Матрица переменных знаков - Alternating sign matrix

{ displaystyle { begin {matrix} { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix } 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 end {bmatrix}} end {matrix}}}

Семь матриц чередующихся знаков размера 3

В математика, знакопеременная матрица это квадратная матрица нулей, единиц и -1, так что сумма каждой строки и столбца равна 1, а ненулевые записи в каждой строке и столбце чередуются по знаку. Эти матрицы обобщают матрицы перестановок и возникают естественно при использовании Конденсация Доджсона для вычисления определителя. Они также тесно связаны с шестивершинная модель с граничными условиями доменной стенки из статистическая механика. Впервые они были определены Уильямом Миллсом, Дэвид Роббинс, и Говард Рамси в первом контексте.

Пример

Примером матрицы чередующихся знаков (которая также не является матрицей перестановок) является

Картинка-головоломка

{ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 1 & 0 end {bmatrix}}.}

Гипотеза о матрице переменных знаков

В Гипотеза о знакопеременной матрице заявляет, что количество ${ Displaystyle п раз п}$ знакопеременные матрицы

{ displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n-1} { frac {(3k + 1)!} {(n + k)!}} = { frac {1! 4! 7! cdots (3n-2)!} {N! (N + 1)! Cdots (2n-1)!}}.}

Первые несколько терминов в этой последовательности для п = 0, 1, 2, 3,… являются

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348,… (последовательность A005130 в OEIS ).

Эта гипотеза была впервые доказана Дорон Зейлбергер в 1992 г.^[1] В 1995 г. Грег Куперберг дал краткое доказательство^[2] на основе Уравнение Янга – Бакстера для шестивершинной модели с граничными условиями доменной стенки, в которой используется расчет детерминанта Анатолия Изергина.^[3] Третье доказательство было дано Ильзе Фишер используя то, что называется операторный метод.^[4]

Гипотеза Разумова – Строганова

В 2001 году А. Разумов и Ю. Строганов предположили связь между моделью цикла O (1), моделью полностью упакованного цикла (FPL) и ASM.^[5]Эта гипотеза была доказана в 2010 году Кантини и Спортиелло.^[6]

дальнейшее чтение

Брессуд, Дэвид М., Доказательства и подтверждения, MAA Spectrum, Математические ассоциации Америки, Вашингтон, округ Колумбия, 1999.
Брессуд, Дэвид М. и Пропп, Джеймс, Как была решена гипотеза о знакопеременной матрице, Уведомления Американского математического общества, 46 (1999), 637–646.
Миллс, Уильям Х., Роббинс, Дэвид П., и Рамси, Говард-младший, Доказательство гипотезы Макдональда, Inventiones Mathematicae, 66 (1982), 73–87.
Миллс, Уильям Х., Роббинс, Дэвид П., и Рамси, Ховард мл., Матрицы с чередованием знаков и разбиения нисходящих плоскостей. Журнал комбинаторной теории, серия А, 34 (1983), 340–359.
Пропп, Джеймс, Многоликая матрица с переменным знаком, Дискретная математика и теоретическая информатика, Спецвыпуск на Дискретные модели: комбинаторика, вычисления и геометрия (Июль 2001 г.).
Разумов А.В., Строганов Ю. ГРАММ., Комбинаторный характер вектора основного состояния модели петли O (1), Теор. Математика. Phys., 138 (2004), 333–337.
Разумов А.В., Строганов Ю. G., Модель петли O (1) с различными граничными условиями и классами симметрии матриц с переменным знаком], Теор. Математика. Phys., 142 (2005), 237–243, arXiv:cond-mat / 0108103
Роббинс, Дэвид П., История ${ displaystyle 1,2,7,42,429,7436, точки}$ , Математический интеллект, 13 (2), 12–19 (1991), Дои:10.1007 / BF03024081.
Зейлбергер, Дорон, Доказательство уточненной гипотезы о знакопеременной матрице, Нью-Йоркский математический журнал 2 (1996), 59–68.

внешняя ссылка

Матрица переменных знаков вход в MathWorld
Матрицы переменных знаков запись в FindStat база данных

[1] Зейльбергер, Дорон, «Доказательство гипотезы о знакопеременной матрице», Электронный журнал комбинаторики 3 (1996), R13.

[2] Куперберг, Грег, «Еще одно доказательство гипотезы о знакопеременной матрице», Примечания к международным исследованиям в области математики (1996), 139-150.

[3] «Детерминантная формула для шестивершинной модели», А.Г. Изергин и др. 1992 г. J. Phys. А: Математика. Ген 25 4315.

[4] Фишер, Ильзе (2005). «Новое доказательство уточненной теоремы о знакопеременной матрице». Журнал комбинаторной теории, серия А. 114 (2): 253–264. arXiv:математика / 0507270. Bibcode:2005математика ...... 7270F. Дои:10.1016 / j.jcta.2006.04.004.

[5] Разумов А.В., Строганов Ю.Г., Спиновые цепочки и комбинаторика, Журнал физики А, 34 (2001), 3185-3190.

[6] Л. Кантини и А. Спортиелло, Доказательство гипотезы Разумова-Строганова.Журнал комбинаторной теории, серия А, 118 (5), (2011) 1549–1574,

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]