Матрица Паскаля - Pascal matrix - Wikipedia

В математика, особенно матричная теория и комбинаторика, то Матрица Паскаля - бесконечная матрица, содержащая биномиальные коэффициенты как его элементы. Этого можно добиться тремя способами: как верхнетреугольная матрица, так и нижнетреугольная матрица (треугольные матрицы ) или симметричная матрица. Их усечения 5 × 5 показаны ниже.

Нижний треугольный:

Симметричный:

Верхний треугольник:

У этих матриц приятное соотношение Sп = LпUп. Из этого легко видеть, что все три матрицы имеют определитель 1, поскольку определитель треугольной матрицы является просто произведением ее диагональных элементов, которые все равны 1 для обоих. Lп и Uп. Другими словами, матрицы Sп, Lп, и Uп находятся унимодулярный, с Lп и Uп имея след п.

Элементами симметричной матрицы Паскаля являются биномиальные коэффициенты, т.е.

Другими словами,

Таким образом, след Sп дан кем-то

с несколькими первыми членами, заданными последовательностью 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275,… (последовательность A006134 в OEIS ).

Строительство

Матрицу Паскаля на самом деле можно построить, взяв матричная экспонента специального субдиагональный или же супердиагональ матрица. В приведенном ниже примере создается матрица Паскаля 7 на 7, но этот метод работает для любых желаемых п×п Матрицы Паскаля. (Обратите внимание, что точки в следующих матрицах представляют нулевые элементы.)

Важно отметить, что нельзя просто предположить exp (А) ехр (B) = ехр (А + B), за А и B п×п матрицы. Такая идентичность сохраняется только тогда, когда AB = BA (т.е. когда матрицы А и B ездить ). При построении симметричных матриц Паскаля, подобных приведенной выше, суб- и супердиагональные матрицы не коммутируются, поэтому (возможно) заманчивое упрощение, включающее добавление матриц, не может быть выполнено.

Полезное свойство суб- и супердиагональных матриц, используемых в конструкции, состоит в том, что обе матрицы нильпотентный; то есть при возведении в достаточно высокую целую степень они вырождаются в нулевая матрица. (Видеть матрица сдвига для получения дополнительной информации.) п×п Обобщенные матрицы сдвига, которые мы используем, становятся нулевыми при возведении в степень п, при вычислении матричной экспоненты нужно учитывать только первую п +1 член бесконечного ряда, чтобы получить точный результат.

Варианты

Интересные варианты могут быть получены при очевидной модификации матрицы-логарифма PL7 а затем применение экспоненты матрицы.

В первом примере ниже используются квадраты значений логарифмической матрицы и строится "Лагерровская" матрица 7 на 7 (или матрица коэффициентов Полиномы Лагерра

Матрица Лагерра фактически используется с некоторым другим масштабированием и / или схемой чередования знаков. (Литературы об обобщениях на высшие степени пока не найдено)

Во втором примере ниже используются продукты v(v + 1) значений лог-матрицы и строит "Ла" -матрицу размером 7 на 7 (или матрицу коэффициентов Числа Ла )

С помощью v(v - 1) вместо этого обеспечивает сдвиг по диагонали в нижний правый угол.

В третьем примере ниже используется квадрат исходного PL7-матрица, деленная на 2, другими словами: биномы первого порядка (бином (k, 2)) во второй поддиагонали и строит матрицу, которая возникает в контексте производных и интегралов гауссовой функция ошибки:

Если эту матрицу инвертировать (используя, например, отрицательный матричный логарифм), то эта матрица имеет чередующиеся знаки и дает коэффициенты производных (и, соответственно, интегралы функции ошибок Гаусса). (Литературы об обобщениях на высшие степени пока не найдено.)

Другой вариант можно получить, расширив исходную матрицу до отрицательные значения:

Смотрите также

Рекомендации

  • Г. С. Калл, Д. Дж. Веллеман, «Матрицы Паскаля», Американский математический ежемесячный журнал, том 100, (апрель 1993 г.), страницы 372–376
  • Эдельман, Алан; Стрэнг, Гилберт (Март 2004 г.), «Матрицы Паскаля» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 111 (3): 361–385, Дои:10.2307/4145127, заархивировано из оригинал (PDF) на 2010-07-04

внешняя ссылка