Элементарная матрица - Elementary matrix

В математика, элементарная матрица это матрица который отличается от единичная матрица одной простой элементарной строкой. Элементарные матрицы порождают общая линейная группа GL_п(р) когда р это поле. Левое умножение (предварительное умножение) на элементарную матрицу представляет элементарные операции со строками, а правое умножение (пост-умножение) представляет элементарные операции с столбцами.

Элементарные операции со строками используются в Гауссово исключение уменьшить матрицу до форма эшелона строки. Они также используются в Исключение Гаусса-Джордана для дальнейшего уменьшения матрицы до сокращенная форма эшелона строки.

Элементарные операции со строками

Существует три типа элементарных матриц, которые соответствуют трем типам операций со строками (соответственно, операций со столбцами):

Переключение строк

Строку в матрице можно заменить другой строкой.

${displaystyle R_{i}leftrightarrow R_{j}}$

Умножение строк

Каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу.

${displaystyle kR_{i}ightarrow R_{i}, {mbox{where }}keq 0}$

Сложение строк

Строку можно заменить суммой этой строки и кратной другой строке.

${displaystyle R_{i}+kR_{j}ightarrow R_{i},{mbox{where }}ieq j}$

Если E является элементарной матрицей, как описано ниже, для применения операции элементарной строки к матрице А, умножается один А элементарной матрицей слева, EA. Элементарная матрица для любой строковой операции получается путем выполнения операции над единичная матрица. Этот факт можно рассматривать как случай Лемма Йонеды применительно к категории матриц.

Преобразования переключения строк

Первый тип строковой операции над матрицей А переключает все элементы матрицы в строке я со своими сверстниками в ряду j. Соответствующая элементарная матрица получается перестановкой строк я и ряд j из единичная матрица.

${displaystyle T_{i,j}={egin{bmatrix}1&&&&&&&ddots &&&&&&&0&&1&&&&&ddots &&&&&1&&0&&&&&&&ddots &&&&&&&1end{bmatrix}}}$

Так Т_ijА матрица, полученная заменой строки я и ряд j из А.

Свойства

• Инверсия этой матрицы сама по себе: Т_ij⁻¹ = Т_ij.
• Поскольку детерминант единичной матрицы равна единице, det (Т_ij) = −1. Отсюда следует, что для любой квадратной матрицы А (правильного размера), имеем det (Т_ijА) = −det (А).

Преобразования с умножением строк

Следующий тип строковой операции над матрицей А умножает все элементы в строке я от м где м ненулевой скаляр (обычно реальное число). Соответствующая элементарная матрица представляет собой диагональную матрицу с диагональными элементами 1 всюду, кроме я-я позиция, где это м.

${displaystyle D_{i}(m)={egin{bmatrix}1&&&&&&&ddots &&&&&&&1&&&&&&&m&&&&&&&1&&&&&&&ddots &&&&&&&1end{bmatrix}}}$

Так D_я(м)А матрица, полученная из А путем умножения строки я от м.

Свойства

• Обратная матрица дается формулой D_я(м)⁻¹ = D_я(1/м).
• Матрица и ее обратная диагональные матрицы.
• det (D_я(м)) = м. Поэтому для квадратной матрицы А (правильного размера), имеем det (D_я(м)А) = м det (А).

Преобразования сложения строк

Последний тип строковой операции над матрицей А добавляет строку я умноженный на скаляр м грести j. Соответствующая элементарная матрица является единичной матрицей, но с м в (j, я) должность.

${displaystyle L_{ij}(m)={egin{bmatrix}1&&&&&&&ddots &&&&&&&1&&&&&&&ddots &&&&&m&&1&&&&&&&ddots &&&&&&&1end{bmatrix}}}$

Так L_ij(м)А матрица, полученная из А добавлением м раз подряд я грести j. И А L_ij(м) - матрица, полученная из А добавлением м столбец раз j в колонку я.

Свойства

• Эти преобразования являются своего рода картирование сдвига, также известный как трансвекция.
• Обратная матрица дается формулой L_ij(м)⁻¹ = L_ij(−м).
• Матрица и ее обратная треугольные матрицы.
• det (L_ij(м)) = 1. Следовательно, для квадратной матрицы А (правильного размера) имеем det (L_ij(м)А) = det (А).
• Преобразования сложения строк удовлетворяют Отношения Штейнберга.

Смотрите также

• Гауссово исключение
• Линейная алгебра
• Система линейных уравнений
• Матрица (математика)
• LU разложение
• Матрица Фробениуса

использованная литература

Смотрите также: Линейная алгебра § Дальнейшее чтение

• Акслер, Шелдон Джей (1997), Линейная алгебра сделано правильно (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98259-0
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8, заархивировано из оригинал на 2009-10-31
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN  0-534-99845-3
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall