P-матрица - P-matrix

В математика, а п-матрица это комплексная квадратная матрица с каждым директором незначительный > 0. Близким классом является класс ${displaystyle P_{0}}$-матрицы, являющиеся замыканием класса п-матрицы с каждым главным минором ${displaystyle geq }$ 0.

Спектры п-матрицы

По теореме Келлогга^[1][2] то собственные значения из п- и ${displaystyle P_{0}}$- матрицы отделены от клина вокруг отрицательной действительной оси следующим образом:

Если ${displaystyle {u_{1},...,u_{n}}}$ собственные значения п-размерный п-матрица, где ${displaystyle n>1}$, тогда

${displaystyle |arg(u_{i})|<pi -{frac {pi }{n}}, i=1,...,n}$

Если ${displaystyle {u_{1},...,u_{n}}}$, ${displaystyle u_{i}eq 0}$, ${displaystyle i=1,...,n}$ собственные значения п-размерный ${displaystyle P_{0}}$-матрица, то

${displaystyle |arg(u_{i})|leq pi -{frac {pi }{n}}, i=1,...,n}$

Замечания

Класс неособых M-матрицы является подмножеством класса п-матрицы. Точнее, все матрицы, являющиеся п-матрицы и Z-матрицы неособые M-матрицы. Класс достаточные матрицы это еще одно обобщение п-матрицы.^[3]

В задача линейной дополнительности ${displaystyle mathrm {LCP} (M,q)}$ имеет уникальное решение для каждого вектора q если и только если M это п-матрица.^[4] Отсюда следует, что если M это п-матрица, то M это Q-матрица.

Если Якобиан функции - это п-матрица, то функция инъективна на любой прямоугольной области ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$.^[5]

Родственный класс интересов, особенно в отношении стабильности, - это класс ${displaystyle P^{(-)}}$-матрицы, иногда также называемые ${displaystyle N-P}$-матрицы. Матрица А это ${displaystyle P^{(-)}}$-матрица тогда и только тогда, когда ${displaystyle (-A)}$ это п-матрица (аналогично для ${displaystyle P_{0}}$-матрицы). поскольку ${displaystyle sigma (A)=-sigma (-A)}$, собственные значения этих матриц отделены от положительная действительная ось.

Смотрите также

• Матрица Гурвица
• Проблема линейной дополнительности
• М-матрица
• Q-матрица
• Z-матрица
• Теорема Перрона – Фробениуса

Заметки

1. Келлог, Р. Б. (апрель 1972 г.). «О комплексных собственных значениях матриц M и P». Numerische Mathematik. 19 (2): 170–175. Дои:10.1007 / BF01402527.
2. Фанг, Ли (июль 1989 г.). «О спектрах P- и P0-матриц». Линейная алгебра и ее приложения. 119: 1–25. Дои:10.1016/0024-3795(89)90065-7.
3. Csizmadia, Zsolt; Иллеш, Тибор (2006). «Новые алгоритмы типа крест-накрест для задач линейной дополнительности с достаточными матрицами» (pdf). Методы оптимизации и программное обеспечение. 21 (2): 247–266. Дои:10.1080/10556780500095009. Г-Н  2195759.
4. Мурти, Катта Г. (январь 1972 г.). «О числе решений проблемы дополнительности и остовных свойствах дополнительных конусов» (PDF). Линейная алгебра и ее приложения. 5 (1): 65–108. Дои:10.1016/0024-3795(72)90019-5.
5. Гейл, Дэвид; Никайдо, Хукукане (10 декабря 2013 г.). «Матрица Якоби и глобальная однолистность отображений». Mathematische Annalen. 159 (2): 81–93. Дои:10.1007 / BF01360282.

использованная литература

• Csizmadia, Zsolt; Иллеш, Тибор (2006). «Новые алгоритмы типа крест-накрест для задач линейной дополнительности с достаточными матрицами» (pdf). Методы оптимизации и программное обеспечение. 21 (2): 247–266. Дои:10.1080/10556780500095009. Г-Н  2195759.
• Дэвид Гейл и Хукукане Никайдо, Матрица Якоби и глобальная однолистность отображений, Математика. Анна. 159:81-93 (1965) Дои:10.1007 / BF01360282
• Ли Фанг, О спектрах п- и ${displaystyle P_{0}}$-Матрицы, Линейная алгебра и ее приложения 119:1-25 (1989)
• Келлог Р. Б. О комплексных собственных значениях M и п матрицы, Нумер. Математика. 19:170-175 (1972)