Полностью положительная матрица - Totally positive matrix

Не путать с Положительная матрица и Положительно определенная матрица.

В математика, а полностью положительная матрица это квадрат матрица в котором все несовершеннолетние положительны: то есть детерминант каждой площади подматрица положительное число.^[1] У полностью положительной матрицы все элементы положительны, поэтому она также является положительная матрица; и в нем есть все основные несовершеннолетние положительный (и положительный собственные значения ). А симметричный полностью положительная матрица, следовательно, также положительно определенный. А полностью неотрицательная матрица определяется аналогично, за исключением того, что все миноры должны быть неотрицательными (положительными или нулевыми). Некоторые авторы используют термин «полностью положительный» для включения всех полностью неотрицательных матриц.

Определение

Позволять ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{ij})_{ij}}$быть п × п матрица. Рассмотрим любые ${\displaystyle p\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ и любой п × п подматрица формы ${\displaystyle \mathbf {B} =(A_{i_{k}j_{\ell }})_{k\ell }}$куда:

${\displaystyle 1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n,\qquad 1\leq j_{1}<\ldots <j_{p}\leq n.}$

потом А это полностью положительная матрица если:^[2]

${\displaystyle \det(\mathbf {B} )>0}$

для всех подматриц ${\displaystyle \mathbf {B} }$ которые могут быть сформированы таким образом.

История

Темы, которые исторически привели к развитию теории тотальной позитивности, включают изучение:^[2]

• в спектральный свойства ядра и матрицы, которые полностью положительны,
• обыкновенные дифференциальные уравнения чей Функция Грина полностью положительный (М. Г. Крейн и некоторые его коллеги в середине 1930-х гг.),
• в уменьшающие вариации свойства (начат И. Дж. Шенбергом в 1930 г.),
• Полиа частотные функции (И. Дж. Шенберг в конце 1940-х - начале 1950-х годов).

Примеры

Например, Матрица Вандермонда чьи узлы положительны и увеличиваются, является полностью положительной матрицей.

Смотрите также

• Составная матрица

Рекомендации

1. Джордж М. Филлипс (2003), «Полная позитивность», Интерполяция и приближение полиномами, Springer, стр. 274, г. ISBN  9780387002156
2. Спектральные свойства вполне положительных ядер и матриц, Аллан Пинкус.

дальнейшее чтение

• Аллан Пинкус (2009), Полностью положительные матрицы, Издательство Кембриджского университета, ISBN  9780521194082

внешняя ссылка

• Спектральные свойства вполне положительных ядер и матриц, Аллан Пинкус.
• Параметризации канонических базисов и вполне положительных матриц, Аркадий Беренштейн
• Кратности тензорных произведений, канонические основы и вполне положительные многообразия (2001), А. Беренштейн, А. Зелевинский