В математика и многомерная статистика, то центрирующая матрица[1] это симметричный и идемпотентная матрица, который при умножении на вектор дает тот же эффект, что и вычитание иметь в виду компонентов вектора из каждого компонента этого вектора.
Определение
В центрирующая матрица размера п определяется как п-к-п матрица

куда
это единичная матрица размера п и
является п-к-п матрица всех единиц. Это также можно записать как:

куда
вектор-столбец п те и где
обозначает матрица транспонировать.
Например
,
,
![{displaystyle C_ {3} = left [{egin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {array}} ight] - {frac {1} {3}} left [{egin {array} {rrr} 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1end {array}} ight] = left [{egin {array} {rrr} {frac {2} {3}} & - {frac {1} {3}} & - {frac {1} {3} } - {frac {1} {3}} & {frac {2} {3}} & - {frac {1} {3}} - {frac {1} {3}} & - {frac {1 } {3}} & {frac {2} {3}} end {array}} ight]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a280df1cf0b14b46e0f24b487f0c0f0dc22269a3)
Характеристики
Учитывая вектор-столбец,
размера п, то центрирующее свойство из
можно выразить как

куда
среднее значение компонентов
.
симметричен положительный полуопределенный.
является идемпотент, так что
, за
. После удаления среднего оно становится нулевым, и его повторное удаление не имеет никакого эффекта.
является единственное число. Эффекты от применения трансформации
не может быть отменен.
имеет собственное значение 1 кратности п - 1 и собственное значение 0 кратности 1.
имеет пустое пространство размерности 1 вдоль вектора
.
является ортогональная проекционная матрица. То есть,
это проекция
на (п - 1) -мерный подпространство который ортогонален нулевому пространству
. (Это подпространство всех п-векторы, сумма компонентов которых равна нулю.)
Заявление
Хотя умножение на матрицу центрирования не является эффективным с вычислительной точки зрения способом удаления среднего из вектора, оно формирует аналитический инструмент, который удобно и лаконично выражает удаление среднего. Его можно использовать не только для удаления среднего значения одного вектора, но и нескольких векторов, хранящихся в строках или столбцах матрицы. м-к-п матрица
, умножение
удаляет средства из каждого п столбцы, а
удаляет средства из каждого м рядов. п-к-п матрица
, умножение
создает дважды центрированную матрицу, в которой средние по строкам и столбцам равны нулю. Следовательно:
.
Центрирующая матрица дает, в частности, лаконичный способ выразить матрица рассеяния,
образца данных
, куда
это выборочное среднее. Матрица центрирования позволяет более компактно выразить матрицу рассеяния как

это ковариационная матрица из полиномиальное распределение, в частном случае, когда параметры этого распределения равны
, и
.
Рекомендации
- ^ Джон И. Марден, Анализ и моделирование ранговых данных, Чепмен и Холл, 1995, ISBN 0-412-99521-2, стр.59.