Фундаментальная матрица (компьютерное зрение) - Fundamental matrix (computer vision)

В компьютерное зрение, то фундаментальная матрица ${displaystyle mathbf {F} }$ это 3 × 3 матрица который связывает соответствующие точки в стерео изображения. В эпиполярная геометрия, с участием координаты однородного изображения, Икс и Икс′ Соответствующих точек в паре стереоизображений, Fx описывает строку ( эпиполярная линия ), на котором соответствующая точка Икс′ На другом изображении должно лежать. Это означает, что для всех пар соответствующих точек выполняется

${displaystyle mathbf {x} '^{ op }mathbf {Fx} =0.}$

Фундаментальная матрица, имеющая второй ранг и определяемая только в масштабе, может быть оценена при наличии не менее семи балльных соответствий. Его семь параметров представляют собой единственную геометрическую информацию о камерах, которую можно получить только с помощью точечных соответствий.

Термин «фундаментальная матрица» был введен QT Luong в его влиятельной докторской диссертации. Иногда его также называют "бифокальный тензор". Как тензор это двухточечный тензор в том, что это билинейная форма связанные точки в разных системах координат.

Приведенное выше соотношение, определяющее фундаментальную матрицу, было опубликовано в 1992 г. Оливье Фожерас и Ричард Хартли. Несмотря на то что Х. Кристофер Лонге-Хиггинс ' основная матрица удовлетворяет аналогичному соотношению, основная матрица - это метрический объект, относящийся к откалиброванным камерам, тогда как основная матрица описывает соответствие в более общих и фундаментальных терминах проективной геометрии. Это математически фиксируется соотношением между фундаментальной матрицей.${displaystyle mathbf {F} }$ и соответствующая ей существенная матрица ${displaystyle mathbf {E} }$,который

${displaystyle mathbf {E} =({mathbf {K} '})^{ op };mathbf {F} ;mathbf {K} }$

${displaystyle mathbf {K} }$ и ${displaystyle mathbf {K} '}$ являющиеся внутренними калибровочными матрицами двух задействованных изображений.

Введение

Фундаментальная матрица - это взаимосвязь между любыми двумя изображениями одной и той же сцены, которая ограничивает, где проекция точек сцены может происходить в обоих изображениях. Учитывая проекцию точки сцены на одно из изображений, соответствующая точка на другом изображении ограничивается линией, что помогает поиску и позволяет обнаруживать неправильные соответствия. Связь между соответствующими точками изображения, которую представляет фундаментальная матрица, называется эпиполярное ограничение, ограничение соответствия, ограничение дискретного сопоставления, или отношение инцидентности.

Теорема проективной реконструкции

Фундаментальная матрица может быть определена набором точечные соответствия. Кроме того, эти соответствующие точки изображения могут быть триангулированный в мировые точки с помощью матриц камер, полученных непосредственно из этой фундаментальной матрицы. Сцена, составленная из этих мировых точек, находится в пределах проективное преобразование истинной сцены.^[1]

Доказательство

Скажите, что изображение точки соответствия ${displaystyle mathbf {x} leftrightarrow mathbf {x'} }$ происходит от мировой точки ${displaystyle { extbf {X}}}$ под матрицы камеры ${displaystyle left({ extbf {P}},{ extbf {P}}'ight)}$ так как

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {x} &={ extbf {P}}{ extbf {X}}mathbf {x'} &={ extbf {P}}'{ extbf {X}}end{aligned}}}$

Скажем, мы преобразуем пространство генералом омография матрица ${displaystyle { extbf {H}}_{4 imes 4}}$ такой, что ${displaystyle { extbf {X}}_{0}={ extbf {H}}{ extbf {X}}}$.

Затем камеры преобразуются как

${displaystyle {egin{aligned}{ extbf {P}}_{0}&={ extbf {P}}{ extbf {H}}^{-1}{ extbf {P}}_{0}'&={ extbf {P}}'{ extbf {H}}^{-1}end{aligned}}}$

${displaystyle { extbf {P}}_{0}{ extbf {X}}_{0}={ extbf {P}}{ extbf {H}}^{-1}{ extbf {H}}{ extbf {X}}={ extbf {P}}{ extbf {X}}=mathbf {x} }$ и аналогично с ${displaystyle { extbf {P}}_{0}'}$ по-прежнему получаем те же очки изображения.

Вывод фундаментальной матрицы с использованием условия компланарности

Фундаментальная матрица также может быть получена с использованием условия компланарности. ^[2]

Для спутниковых снимков

Фундаментальная матрица выражает эпиполярную геометрию в стереоизображениях. В Эпиполярная геометрия на изображениях, сделанных с помощью перспективных камер, отображается как прямые линии. Однако в спутниковые снимки, изображение формируется при движении сенсора по его орбите (датчик толкателя ). Следовательно, существует несколько центров проекции для одной сцены изображения, и эпиполярная линия формируется как эпиполярная кривая. Однако в особых условиях, таких как небольшие фрагменты изображений, спутниковые изображения могут быть исправлены с использованием основной матрицы.^[3]

Характеристики

Фундаментальная матрица имеет классифицировать 2. Его ядро определяет эпиполь.

Смотрите также

• Эпиполярная геометрия
• Основная матрица
• Трифокальный тензор
• Восьмиточечный_алгоритм

Примечания

1. Ричард Хартли и Эндрю Зиссерман "Многоканальная геометрия в компьютерном зрении "2003, стр. 266–267.
2. Джэхон О. «Новый подход к эпиполярной передискретизации HRSI и привязке аэрофотоснимков на основе спутниковых стереофонических изображений» В архиве 2012-03-31 в Wayback Machine, 2011, pp. 22–29, по состоянию на 05 августа 2011 г.
3. Татарский, Нуролла; Арефи, Хоссейн (2019). «Стерео-исправление спутниковых изображений с пушбрумом путем надежной оценки фундаментальной матрицы». Международный журнал дистанционного зондирования: 1–20. Дои:10.1080/01431161.2019.1624862.

использованная литература

• Оливье Д. Фожерас (1992). «Что можно увидеть в трехмерном пространстве с неоткалиброванной стереосистемой?». Труды Европейской конференции по компьютерному зрению. CiteSeerX  10.1.1.462.4708.

• Оливье Д. Фожерас; Q.T. Луонг; Стивен Мэйбанк (1992). «Самокалибровка камеры: теория и эксперименты». Труды Европейской конференции по компьютерному зрению. Дои:10.1007/3-540-55426-2_37.

• Q.T. Луонг и Оливье Д. Фожерас (1996). «Фундаментальная матрица: теория, алгоритмы и анализ устойчивости». Международный журнал компьютерного зрения. 17 (1): 43–75. Дои:10.1007 / BF00127818. S2CID  2582003.

• Оливье Фожерас и Q.T. Луонг (2001). Геометрия множественных изображений. MIT Press. ISBN  978-0-262-06220-6.

• Ричард И. Хартли (1992). «Оценка относительного положения камеры для некалиброванных камер» (PDF). Труды Европейской конференции по компьютерному зрению.

• Ричард Хартли и Эндрю Зиссерман (2003). Многоканальная геометрия в компьютерном зрении. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-54051-3.

• Ричард И. Хартли (1997). «В защиту восьмибалльного алгоритма». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 19 (6): 580–593. Дои:10.1109/34.601246.
• Нуролла Татарский (2019). «Стерео-исправление спутниковых изображений с пушбрумом путем надежной оценки фундаментальной матрицы». Международный журнал дистанционного зондирования. 40 (20): 1–19. Дои:10.1080/01431161.2019.1624862.

• Q.T. Луонг (1992). Matrice fondamentale et auto-Calibration en Vision par ordinateur. Докторская диссертация, Парижский университет, Орсе.

• Йи Ма; Стефано Соатто; Яна Кошецка; С. Шанкар Састри (2004). Приглашение в 3-D видение. Springer. ISBN  978-0-387-00893-6.

• Марк Поллефейс, Рейнхард Кох и Люк ван Гул (1999). «Самокалибровка и реконструкция метрики, несмотря на изменяющиеся и неизвестные внутренние параметры камеры». Международный журнал компьютерного зрения. 32 (1): 7–25. Дои:10.1023 / А: 1008109111715. S2CID  306722.

• Филип Х. С. Торр (1997). «Разработка и сравнение робастных методов оценки фундаментальной матрицы». Международный журнал компьютерного зрения. 24 (3): 271–300. Дои:10.1023 / А: 1007927408552. S2CID  12031059.

• Филип Х. С. Торр и А. Зиссерман (2000). «MLESAC: новый надежный оценщик с приложением для оценки геометрии изображения». Компьютерное зрение и понимание изображений. 78 (1): 138–156. CiteSeerX  10.1.1.110.5740. Дои:10.1006 / cviu.1999.0832.

• Ган Сюй и Чжэнъю Чжан (1996). Эпиполярная геометрия в стерео, распознавании движения и объектов. Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-0-7923-4199-4.

• Чжэнъю Чжан (1998). «Определение эпиполярной геометрии и ее неопределенности: обзор». Международный журнал компьютерного зрения. 27 (2): 161–195. Дои:10.1023 / А: 1007941100561. S2CID  3190498.

Ящики для инструментов

• самый интересный это GPL C /C ++ библиотека для крепкий, нелинейная (на основе Алгоритм Левенберга-Марквардта ) оценка фундаментальной матрицы из согласованных пар точек и различных целевых функций (Манолис Луракис).
• Инструментарий структуры и движения в MATLAB (Филип Х. С. Торр)
• Набор инструментов для фундаментальной матричной оценки (Хоаким Сальви)
• Набор инструментов эпиполярной геометрии (EGT)

внешние ссылки

• Эпиполярная геометрия и фундаментальная матрица (глава из Hartley & Zisserman)
• Определение эпиполярной геометрии и ее неопределенности: обзор (Zhengyou Zhang)
• Визуализация эпиполярной геометрии (первоначально Сильвен Бугну из INRIA Роботвис, требуется Ява )
• Песня о фундаментальной матрице Видео, демонстрирующее законы эпиполярной геометрии.