Матрица Фробениуса - Frobenius matrix - Wikipedia

О матричной норме см. Норма матрицы Фробениуса.

А Матрица Фробениуса особый вид квадратная матрица из вычислительная математика. Матрица является матрицей Фробениуса, если она обладает следующими тремя свойствами:

• все записи на главная диагональ одни
• записи под главной диагональю не более одного столбца являются произвольными
• каждая вторая запись равна нулю

Следующая матрица является примером.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

Матрицы Фробениуса - это обратимый. Матрица, обратная матрице Фробениуса, снова является матрицей Фробениуса, равной исходной матрице с измененными знаками за пределами главной диагонали. Таким образом, обратное приведенному выше примеру:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&-a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&-a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

Матрицы Фробениуса названы в честь Фердинанд Георг Фробениус. Альтернативное название этого класса матриц: Преобразование Гаусса, после Карл Фридрих Гаусс.^[1] Они используются в процессе Гауссово исключение для представления гауссовских преобразований.

Если матрица умножается слева (умножается слева) на матрицу Фробениуса, линейная комбинация оставшихся строк добавляется к определенной строке матрицы. Умножение на обратную матрицу вычитает соответствующую линейную комбинацию из данной строки. Это соответствует одной из элементарных операций исключения Гаусса (помимо операции транспонирования строк и умножения строки на скалярное кратное).

Смотрите также

• Элементарная матрица, частный случай матрицы Фробениуса только с одной недиагональной ненулевой

Примечания

1. Голуб и Ван Лоан, с. 95.

Рекомендации

• Джин Х. Голуб и Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления, третье издание, Johns Hopkins University Press. ISBN  0-8018-5413-X (переплет), ISBN  0-8018-5414-8 (мягкая обложка).