Выпуклый ряд - Convex series

В математике, особенно в функциональный анализ и выпуклый анализ, а выпуклый ряд это серии формы ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ где ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ все элементы топологическое векторное пространство Икс, все ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$ неотрицательны действительные числа эта сумма к 1 (т.е. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1}$).

Типы выпуклой серии

Предположим, что S это подмножество Икс и ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ выпуклый ряд в Икс.

• Я упал ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ принадлежит S то выпуклый ряд ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ называется выпуклый ряд с элементами S.
• Если набор ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots \}}$ является фон Нейман ограничен затем сериал называется b-выпуклый ряд.
• Выпуклый ряд ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ как говорят сходящийся если последовательность частичных сумм ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$ сходится в Икс к какому-то элементу Икс, который называется выпуклым рядом ' сумма.
• Выпуклый ряд называется Коши если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ является рядом Коши, что по определению означает, что последовательность частичных сумм ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$ это Последовательность Коши.

Типы подмножеств

Выпуклые серии позволяют определять специальные типы подмножеств, которые хорошо себя ведут и полезны с очень хорошими свойствами стабильности.

Если S является подмножеством топологическое векторное пространство Икс тогда S считается:

• cs-закрыто если любой сходящийся выпуклый ряд с элементами S имеет свою (каждую) сумму в S.
  • В этом определении Икс является не должно быть Хаусдорфом, и в этом случае сумма не может быть уникальной. В любом таком случае мы требуем, чтобы каждая сумма принадлежала S.
• нижний cs-закрыто или lcs-закрыто если существует Fréchet space Y такой, что S равна проекции на Икс (через каноническую проекцию) некоторого cs-замкнутого подмножества B из ${\displaystyle X\times Y}$ Каждое cs-замкнутое множество является cs-замкнутым снизу, и любое нижнее cs-замкнутое множество идеально выпукло снизу и выпуклый (обратное неверно в целом).
• идеально выпуклый если любой сходящийся b-ряд с элементами S имеет свою сумму в S.
• нижняя идеально выпуклая или li-выпуклый если существует Fréchet space Y такой, что S равна проекции на Икс (через каноническую проекцию) некоторого идеально выпуклого подмножества B из ${\displaystyle X\times Y}$. Всякое идеально выпуклое множество идеально выпукло снизу. Всякое нижнее идеально выпуклое множество выпукло, но обратное, вообще говоря, неверно.
• cs-Complete если любой выпуклый ряд Коши с элементами S сходится и его сумма находится в S.
• bcs-complete если любой b-выпуклый ряд Коши с элементами S сходится и его сумма находится в S.

В пустой набор выпукло, идеально выпукло, bcs-полно, cs-полно и cs-замкнуто.

Условия (Hx) и (Hwx)

Если Икс и Y топологические векторные пространства, А это подмножество ${\displaystyle X\times Y}$, и Икс является элементом Икс тогда А считается, что удовлетворяет:

• Состояние (HИкс): Всякий раз, когда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}(x_{i},y_{i})}$ это выпуклый серия с элементами А такой, что ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}y_{i}}$ сходится в Y с суммой y и ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ Коши, то ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ сходится в Икс и его сумма Икс таково, что ${\displaystyle (x,y)\in A.}$
• Состояние (HwИкс): Всякий раз, когда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}(x_{i},y_{i})}$ это б-выпуклый серия с элементами А такой, что ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}y_{i}}$ сходится в Y с суммой y и ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ Коши, то ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ сходится в Икс и его сумма Икс таково, что ${\displaystyle (x,y)\in A.}$
  • Если X локально выпукло, то утверждение "и ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$ является Коши "может быть удалено из определения условия (HwИкс).

Многофункциональность

Используются следующие обозначения и понятия, где ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ и ${\displaystyle {\mathcal {S}}:Y\rightrightarrows Z}$ находятся многофункциональность и ${\displaystyle S\subseteq X}$ непустое подмножество топологическое векторное пространство Икс:

• В график ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ является ${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\left\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\right\}.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ является закрыто (соответственно, cs-закрыто, нижний cs-закрыто, выпуклый, идеально выпуклый, нижняя идеально выпуклая, cs-Complete, bcs-complete), если то же самое верно и для графика ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ в ${\displaystyle X\times Y.}$
  • Обратите внимание, что ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ выпукло тогда и только тогда, когда для всех ${\displaystyle x_{0},x_{1}\in X}$ и все ${\displaystyle r\in [0,1]}$, ${\displaystyle r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right).}$
• В инверсия ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ это многофункциональный ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X}$ определяется ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(y):=\left\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\right\}}$. Для любого подмножества ${\displaystyle B\subseteq Y}$, ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).}$
• В домен ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ является ${\displaystyle \operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\left\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \emptyset \right\}.}$
• В изображение ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ является ${\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x)}$. Для любого подмножества ${\displaystyle A\subseteq X}$, ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).}$
• Сочинение ${\displaystyle {\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z}$ определяется ${\displaystyle \left({\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}\right)(x):=\cup _{y\in {\mathcal {R}}(x)}{\mathcal {S}}(y)}$ для каждого ${\displaystyle x\in X.}$

Отношения

Позволять Икс,Y, и Z топологические векторные пространства, ${\displaystyle S\subseteq X}$, ${\displaystyle T\subseteq Y}$, и ${\displaystyle A\subseteq X\times Y.}$ Имеют место следующие последствия:

полный ${\displaystyle \implies }$ cs-Complete ${\displaystyle \implies }$ cs-закрыто ${\displaystyle \implies }$ нижний cs-закрытый (lcs-закрытый) и идеально выпуклый.

нижний cs-закрытый (lcs-закрытый) или идеально выпуклый ${\displaystyle \implies }$ нижняя идеально выпуклая (li-выпуклая) ${\displaystyle \implies }$ выпуклый.

(ЧАСИкс) ${\displaystyle \implies }$ (HwИкс) ${\displaystyle \implies }$ выпуклый.

Обратные выводы в общем случае неверны.

Если Икс тогда завершено,

1. S является cs-полным (соответственно, bcs-полным) тогда и только тогда, когда S cs-замкнуто (соответственно идеально выпукло).
2. А удовлетворяет (HИкс) если и только если А CS-закрыто.
3. А удовлетворяет (HwИкс) если и только если А идеально выпуклый.

Если Y тогда завершено,

1. А удовлетворяет (HИкс) если и только если А является cs-полным.
2. А удовлетворяет (HwИкс) если и только если А bcs-complete.
3. Если ${\displaystyle B\subseteq X\times Y\times Z}$ и ${\displaystyle y\in Y}$ тогда:
   1. B удовлетворяет (H(х, у)) если и только если B удовлетворяет (HИкс).
   2. B удовлетворяет (Hw(х, у)) если и только если B удовлетворяет (HwИкс).

Если Икс локально выпуклый и ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$ тогда ограничено,

1. Если А удовлетворяет (HИкс) тогда ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$ CS-закрыто.
2. Если А удовлетворяет (HwИкс) тогда ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$ идеально выпуклый.

Сохранившиеся свойства

Позволять ${\displaystyle X_{0}}$ - линейное подпространство в Икс. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ и ${\displaystyle {\mathcal {S}}:Y\rightrightarrows Z}$ быть многофункциональность.

• Если S является cs-замкнутым (соответственно идеально выпуклым) подмножеством Икс тогда ${\displaystyle X_{0}\cap S}$ также является cs-замкнутым (соответственно идеально выпуклым) подмножеством ${\displaystyle X_{0}.}$
• Если Икс сначала исчисляемый, затем ${\displaystyle X_{0}}$ является cs-замкнутым (соответственно cs-полным) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X_{0}}$ закрыто (соответственно полное); кроме того, если Икс локально выпукло, то ${\displaystyle X_{0}}$ закрыто тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X_{0}}$ идеально выпуклый.
• ${\displaystyle S\times T}$ является cs-замкнутым (соответственно cs-полным, идеально выпуклым, bcs-полным) в ${\displaystyle X\times Y}$ тогда и только тогда, когда то же самое верно для обоих S в Икс и из Т в Y.
• Свойства cs-замкнутости, cs-замкнутости снизу, идеально выпуклости, идеальной выпуклости снизу, cs-полноты и bcs-полноты сохраняются при изоморфизмах топологических векторных пространств.
• Пересечение произвольного числа cs-замкнутых (соответственно идеально выпуклых) подмножеств Икс имеет такое же свойство.
• В Декартово произведение cs-замкнутых (соответственно идеально выпуклых) подмножеств произвольного числа топологических векторных пространств обладает тем же свойством (в пространстве-произведении, наделенном топология продукта ).
• Пересечение счетного числа нижних идеально выпуклых (соответственно нижних cs-замкнутых) подмножеств Икс имеет такое же свойство.
• В Декартово произведение идеально выпуклых нижних (соответственно нижних cs-замкнутых) подмножеств счетного числа топологических векторных пространств обладает тем же свойством (в пространстве произведения, наделенном топология продукта ).
• Предположим Икс это Fréchet space и А и B являются подмножествами. Если А и B идеально выпуклы снизу (соответственно, cs-замкнуты снизу), то так же А + В.
• Предположим Икс это Fréchet space и А это подмножество Икс. Если А и ${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$ идеально выпуклы снизу (соответственно, cs-замкнуты снизу), то так же ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A).}$
• Предположим Y это Fréchet space и ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}:X\rightrightarrows Y}$ это многофункциональный. Если ${\displaystyle {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}_{2},{\mathcal {S}}}$ все нижние идеально выпуклые (соответственно нижняя cs-замкнутые), то таковы ${\displaystyle {\mathcal {R}}+{\mathcal {R}}_{2}:X\rightrightarrows Y}$ и ${\displaystyle {\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z.}$

Свойства

Если S - непустое выпуклое подмножество топологического векторного пространства Икс тогда,

1. Если S закрыто или открыто тогда S CS-закрыто.
2. Если Икс является Хаусдорф и конечномерном, то S CS-закрыто.
3. Если Икс является первый счетный и S идеально выпуклый, то ${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} S\right).}$

Позволять Икс быть Fréchet space, Y - топологические векторные пространства, ${\displaystyle A\subseteq X\times Y}$, и ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}:X\times Y\to Y}$ - каноническая проекция. Если А идеально выпукло снизу (соответственно, cs-замкнуто снизу), то то же самое верно и для ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}(A).}$

Если Икс это ствол первый счетный пространство и если ${\displaystyle C\subseteq X}$ тогда:

1. Если C нижняя идеально выпуклая, то ${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C}$, где ${\displaystyle C^{i}:=\operatorname {aint} _{X}C}$ обозначает алгебраический интерьер из C в Икс.
2. Если C идеально выпуклый, то ${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.}$

Смотрите также

• Теорема Урсеску

Заметки

использованная литература

• Залинеску, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. ISBN  981-238-067-1. OCLC  285163112.
• Бэггс, Иван (1974). «Функции с замкнутым графом». Труды Американского математического общества. 43 (2): 439–442. Дои:10.1090 / S0002-9939-1974-0334132-8. ISSN  0002-9939.