Свойство уменьшения вариации - Variation diminishing property

Образцы кривых (красные) с их полигонами (серые).

В математике свойство уменьшения вариации некоторых математических объектов предполагает уменьшение количества изменений знака (с положительного на отрицательный или наоборот).

Свойство уменьшения вариации для кривых Безье

Свойство уменьшения вариации Кривые Безье в том, что они более гладкие, чем многоугольник, образованный их контрольными точками. Если линия проводится через кривую, количество пересечений с кривой будет меньше или равно количеству пересечений с контрольным многоугольником. Другими словами, для кривой Безье B определяется контрольным многоугольником п, кривая больше не будет пересекаться с какой-либо плоскостью, как эта плоскость с п. Это может быть обобщено на более высокие измерения.^[1]

Это свойство впервые было изучено Исаак Якоб Шенберг в своей статье 1930 г. Über вариантовvermindernde lineare Transformationen. Он продолжал выводить это преобразованием Правило знаков Декарта.^[2]

Доказательство

Доказательство использует процесс многократного повышения степени Кривая Безье. Процесс повышения степени для Кривые Безье можно рассматривать как пример кусочного линейная интерполяция. Можно показать, что кусочно-линейная интерполяция уменьшает вариацию.^[3]Таким образом, если р₁,р₂,р₃ и т. д. обозначим множество полигонов, полученных высотой исходного контрольного многоугольника. р, то можно показать, что

• ${\displaystyle \mathbf {\lim _{r\to \infty }R_{r}} =\mathbf {B} }$
• Каждый р_р имеет меньше пересечений с данной плоскостью, чем р_г-1 (поскольку градусное повышение - это форма линейной интерполяции, которая, как можно показать, следует за свойством уменьшения вариации)

Используя указанные выше моменты, мы говорим, что, поскольку кривая Безье B предел этих многоугольников как р идет в ${\displaystyle \infty }$, он будет иметь меньше пересечений с данной плоскостью, чем р_я для всех я, и, в частности, меньше пересечений, чем у исходного контрольного многоугольника. р. Это утверждение свойства уменьшения вариации.

Полностью положительные матрицы

Свойство уменьшения вариации полностью положительные матрицы является следствием их разложения на продукты Матрицы Якоби.

Существование разложения следует из Триангуляция Гаусса – Жордана алгоритм. Следовательно, нам нужно только доказать свойство VD для матрицы Якоби.

Блоки Карты Дирихле-Неймана из планарные графы обладают свойством уменьшения вариации.

Рекомендации

1. Рида Т. Фаруки (2007), «Свойство, уменьшающее вариации», Кривые Пифагора-Годографа: алгебра и геометрия неразделимы, Springer, стр. 298, ISBN  9783540733973
2. Т. Н. Т. Гудман (1999), "Свойства формы нормализованных полностью положительных базисов", Сохраняющие форму представления в компьютерном геометрическом дизайне, п. 62, ISBN  9781560726913
3. Фарин, Джеральд (1997). Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования (4-е изд.). Эльзевир Книги по науке и технологиям. ISBN  978-0-12-249054-5.