Составная матрица - Compound matrix

В линейная алгебра, филиал математика, а составная матрица это матрица все элементы которого являются младшими заданного размера другой матрицы.^[1] Составные матрицы тесно связаны с внешние алгебры.

Определение

Позволять $А$ быть $м \times п$ матрица с действительными или сложными записями.^[а] Если $я$ это подмножество ${1, ..., м}$ и $J$ это подмножество ${1, ..., п}$ , то $(я, J)$ -подматрица $А$ , написано $А я, J$ , - подматрица, образованная $А$ путем сохранения только тех строк, проиндексированных $я$ и те столбцы, проиндексированные $J$ . Если $р = s$ , тогда $Det А я, J$ это $(я, J)$ -незначительный из $А$ .

В р-я составная матрица из $А$ матрица, обозначаемая $C р (А)$ , определяется следующим образом. Если $р > мин (м, п)$ , тогда $C р (А)$ уникальный $0 \times 0$ матрица. Иначе, $C р (А)$ имеет размер ${ textstyle { binom {m} {r}} times { binom {n} {r}}}$ . Его строки и столбцы индексируются $р$ -элементные подмножества ${1, ..., м}$ и ${1, ..., п}$ соответственно в их лексикографическом порядке. Запись, соответствующая подмножествам $я$ и $J$ несовершеннолетний $Det А я, J$ .

В некоторых приложениях составных матриц точный порядок строк и столбцов не важен. По этой причине некоторые авторы не указывают, как должны быть упорядочены строки и столбцы.^[2]

Например, рассмотрим матрицу

{ displaystyle A = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 5 & 6 & 7 & 8 9 & 10 & 11 & 12 end {pmatrix}}.}

Строки индексируются ${1, 2, 3}$ и столбцы ${1, 2, 3, 4}$ . Следовательно, строки $C 2 (А)$ индексируются наборами

{ Displaystyle {1,2 } < {1,3 } < {2,3 }}

и столбцы индексируются

{ Displaystyle {1,2 } < {1,3 } < {1,4 } < {2,3 } < {2,4 } < {3,4 } .}

Используя столбцы абсолютных значений для обозначения детерминантов, вторая составная матрица

{ displaystyle { begin {align} C_ {2} (A) & = { begin {pmatrix} left | { begin {smallmatrix} 1 & 2 5 & 6 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 1 & 3 5 & 7 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 1 & 4 5 & 8 end {smallmatrix}} right | & left | { begin { smallmatrix} 2 & 3 6 & 7 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 2 & 4 6 & 8 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 3 & 4 7 & 8 end {smallmatrix}} right | left | { begin {smallmatrix} 1 & 2 9 & 10 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 1 & 3 9 & 11 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 1 & 4 9 & 12 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 2 & 3 10 & 11 end {smallmatrix} } right | & left | { begin {smallmatrix} 2 & 4 10 & 12 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 3 & 4 11 & 12 end {smallmatrix}} right | left | { begin {smallmatrix} 5 & 6 9 & 10 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 5 & 7 9 & 11 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 5 & 8 9 & 12 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 6 & 7 10 & 11 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 6 & 8 10 & 12 end {smallmatrix}} right | & left | { begin {smallmatrix} 7 & 8 11 & 12 конец {smallmatrix}} right | end {pmatrix}} & = { begin {pmatrix} -4 & -8 & -12 & -4 & -8 & -4 - 8 & -16 & -24 & -8 & -16 & -8 - 4 & -8 & -12 & -4 & -8 & -4 end {pmatrix}}. End {align}}}

Характеристики

Позволять $c$ быть скаляром, $А$ быть $м \times п$ матрица и $B$ быть $п \times п$ матрица. Если $k$ положительное целое число, то $я k$ обозначает $k \times k$ единичная матрица. Транспонирование матрицы $M$ будет написано $M Т$ , а сопряженное транспонирование на $M *$ . Потом:^[3]

$C 0 (А) = я 1$ , а $1 \times 1$ единичная матрица.
$C 1 (А) = А$ .
$C р (cA) = c р C р (А)$ .
Если $rk А = р$ , тогда $rk C р (А) = 1$ .
Если $1 \leq р \leq п$ , тогда ${ displaystyle C_ {r} (I_ {n}) = I _ { binom {n} {r}}}$ .
Если $1 \leq р \leq мин (м, п)$ , тогда $C р (А Т) = C р (А) Т$ .
Если $1 \leq р \leq мин (м, п)$ , тогда $C р (А *) = C р (А) *$ .
$C р (AB) = C р (А) C р (B)$ .
(Формула Коши – Бине ) $Det C р (AB) = (det C р (А)) (дет C р (B)$ }.

Предположим дополнительно, что $А$ квадратная матрица размера $п$ . Потом:^[4]

$C п (А) = det А$ .
Если А имеет одно из следующих свойств, то же самое C_р(А):
- Верхний треугольный,
- Нижняя треугольная,
- Диагональ,
- Ортогональный,
- Унитарный,
- Симметричный,
- Эрмитский,
- Кососимметричный,
- Косоэрмитский,
- Положительно определенный,
- Положительный полуопределенный,
- Нормальный.
Если $А$ обратимо, то также $C р (А)$ , и $C р (А -1) = C р (А) -1$ .
(Теорема Сильвестра – Франке) Если $1 \leq р \leq п$ , тогда ${ Displaystyle Det C_ {r} (A) = ( Det A) ^ { binom {n-1} {r-1}}}$ .^[5]^[6]

Отношение к внешним силам

Дайте $р п$ стандартный координатный базис $е 1, ..., е п$ . В $р$ th внешняя сила $р п$ это векторное пространство

{ Displaystyle клин ^ {г} mathbf {R} ^ {п}}

основу которого составляют формальные символы

{ displaystyle mathbf {e} _ {i_ {1}} wedge dots wedge mathbf {e} _ {i_ {r}},}

куда

{ displaystyle i_ {1} < dots

Предположим, что $А$ быть $м \times п$ матрица. потом $А$ соответствует линейному преобразованию

{ displaystyle A двоеточие mathbf {R} ^ {n} to mathbf {R} ^ {m}.}

Принимая $р$ внешняя степень этого линейного преобразования определяет линейное преобразование

{ displaystyle wedge ^ {r} A двоеточие wedge ^ {r} mathbf {R} ^ {n} to wedge ^ {r} mathbf {R} ^ {m}.}

Матрица, соответствующая этому линейному преобразованию (по отношению к указанным выше базисам внешних степеней), есть $C р (А)$ . Использование внешних сил - это функтор, что обозначает^[7]

{ Displaystyle клин ^ {г} (АВ) = ( клин ^ {г} А) ( клин ^ {г} В).}

Это соответствует формуле $C р (AB) = C р (А) C р (B)$ . Это тесно связано и является усилением Формула Коши – Бине.

Связь с сопряженными матрицами

Позволять $А$ быть $п \times п$ матрица. Напомним, что это $р$ матрица высшего адъюгата $прил р (А)$ это ${ textstyle { binom {n} {r}} times { binom {n} {r}}}$ матрица, чья $(я, J)$ запись

{ displaystyle (-1) ^ { sigma (I) + sigma (J)} det A_ {J ^ {c}, I ^ {c}},}

где для любого набора $K$ целых чисел, $σ (K)$ это сумма элементов $K$ . В сопоставлять из $А$ является его 1-м высшим адъюгатом и обозначается $прил (А)$ . Обобщенный Разложение Лапласа формула подразумевает

{ displaystyle C_ {r} (A) operatorname {adj} _ {r} (A) = operatorname {adj} _ {r} (A) C_ {r} (A) = ( det A) I_ { binom {n} {r}}.}

Если $А$ обратима, то

{ displaystyle operatorname {прил} _ {r} (A ^ {- 1}) = ( det A) ^ {- 1} C_ {r} (A).}

Конкретным следствием этого является Формула Якоби для миноров обратной матрицы:

{ displaystyle det (A ^ {- 1}) _ {J ^ {c}, I ^ {c}} = (- 1) ^ { sigma (I) + sigma (J)} { frac { det A_ {I, J}} { det A}}.}

Адъюгаты также могут быть выражены в виде соединений. Позволять $S$ обозначить матрица знаков:

{ displaystyle S = operatorname {diag} (1, -1,1, -1, ldots, (- 1) ^ {n-1}),}

и разреши $J$ обозначить матрица обмена:

{ displaystyle J = { begin {pmatrix} && 1 & cdots & 1 && end {pmatrix}}.}

потом Теорема Якоби заявляет, что $р$ -я высшая матрица адъюгатов:^[8]^[9]

{ displaystyle operatorname {прил} _ {r} (A) = JC_ {n-r} (SAS) ^ {T} J.}

Непосредственно из теоремы Якоби следует, что

{ Displaystyle C_ {r} (A) , J (C_ {n-r} (SAS)) ^ {T} J = ( det A) I _ { binom {n} {r}}.}

Прием адъюгатов и соединений не вызывает проблем. Однако соединения адъюгатов можно экспрессировать с использованием адъюгатов соединений, и наоборот. От личности

{ Displaystyle C_ {r} (C_ {s} (A)) C_ {r} ( operatorname {adj} _ {s} (A)) = ( det A) ^ {r} I,}

{ Displaystyle C_ {r} (C_ {s} (A)) operatorname {adj} _ {r} (C_ {s} (A)) = ( det C_ {s} (A)) I,}

и теорему Сильвестра-Франке, выводим

{ displaystyle operatorname {прил} _ {r} (C_ {s} (A)) = ( det A) ^ {{ binom {n-1} {s-1}} - r} C_ {r} ( operatorname {adj} _ {s} (A)).}

Тот же прием ведет к дополнительной идентичности,

{ displaystyle operatorname {прил} (C_ {r} (A)) = ( det A) ^ {{ binom {n-1} {r-1}} - r} C_ {r} ( operatorname { adj} (A)).}

Приложения

Вычисление составных матриц входит в широкий круг задач.^[10]

Составные и сопряженные матрицы появляются при вычислении определителей линейных комбинаций матриц. Элементарно проверить, что если $А$ и $B$ находятся $п \times п$ матрицы, то

{ displaystyle det (sA + tB) = C_ {n} left ({ begin {bmatrix} sA & I_ {n} end {bmatrix}} right) C_ {n} left ({ begin {bmatrix} I_ {n} tB end {bmatrix}} right).}

Также верно, что:^[11]^[12]

{ displaystyle det (sA + tB) = sum _ {r = 0} ^ {n} s ^ {r} t ^ {nr} operatorname {tr} ( operatorname {adj} _ {r} (A ) C_ {r} (B)).}

Это имеет непосредственные последствия

{ displaystyle det (I + A) = sum _ {r = 0} ^ {n} operatorname {tr} operatorname {adj} _ {r} (A) = sum _ {r = 0} ^ {n} operatorname {tr} C_ {r} (A).}

Численный расчет

Как правило, вычисление составных матриц неэффективно из-за его высокой сложности. Тем не менее, есть несколько эффективных алгоритмов, доступных для реальных матриц со специальной структурой.^[13]

Примечания

^ Для определения и чисто алгебраической части теории составных матриц требуется только, чтобы матрица имела элементы в коммутативное кольцо. В этом случае матрица соответствует гомоморфизму конечно порожденных свободных модулей.

^ Хорн, Роджер А. и Джонсон, Чарльз Р., Матричный анализ, 2-е издание, Cambridge University Press, 2013 г., ISBN 978-0-521-54823-6, п. 21 год
^ Кунг, Рота и Ян, стр. 305.
^ Хорн и Джонсон, стр. 22.
^ Хорн и Джонсон, стр. 22, 93, 147, 233.
^ Торнхейм, Леонард (1952). «Теорема Сильвестра – Франке». Американский математический ежемесячник. 59 (6): 389–391. Дои:10.2307/2306811. ISSN 0002-9890. JSTOR 2306811.
^ Харлей Фландерс (1953) "Заметка о теореме Сильвестра-Франке", Американский математический ежемесячный журнал 60: 543–5, МИСТЕР0057835
^ Джозеф П.С. Кунг, Джан-Карло Рота и Екатерина Х. Ян, Комбинаторика: путь Роты, Cambridge University Press, 2009, стр. 306. ISBN 9780521883894
^ Nambiar, K.K .; Среевалсан, С. (2001). «Составные матрицы и три знаменитые теоремы». Математическое и компьютерное моделирование. 34 (3–4): 251–255. Дои:10.1016 / S0895-7177 (01) 00058-9. ISSN 0895-7177.
^ Прайс, Г.Б. (1947). «Некоторые тождества в теории детерминант». Американский математический ежемесячник. 54 (2): 75–90. Дои:10.2307/2304856. ISSN 0002-9890. JSTOR 2304856.
^ Д.Л., Бутин; Р.Ф. Глисон; Р.М. Уильямс (1996). Теория Клина / Составные матрицы: свойства и приложения (Технический отчет). Управление военно-морских исследований. NAWCADPAX – 96-220-TR.
^ Преллс, Уве; Фрисвелл, Майкл I .; Гарви, Шеймус Д. (2008-02-08). «Использование геометрической алгебры: составные матрицы и определитель суммы двух матриц». Труды Лондонского королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 459 (2030): 273–285. Дои:10.1098 / rspa.2002.1040. ISSN 1364-5021.
^ Хорн и Джонсон, стр. 29
^ Кравваритис, Христос; Митроули, Марилена (01.02.2009). «Составные матрицы: свойства, численные вопросы и аналитические вычисления» (PDF). Численные алгоритмы. 50 (2): 155. Дои:10.1007 / s11075-008-9222-7. ISSN 1017-1398.