x_{0}})^{n}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]^{n}M_{x}[x+x_{0}]}$

Общие серии

Еще один способ еще больше обобщить это - подумать об общей серии следующим образом:

Позволять ${\displaystyle f(x)=\sum _{n}c_{n}(f)\cdot \psi _{n}(x)}$ - приближение ряда ${\displaystyle f(x)}$, куда ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$ является основой пространства, содержащего ${\displaystyle f(x)}$

Мы можем определить ${\displaystyle G[f]_{mn}=c_{n}(\psi _{m}\circ f)}$, поэтому мы имеем ${\displaystyle \psi _{m}\circ f=\sum _{n}c_{n}(\psi _{m}\circ f)\cdot \psi _{n}=\sum _{n}G[f]_{mn}\cdot \psi _{n}}$, теперь мы можем доказать, что ${\displaystyle G[g\circ f]=G[g]\cdot G[f]}$, если предположить, что ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$ также является основой для ${\displaystyle g(x)}$ и ${\displaystyle g(f(x))}$.

Позволять ${\displaystyle g(x)}$ быть таким, чтобы ${\displaystyle \psi _{l}\circ g=\sum _{m}G[g]_{lm}\cdot \psi _{m}}$ куда ${\displaystyle G[g]_{lm}=c_{m}(\psi _{l}\circ g)}$.

Сейчас же ${\displaystyle \sum _{n}G[g\circ f]_{mn}\psi _{n}=\psi _{l}\circ (g\circ f)=(\psi _{l}\circ g)\circ f=\sum _{m}G[g]_{lm}(\psi _{m}\circ f)=\sum _{m}G[g]_{lm}\sum _{n}G[f]_{mn}\psi _{n}=\sum _{n,m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}\psi _{n}=\sum _{n}(\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn})\psi _{n}}$

Сравнивая первый и последний член, а от ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}_{n}}$ быть базой для ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle g(x)}$ и ${\displaystyle g(f(x))}$ следует, что ${\displaystyle G[g\circ f]=\sum _{m}G[g]_{lm}G[f]_{mn}=G[g]\cdot G[f]}$

Примеры

Если мы установим ${\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}}$ у нас есть Матрица Карлемана

Если ${\displaystyle \{e_{n}(x)\}_{n}}$ является ортонормальным базисом для гильбертова пространства с определенным внутренним произведением ${\displaystyle \langle f,g\rangle }$, мы можем установить ${\displaystyle \psi _{n}=e_{n}}$ и ${\displaystyle c_{n}(f)}$ будет ${\displaystyle {\displaystyle \langle f,e_{n}\rangle }}$. Если ${\displaystyle e_{n}(x)=e^{{\sqrt {-1}}nx}}$ у нас есть аналог для рядов Фурье, а именно ${\displaystyle c_{n}(f)={\cfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\displaystyle f(x)\cdot e^{-{\sqrt {-1}}nx}dx}$

Свойства матрицы

Эти матрицы удовлетворяют фундаментальным соотношениям:

• ${\displaystyle M[f\circ g]=M[f]M[g]~,}$
• ${\displaystyle B[f\circ g]=B[g]B[f]~,}$

что делает матрицу Карлемана M (прямое) представление ${\displaystyle f(x)}$, а матрица Белла B ан антипредставительство из ${\displaystyle f(x)}$. Здесь термин ${\displaystyle f\circ g}$ обозначает композицию функций ${\displaystyle f(g(x))}$.

Другие свойства включают:

• ${\displaystyle \,M[f^{n}]=M[f]^{n}}$, куда ${\displaystyle \,f^{n}}$ является повторяющаяся функция и
• ${\displaystyle \,M[f^{-1}]=M[f]^{-1}}$, куда ${\displaystyle \,f^{-1}}$ это обратная функция (если матрица Карлемана обратимый ).

Примеры

Матрица Карлемана константы:

${\displaystyle M[a]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&0&0&\cdots \\a^{2}&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

Матрица Карлемана единичной функции:

${\displaystyle M_{x}[x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&1&0&\cdots \\0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

Матрица Карлемана постоянного сложения:

${\displaystyle M_{x}[a+x]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&1&0&\cdots \\a^{2}&2a&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

Матрица Карлемана функция преемника эквивалентен Биномиальный коэффициент:

${\displaystyle M_{x}[1+x]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&1&0&0&\cdots \\1&2&1&0&\cdots \\1&3&3&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[1+x]_{jk}={\binom {j}{k}}}$

Матрица Карлемана логарифм относится к (подписано) Числа Стирлинга первого рода масштабируется факториалы:

${\displaystyle M_{x}[\log(1+x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&-1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&-{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[\log(1+x)]_{jk}=s(k,j){\frac {j!}{k!}}}$

Матрица Карлемана логарифм связан с (беззнаковым) Числа Стирлинга первого рода масштабируется факториалы:

${\displaystyle M_{x}[-\log(1-x)]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {11}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[-\log(1-x)]_{jk}=|s(k,j)|{\frac {j!}{k!}}}$

Матрица Карлемана экспоненциальная функция относится к Числа Стирлинга второго рода масштабируется факториалы:

${\displaystyle M_{x}[\exp(x)-1]=\left({\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&\cdots \\0&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{24}}&\cdots \\0&0&1&1&{\frac {7}{12}}&\cdots \\0&0&0&1&{\frac {3}{2}}&\cdots \\0&0&0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[\exp(x)-1]_{jk}=S(k,j){\frac {j!}{k!}}}$

Матрица Карлемана экспоненциальные функции является:

${\displaystyle M_{x}[\exp(ax)]=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&\cdots \\1&a&{\frac {a^{2}}{2}}&{\frac {a^{3}}{6}}&\cdots \\1&2a&2a^{2}&{\frac {4a^{3}}{3}}&\cdots \\1&3a&{\frac {9a^{2}}{2}}&{\frac {9a^{3}}{2}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

${\displaystyle M_{x}[\exp(ax)]_{jk}={\frac {(ja)^{k}}{k!}}}$

Матрица Карлемана постоянного кратного:

${\displaystyle M_{x}[cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&c&0&\cdots \\0&0&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

Матрица Карлемана линейной функции:

${\displaystyle M_{x}[a+cx]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\a&c&0&\cdots \\a^{2}&2ac&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

Матрица Карлемана функции ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}x^{k}}$ является:

${\displaystyle M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\0&f_{1}&f_{2}&\cdots \\0&0&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

Матрица Карлемана функции ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}x^{k}}$ является:

${\displaystyle M[f]=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&\cdots \\f_{0}&f_{1}&f_{2}&\cdots \\f_{0}^{2}&2f_{0}f_{1}&f_{1}^{2}+2f_{0}f_{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right)}$

Приближение Карлемана

Рассмотрим следующую автономную нелинейную систему:

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)d_{j}(t)}$

куда ${\displaystyle x\in R^{n}}$ обозначает вектор состояния системы. Также, ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g_{i}}$'s - известные аналитические векторные функции, а ${\displaystyle d_{j}}$ это ${\displaystyle j^{th}}$ элемент неизвестного нарушения в системе.

В желаемой номинальной точке нелинейные функции в указанной выше системе могут быть аппроксимированы разложением Тейлора

${\displaystyle f(x)\simeq f(x_{0})+\sum _{k=1}^{\eta }{\frac {1}{k!}}\partial f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}(x-x_{0})^{[k]}}$

куда ${\displaystyle \partial f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}}$ это ${\displaystyle k^{th}}$ частная производная от ${\displaystyle f(x)}$ относительно ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle x=x_{0}}$ и ${\displaystyle x^{[k]}}$ обозначает ${\displaystyle k^{th}}$ Произведение Кронекера.

Без ограничения общности считаем, что ${\displaystyle x_{0}}$ находится в начале.

Применяя к системе приближение Тейлора, получаем

${\displaystyle {\dot {x}}\simeq \sum _{k=0}^{\eta }A_{k}x^{[k]}+\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=0}^{\eta }B_{jk}x^{[k]}dj}$

куда ${\displaystyle A_{k}={\frac {1}{k!}}\partial f_{[k]}\mid _{x=0}}$ и ${\displaystyle B_{jk}={\frac {1}{k!}}\partial g_{j[k]}\mid _{x=0}}$.

Следовательно, получается следующая линейная система для высших порядков исходных состояний:

${\displaystyle {\frac {d(x^{[i]})}{dt}}\simeq \sum _{k=0}^{\eta -i+1}A_{i,k}x^{[k+i-1]}+\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=0}^{\eta -i+1}B_{j,i,k}x^{[k+i-1]}d_{j}}$

куда${\displaystyle A_{i,k}=\sum _{l=0}^{i-1}I_{n}^{[l]}\otimes A_{k}\otimes I_{n}^{[i-1-l]}}$, и аналогично ${\displaystyle B_{j,i,\kappa }=\sum _{l=0}^{i-1}I_{n}^{[l]}\otimes B_{j,\kappa }\otimes I_{n}^{[i-1-l]}}$.

Используя оператор произведения Кронекера, приближенная система представлена ​​в следующем виде

${\displaystyle {\dot {x}}_{\otimes }\simeq Ax_{\otimes }+\sum _{j=1}^{m}[B_{j}x_{\otimes }d_{j}+B_{j0}d_{j}]+A_{r}}$

куда${\displaystyle x_{\otimes }={\begin{bmatrix}x^{T}&x^{{[2]}^{T}}&...&x^{{[\eta ]}^{T}}\end{bmatrix}}^{T}}$, и ${\displaystyle A,B_{j},A_{r}}$ и ${\displaystyle B_{j,0}}$ матрицы определены в (Hashemian and Armaou 2015).^[1]

Смотрите также

• Полиномы Белла
• Состав функций
• Уравнение Шредера
• Оператор композиции

Рекомендации

1. Hashemian, N .; Армау, А. (2015). «Быстро движущийся горизонт. Оценка нелинейных процессов с помощью линеаризации Карлемана». IEEE Proceedings: 3379–3385. Дои:10.1109 / ACC.2015.7171854. ISBN  978-1-4799-8684-2. S2CID  13251259.

• Р. Алдрованди, Специальные матрицы математической физики: Стохастическая, циркулянтная и белковая матрицы, World Scientific, 2001. (предварительный просмотр )
• Р. Альдрованди, Л. П. Фрейтас, Непрерывная итерация динамических карт., онлайн-препринт, 1997.
• П. Гралевич, К. Ковальский, Непрерывная эволюция во времени на основе повторных отображений и линеаризации Карлемана, онлайн-препринт, 2000.
• К. Ковальски и В. Х. Стиб, Нелинейные динамические системы и линеаризация Карлемана., World Scientific, 1991. (предварительный просмотр )
• Д. Кнут, Полиномы свертки онлайн-печать arXiv, 1992 г.
• Жаботинский, Эри: Представление функций матрицами. Применение к полиномам Фабера в: Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 4, No. 4 (август 1953 г.), стр. 546–553 Стабильный jstor-URL