Косогамильтонова матрица - Skew-Hamiltonian matrix

В линейная алгебра, косогамильтоновы матрицы являются специальными матрицы которые соответствуют кососимметричные билинейные формы на симплектическое векторное пространство.

Позволять V быть векторное пространство, оборудованный симплектическая форма ${displaystyle Omega }$. Такое пространство должно быть четным. Линейная карта ${displaystyle A:;Vmapsto V}$ называется косогамильтонов оператор относительно ${displaystyle Omega }$ если форма ${displaystyle x,ymapsto Omega (A(x),y)}$ кососимметрична.

Выберите основу ${displaystyle e_{1},...e_{2n}}$ в V, так что ${displaystyle Omega }$ записывается как ${displaystyle sum _{i}e_{i}wedge e_{n+i}}$. Тогда линейный оператор косогамильтонов относительно ${displaystyle Omega }$ тогда и только тогда, когда его матрица А удовлетворяет ${displaystyle A^{T}J=JA}$, куда J кососимметричная матрица

${displaystyle J={egin{bmatrix}0&I_{n}-I_{n}&0end{bmatrix}}}$

и я_п это ${displaystyle n imes n}$ единичная матрица.^[1] Такие матрицы называются косогамильтониан.

Площадь Матрица гамильтониана косогамильтонова. Верно и обратное: любую косогамильтонову матрицу можно получить как квадрат гамильтоновой матрицы.^[1][2]

Примечания

1. Уильям С. Уотерхаус, Структура знакопеременных гамильтоновых матриц, Линейная алгебра и ее приложения, том 396, 1 ​​февраля 2005 г., страницы 385-390
2. Хайке Фассбендер, Д. Стивен Макки, Нилоуфер Макки и Хунго СюйГамильтоновы квадратные корни косогамильтоновых матриц, Линейная алгебра и ее приложения 287, стр. 125 - 159, 1999