Матрица Гурвица - Hurwitz matrix

В математика, а Матрица Гурвица, или Матрица Рауса – Гурвица, в инженерное дело матрица устойчивости, является структурированным реальным квадратная матрица построены с коэффициентами действительного многочлена.

Матрица Гурвица и критерий устойчивости Гурвица

А именно, учитывая действительный многочлен

${\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}}$

то ${\displaystyle n\times n}$ квадратная матрица

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

называется Матрица Гурвица соответствующий многочлену ${\displaystyle p}$. Это было установлено Адольф Гурвиц в 1895 г. действительный многочлен с ${\displaystyle a_{0}>0}$ является стабильный (то есть все его корни имеют строго отрицательную действительную часть) тогда и только тогда, когда все ведущие главные несовершеннолетние матрицы ${\displaystyle H(p)}$ положительные:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}$

и так далее. Несовершеннолетние ${\displaystyle \Delta _{k}(p)}$ называются Детерминанты Гурвица. Аналогично, если ${\displaystyle a_{0}<0}$ то многочлен устойчив тогда и только тогда, когда главные миноры имеют чередующиеся знаки, начиная с отрицательного.

Стабильные по Гурвицу матрицы

В инженерное дело и теория устойчивости, а квадратная матрица ${\displaystyle A}$ называется стабильная матрица (или иногда Матрица Гурвица) если каждые собственное значение из ${\displaystyle A}$ имеет строго отрицательный реальная часть, это,

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Re} } [\lambda _{i}]<0\,}$

для каждого собственного значения ${\displaystyle \lambda _{i}}$. ${\displaystyle A}$ также называется матрица устойчивости, потому что тогда дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

является асимптотически устойчивый, это, ${\displaystyle x(t)\to 0}$ так как ${\displaystyle t\to \infty .}$

Если ${\displaystyle G(s)}$ является (матричнозначным) функция передачи, тогда ${\displaystyle G}$ называется Гурвиц если полюса всех элементов ${\displaystyle G}$ иметь отрицательную действительную часть. Обратите внимание, что нет необходимости, чтобы ${\displaystyle G(s),}$ для конкретного аргумента ${\displaystyle s,}$ быть матрицей Гурвица - она ​​даже не должна быть квадратной. Связь в том, что если ${\displaystyle A}$ матрица Гурвица, то динамическая система

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

имеет передаточную функцию Гурвица.

Любая гиперболическая фиксированная точка (или точка равновесия ) непрерывного динамическая система находится на местном уровне асимптотически устойчивый если и только если Якобиан динамической системы устойчиво по Гурвицу в неподвижной точке.

Матрица устойчивости Гурвица является важной частью теория управления. Система стабильный если его управляющая матрица является матрицей Гурвица. Отрицательные действительные компоненты собственных значений матрицы представляют негативный отзыв. Точно так же система по своей сути неустойчивый если любое из собственных значений имеет положительные действительные компоненты, представляющие положительный отзыв.

Смотрите также

• М-матрица
• P-матрица
• Теорема Перрона – Фробениуса
• Z-матрица

использованная литература

• Аснер, Бернард А., младший (1970). «О полной неотрицательности матрицы Гурвица». Журнал SIAM по прикладной математике. 18 (2): 407–414. Дои:10.1137/0118035. JSTOR  2099475.
• Димитров, Димитар К .; Пенья, Хуан Мануэль (2005). «Почти строгая тотальная положительность и класс многочленов Гурвица». Журнал теории приближений. 132 (2): 212–223. Дои:10.1016 / j.jat.2004.10.010.
• Гантмахер, Ф. Р. (1959). Приложения теории матриц. Нью-Йорк: Interscience.
• Гурвиц, А. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt". Mathematische Annalen. 46 (2): 273–284. Дои:10.1007 / BF01446812.
• Халил, Хасан К. (2002). Нелинейные системы. Prentice Hall.
• Лехнигк, Зигфрид Х. (1970). «О матрице Гурвица». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik. 21 (3): 498–500. Bibcode:1970ЗаМП ... 21..498Л. Дои:10.1007 / BF01627957.

В этой статье используется материал из матрицы Гурвица по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

внешние ссылки

• «Матрица Гурвица». PlanetMath.