Кватернионная матрица - Quaternionic matrix

А кватернионная матрица это матрица чьи элементы кватернионы.

Матричные операции

Кватернионы образуют некоммутативный звенеть, и поэтому добавление и умножение можно определить для кватернионных матриц как для матриц над любым кольцом.

Добавление. Сумма двух кватернионных матриц А и B определяется обычным образом поэлементным сложением:

${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.\,}$

Умножение. Произведение двух кватернионных матриц А и B также следует обычному определению матричного умножения. Для его определения количество столбцов А должно равняться количеству строк B. Затем запись в яй ряд и j-й столбец продукта - это скалярное произведение из я-я строка первой матрицы с j-й столбец второй матрицы. Конкретно:

${\displaystyle (AB)_{ij}=\sum _{s}A_{is}B_{sj}.\,}$

Например, для

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}\\u_{21}&u_{22}\\\end{pmatrix}},\quad V={\begin{pmatrix}v_{11}&v_{12}\\v_{21}&v_{22}\\\end{pmatrix}},}$

продукт

${\displaystyle UV={\begin{pmatrix}u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21}&u_{11}v_{12}+u_{12}v_{22}\\u_{21}v_{11}+u_{22}v_{21}&u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}\\\end{pmatrix}}.}$

Поскольку кватернионное умножение некоммутативно, необходимо соблюдать осторожность, чтобы сохранить порядок факторов при вычислении произведения матриц.

В личность для этого умножения, как и ожидалось, диагональная матрица I = diag (1, 1, ..., 1). Умножение следует обычным законам ассоциативность и распределенность. След матрицы определяется как сумма диагональных элементов, но в общем случае

${\displaystyle \operatorname {trace} (AB)\neq \operatorname {trace} (BA).}$

Левое скалярное умножение и правое скалярное умножение определяются как

${\displaystyle (cA)_{ij}=cA_{ij},\qquad (Ac)_{ij}=A_{ij}c.\,}$

Опять же, поскольку умножение не является коммутативным, необходимо соблюдать осторожность в порядке расположения множителей.^[1]

Детерминанты

Нет естественного способа определить детерминант для (квадратных) кватернионных матриц, так что значения определителя являются кватернионами.^[2] Однако можно определить комплексные детерминанты.^[3] Кватернион а + би + cj + dk можно представить как комплексную матрицу 2 × 2

${\displaystyle {\begin{bmatrix}~~a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.}$

Это определяет отображение Ψ_мин от м к п кватернионных матриц к 2м на 2п комплексные матрицы, заменяя каждую запись в кватернионной матрице ее комплексным представлением 2 на 2. Комплекснозначный определитель квадратной кватернионной матрицы А тогда определяется как det (Ψ (А)). Сохраняются многие обычные законы для определителей; в частности, п к п матрица обратима тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля.

Приложения

Кватернионные матрицы используются в квантовая механика^[4] и в лечении многотельные проблемы.^[5]

Рекомендации

1. Тэпп, Кристофер (2005). Матричные группы для магистрантов. Книжный магазин AMS. стр.11 ff. ISBN  0-8218-3785-0.
2. Хельмер Аслаксен (1996). «Кватернионные детерминанты». Математический интеллект. 18 (3): 57–65. Дои:10.1007 / BF03024312.
3. Этюд (1920). "Zur Theorie der linearen Gleichungen". Acta Mathematica (на немецком). 42 (1): 1–61. Дои:10.1007 / BF02404401.
4. Н. Рёш (1983). «Симметрия относительно обращения времени, вырождение Крамерса и алгебраическая проблема собственных значений». Химическая физика. 80 (1–2): 1–5. Дои:10.1016/0301-0104(83)85163-5.
5. Клаус Гюрлебек; Вольфганг Спрёссиг ​​(1997). «Кватернионные матрицы». Кватернионное исчисление и исчисление Клиффорда для физиков и инженеров. Вайли. стр.32 –34. ISBN  978-0-471-96200-7.