Неотрицательная матрица - Nonnegative matrix

Не путать с Полностью положительная матрица и Положительно определенная матрица.

В математика, а неотрицательная матрица, написано

${displaystyle mathbf {X} geq 0,}$

это матрица в котором все элементы равны или больше нуля, то есть

${displaystyle x_{ij}geq 0qquad forall {i,j}.}$

А положительная матрица - матрица, в которой все элементы строго больше нуля. Набор положительных матриц - это подмножество всех неотрицательных матриц. Хотя такие матрицы обычно встречаются, этот термин используется лишь иногда из-за возможной путаницы с положительно определенные матрицы, которые разные. Матрица, которая одновременно является неотрицательной и положительно полуопределенной, называется дважды неотрицательная матрица.

Прямоугольная неотрицательная матрица может быть аппроксимирована разложением с двумя другими неотрицательными матрицами через неотрицательная матричная факторизация.

Собственные значения и собственные векторы квадратных положительных матриц описываются Теорема Перрона – Фробениуса.

Инверсия

Инверсия любого неособый М-матрица^{[требуется разъяснение ]} является неотрицательной матрицей. Если неособая M-матрица также симметрична, то она называется Матрица Стилтьеса.

Обратная матрица неотрицательной матрицы обычно неотрицательна. Исключение составляют неотрицательные мономиальные матрицы: неотрицательная матрица имеет неотрицательную обратную тогда и только тогда, когда она является (неотрицательной) мономиальной матрицей. Обратите внимание, что, таким образом, обратная положительная матрица не является положительной или даже неотрицательной, поскольку положительные матрицы не являются мономиальными для размерности ${displaystyle n>1.}$

Специализации

Существует ряд групп матриц, которые образуют специализации неотрицательных матриц, например стохастическая матрица; дважды стохастическая матрица; симметричный неотрицательная матрица.

Смотрите также

• Матрица Мецлера

Библиография

1. Авраам Берман, Роберт Дж. Племмонс, Неотрицательные матрицы в математических науках, 1994, SIAM. ISBN  0-89871-321-8.
2. А. Берман и Р. Дж. Племмонс, Неотрицательные матрицы в математических науках, Academic Press, 1979 (глава 2), ISBN  0-12-092250-9
3. Р.А. Хорн и К.Р. Джонсон, Матричный анализ, Cambridge University Press, 1990 (глава 8).
4. Красносельский, М.А. (1964). Положительные решения операторных уравнений.. Гронинген: P.Noordhoff Ltd., стр. 381 с.
5. Красносельский, М.А.; Лифшиц, Е.А .; Соболев, А. (1990). Положительные линейные системы: метод положительных операторов. Сигма-серия в прикладной математике. 5. Берлин: Helderman Verlag. стр.354 с.
6. Хенрик Минц, Неотрицательные матрицы, John Wiley & Sons, Нью-Йорк, 1988, ISBN  0-471-83966-3
7. Сенета, Э. Неотрицательные матрицы и цепи Маркова. 2-е изд. изд., 1981, XVI, 288 стр., Серия Springer в мягкой обложке по статистике. (Первоначально опубликовано Allen & Unwin Ltd., Лондон, 1973 г.) ISBN  978-0-387-29765-1
8. Ричард С. Варга 2002 Матричный итерационный анализ, Второе изд. (из издания Prentice Hall 1962 г.), Springer-Verlag.