Голоморфное функциональное исчисление - Holomorphic functional calculus

В математика, голоморфное функциональное исчисление является функциональное исчисление с голоморфные функции. Иными словами, для голоморфной функции ж из сложный аргумент z и оператор Т, цель состоит в том, чтобы построить оператор, ж(Т), что естественным образом продолжает функцию ж от сложного аргумента до аргумента оператора. Более точно, функциональное исчисление определяет непрерывный гомоморфизм алгебр из голоморфных функций в окрестности спектр из Т к ограниченным операторам.

В этой статье мы обсудим случай, когда Т это ограниченный линейный оператор на некоторых Банахово пространство. Особенно, Т может быть квадратная матрица со сложными записями, случай, который будет использоваться для иллюстрации функционального исчисления и предоставления некоторых эвристических сведений для предположений, задействованных в общей конструкции.

Мотивация

Потребность в общем функциональном исчислении

В этой секции Т будет считаться п × п матрица со сложными элементами.

Если заданная функция ж определенного особого типа, существуют естественные способы определения ж(Т). Например, если

${\displaystyle p(z)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}}$

это сложный многочлен, можно просто заменить Т за z и определить

${\displaystyle p(T)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}}$

куда Т⁰ = я, то единичная матрица. Это полиномиальное функциональное исчисление. Это гомоморфизм из кольца многочленов в кольцо п × п матрицы.

Слегка расширяясь от многочленов, если ж : C → C голоморфен всюду, т. е. вся функция, с Серия Маклаурина

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i},}$

имитируя полиномиальный случай, предлагает определить

${\displaystyle f(T)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}.}$

Поскольку ряд МакЛорина всюду сходится, указанный ряд будет сходиться в выбранном норма оператора. Примером этого является экспоненциальный матрицы. Замена z к Т в серии Маклаурина ж(z) = е^z дает

${\displaystyle f(T)=e^{T}=I+T+{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{3}}{3!}}+\cdots .}$

Требование, чтобы серия Маклаурина ж везде сходится, можно несколько расслабиться. Сверху очевидно, что все, что действительно нужно, - это радиус сходимости ряда МакЛориена больше ǁТǁ операторная норма Т. Это несколько расширяет семейство ж для которого ж(Т) можно определить с помощью описанного выше подхода. Однако это не совсем удовлетворительно. Например, теория матриц является фактом, что каждая невырожденная Т имеет логарифм S в том смысле, что е^S = Т. Желательно иметь функциональное исчисление, позволяющее определять для неособых Т, ln (Т) такой, что он совпадает с S. Это невозможно сделать с помощью степенного ряда, например логарифмического ряда.

${\displaystyle \ln(z+1)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots ,}$

сходится только на открытом единичном диске. Подстановка Т за z в этой серии не может дать четко определенного выражения для ln (Т + я) для обратимых Т + Я с ǁТǁ ≥ 1. Таким образом, необходимо более общее функциональное исчисление.

Функциональное исчисление и спектр

Ожидается, что необходимое условие для ж(Т) иметь смысл ж быть определенным на спектр из Т. Например, спектральная теорема для нормальных матриц утверждает, что каждая нормальная матрица унитарно диагонализуема. Это приводит к определению ж(Т) когда Т это нормально. Трудности возникают, если ж(λ) не определена для некоторого собственного значения λ оператора Т.

Другие признаки также подтверждают идею о том, что ж(Т) можно определить, только если ж определяется на спектре Т. Если Т не обратима, то (вспоминая, что T - это матрица размера n x n) 0 - собственное значение. Поскольку натуральный логарифм не определен в 0, можно было бы ожидать, что ln (Т) не может быть определен естественным образом. Это действительно так. В качестве другого примера для

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-2)(z-5)}}}$

разумный способ расчета ж(Т) казалось бы

${\displaystyle f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.\,}$

Однако это выражение не определено, если обратное в правой части не существуют, т. е. если 2 или 5 собственные значения из Т.

Для данной матрицы Т, собственные значения Т диктовать, в какой степени ж(Т) можно определить; т.е. ж(λ) необходимо определить для всех собственных значений λ оператора Т. Для общего ограниченного оператора это условие переводится как "ж должен быть определен на спектр из Т". Это предположение оказывается разрешающим условием, так что отображение функционального исчисления ж → ж(Т), имеет определенные желаемые свойства.

Функциональное исчисление для ограниченного оператора

Спектр σ (T) - голубой, а путь γ - красный.

Случай, когда в спектре есть несколько связанные компоненты и соответствующий путь γ.

Случай, когда спектр не односвязный.

Позволять Икс - комплексное банахово пространство, и L(Икс) обозначают семейство ограниченных операторов на Икс.

Напомним Интегральная формула Коши из классической теории функций. Позволять ж : C → C быть голоморфным на некоторых открытый набор D ⊂ C, а Γ - исправимый Кривая Иордании в D, то есть замкнутая кривая конечной длины без самопересечений. Предположим, что множество U точек, лежащих в внутри Γ, т.е. такая, что номер намотки Γ около z равно 1, содержится в D. Интегральная формула Коши утверждает

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta }$

для любого z в U.

Идея состоит в том, чтобы распространить эту формулу на функции, принимающие значения в банаховом пространстве. L(Икс). Интегральная формула Коши предлагает следующее определение (пока чисто формальное):

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,}$

где (ζ−Т)⁻¹ это противовоспалительное средство из Т в ζ.

Предполагая, что этот банахов пространственнозначный интеграл определен надлежащим образом, предлагаемое функциональное исчисление подразумевает следующие необходимые условия:

1. Поскольку скалярная версия интегральной формулы Коши применима к голоморфным ж, мы ожидаем, что это также будет иметь место для случая банахова пространства, где должно быть подходящее понятие голоморфности для функций, принимающих значения в банаховом пространстве L(Икс).
2. Поскольку резольвентное отображение ζ → (ζ−Т)⁻¹ не определена на спектре Т, σ (Т) жорданова кривая Γ не должна пересекать σ (Т). Теперь резольвентное отображение будет голоморфным на дополнении к σ (Т). Таким образом, чтобы получить нетривиальное функциональное исчисление, Γ должна включать (по крайней мере часть) σ (Т).
3. Функциональное исчисление должно быть четко определено в том смысле, что ж(Т) не должно зависеть от Γ.

Полное определение функционального исчисления выглядит следующим образом: Для Т ∈ L(Икс), определять

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,}$

куда ж голоморфная функция, определенная на открытый набор D ⊂ C который содержит σ (Т) и Γ = {γ₁, ..., γ_м} представляет собой набор непересекающихся жордановых кривых в D ограничивая "внутренний" набор U, такие что σ (Т) лежит в U, и каждое γ_я ориентирована в граничном смысле.

Открытый набор D может варьироваться в зависимости от ж и не должно быть связаны или же односвязный, как показано на рисунках справа.

В следующих подразделах уточняются понятия, использованные в определении, и показывается ж(Т) действительно хорошо определена при данных предположениях.

Банахов пространственнозначный интеграл

Ср. Интеграл Бохнера

Для непрерывной функции грамм определены в открытой окрестности Γ и принимают значения в L(Икс) контурный интеграл ∫_Γграмм определяется так же, как и для скалярного случая. Можно параметризовать каждое γ_я ∈ Γ вещественным интервалом [а, б], а интеграл - предел Суммы Римана полученный из все более тонких разделов [а, б]. Суммы Римана сходятся в унифицированная операторная топология. Мы определяем

${\displaystyle \int _{\Gamma }g=\sum \nolimits _{i}\int _{\gamma _{i}}g.}$

В определении функционального исчисления ж предполагается голоморфным в открытой окрестности Γ. Ниже будет показано, что резольвентное отображение голоморфно на резольвентном множестве. Следовательно, интеграл

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta }$

имеет смысл.

Резольвентное отображение

Отображение ζ → (ζ−Т)⁻¹ называется резольвентное отображение из Т. Он определен на дополнении к σ (Т), называется набор резольвент из Т и будем обозначать ρ (Т).

Большая часть классической теории функций зависит от свойств интеграла

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}.}$

Голоморфное функциональное исчисление аналогично тому, что отображение резольвенты играет решающую роль в получении свойств, требуемых от хорошего функционального исчисления. В этом подразделе описаны свойства карты резольвенты, существенные в этом контексте.

Формула 1-й резольвенты

Прямой расчет показывает, что для z₁, z₂ ∈ ρ (Т),

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}=(z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-z_{1})(z_{2}-T)^{-1}.\,}$

Следовательно,

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-T)^{-1}={\frac {(z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}}{(z_{2}-z_{1})}}.}$

Это уравнение называется формула первой резольвенты. Формула показывает (z₁−Т)⁻¹ и (z₂−Т)⁻¹ коммутируют, что намекает на то, что образ функционального исчисления будет коммутативной алгеброй. Сдача z₂ → z₁ показывает, что резольвентное отображение (комплексно) дифференцируемо на каждом z₁ ∈ ρ (Т); поэтому интеграл в выражении функционального исчисления сходится в L(Икс).

Аналитичность

Относительно карты резольвенты можно сделать более сильное утверждение, чем дифференцируемость. Резольвентное множество ρ (Т) фактически является открытым множеством, на котором резольвентное отображение аналитично. Это свойство будет использоваться в последующих рассуждениях функционального исчисления. Чтобы проверить это утверждение, позвольте z₁ ∈ ρ (Т) и обратите внимание на формальное выражение

${\displaystyle {\frac {1}{z_{2}-T}}={\frac {1}{z_{1}-T}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z_{1}-z_{2}}{z_{1}-T}}}}}$

предлагает рассмотреть

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}\sum _{n\geq 0}\left((z_{1}-z_{2})(z_{1}-T)^{-1}\right)^{n}}$

за (z₂−Т)⁻¹. Приведенный выше ряд сходится в L(Икс), из чего следует существование (z₂−Т)⁻¹, если

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|<{\frac {1}{\left\|(z_{1}-T)^{-1}\right\|}}.}$

Следовательно, резольвентное множество ρ (Т) открыто, а выражение степенного ряда на открытом диске с центром в z₁ ∈ ρ (Т) показывает, что резольвентное отображение аналитично на ρ (Т).

Серия Неймана

Другое выражение для (z−Т)⁻¹ тоже будет полезно. Формальное выражение

${\displaystyle {\frac {1}{z-T}}={\frac {1}{z}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {T}{z}}}}}$

заставляет задуматься

${\displaystyle {\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.}$

Эта серия, Серия Неймана, сходится к (z−Т)⁻¹ если

${\displaystyle \left\|{\frac {T}{z}}\right\|<1,\;{\text{i.e.}}\;|z|>\|T\|.}$

Компактность σ (Т)

Из двух последних свойств резольвенты можно вывести, что спектр σ (Т) ограниченного оператора Т компактное подмножество C. Следовательно, для любого открытого множества D такое, что σ (Т) ⊂ Dсуществует положительно ориентированная гладкая система жордановых кривых Γ = {γ₁, ..., γ_м} такое, что σ (Т) находится внутри Γ и дополнение D содержится вне Γ. Следовательно, для определения функционального исчисления действительно можно найти подходящее семейство жордановых кривых для каждого ж который голоморфен на некоторых D.

Четкость

Предыдущее обсуждение показало, что интеграл имеет смысл, т. Е. Подходящий набор Γ жордановых кривых существует для каждого ж и интеграл сходится в соответствующем смысле. Не было показано, что определение функционального исчисления однозначно, т.е.не зависит от выбора Γ. Этот вопрос мы сейчас пытаемся решить.

Предварительный факт

Для набора жордановых кривых Γ = {γ₁, ..., γ_м} и точка а ∈ Cчисло оборотов Γ относительно а представляет собой сумму номеров намотки его элементов. Если мы определим:

${\displaystyle n(\Gamma ,a)=\sum \nolimits _{i}n(\gamma _{i},a),}$

следующая теорема принадлежит Коши:

Теорема. Позволять грамм ⊂ C - открытое множество и Γ ⊂ грамм. Если грамм : грамм → C голоморфна, и для всех а в составе грамм, п(Γ, а) = 0, то контурный интеграл грамм на Γ равна нулю.

Нам понадобится векторнозначный аналог этого результата, когда грамм принимает значения в L(Икс). С этой целью пусть грамм : грамм → L(Икс) голоморфна при тех же условиях на Γ. Идея состоит в том, чтобы использовать двойное пространство L(Икс)* из L(Икс), и перейдем к теореме Коши для скалярного случая.

Рассмотрим интеграл

${\displaystyle \int _{\Gamma }g\in L(X),}$

если мы сможем показать, что все φ ∈ L(Икс) * обращаются в нуль на этом интеграле, то сам интеграл должен быть равен нулю. Поскольку φ ограничена и интеграл сходится по норме, имеем:

${\displaystyle \phi \left(\int _{\Gamma }g\right)=\int _{\Gamma }\phi (g).}$

Но грамм голоморфна, поэтому композиция φ (грамм): грамм ⊂ C → C голоморфна, поэтому по теореме Коши

${\displaystyle \int _{\Gamma }\phi (g)=0.}$

Главный аргумент

Правильность определения функционального исчисления теперь является простым следствием. Позволять D - открытое множество, содержащее σ (Т). Предположим, что Γ = {γ_я} и Ω = {ω_j} два (конечных) набора жордановых кривых, удовлетворяющих предположению, данному для функционального исчисления. Мы хотим показать

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta .}$

Пусть Ω ′ получается из Ω изменением ориентации каждого ω_j, тогда

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =-\int _{\Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta .}$

Рассмотрим объединение двух наборов Γ ∪ Ω ′. И Γ ∪ Ω ′, и σ (Т) компактны. Итак, есть открытый набор U содержащее Γ ∪ Ω ′ такое, что σ (Т) лежит в дополнении U. Любой а в составе U имеет номер намотки п(Γ ∪ Ω ′, а) = 0^{[требуется разъяснение ]} и функция

${\displaystyle \zeta \rightarrow {\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}}$

голоморфен на U. Таким образом, векторная версия теоремы Коши дает

${\displaystyle \int _{\Gamma \cup \Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =0}$

т.е.

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta +\int _{\Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta -\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =0.}$

Следовательно, функциональное исчисление хорошо определено.

Следовательно, если ж₁ и ж₂ - две голоморфные функции, определенные в окрестностях D₁ и D₂ из σ (Т) и они равны на открытом множестве, содержащем σ (Т), тогда ж₁(Т) = ж₂(Т). Более того, хотя D₁ может и не быть D₂, Оператор (ж₁ + ж₂) (Т) хорошо определено. То же верно и для определения (ж₁·ж₂)(Т).

При условии, что ж голоморфна над открытой окрестностью σ (Т)

Пока что это предположение не использовалось в полной мере. Для сходимости интеграла использовалась только непрерывность. Для четкости нам понадобилось только ж быть голоморфным на открытом множестве U содержащие контуры Γ ∪ Ω ′, но не обязательно σ (Т). Предположение будет применяться в целом для демонстрации свойства гомоморфизма функционального исчисления.

Характеристики

Полиномиальный случай

Линейность карты ж ↦ ж(Т) следует из сходимости интеграла и непрерывности линейных операций в банаховом пространстве.

Мы восстанавливаем полиномиальное функциональное исчисление, когда ж(z) = ∑_{0 ≤ я ≤ м} а_я z^я является многочленом. Чтобы доказать это, достаточно показать, что k ≥ 0 и ж(z) = z^k, правда, что ж(Т) = Т^k, т.е.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {\zeta ^{k}}{\zeta -T}}\,d\zeta =T^{k}}$

для любого подходящего Γ, охватывающего σ (Т). Выберем Γ как окружность радиуса больше, чем операторная норма Т. Как было сказано выше, на таком Γ резольвентное отображение допускает представление степенного ряда

${\displaystyle (z-T)^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.}$

Подстановка дает

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n\geq 0}{\frac {T^{n}}{\zeta ^{n+1-k}}}\right)\,d\zeta }$

который

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot {\frac {1}{2\pi i}}\left(\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta ^{n+1-k}}}\right)=\sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot \delta _{nk}=T^{k}.}$

Δ - символ Кронекера.

Свойство гомоморфизма

Для любого ж₁ и ж₂ удовлетворяющие соответствующим предположениям, свойство гомоморфизма утверждает

${\displaystyle f_{1}(T)f_{2}(T)=(f_{1}\cdot f_{2})(T).\,}$

Мы набросаем аргумент, который вызывает первую резольвентную формулу и предположения, сделанные на ж. Сначала выберем жордановы кривые так, чтобы Γ₁ лежит в внутри из Γ₂. Причина этого станет ясна ниже. Начните с расчета напрямую

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&=\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right)\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\,d\omega \right)\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )}{(\zeta -T)(\omega -T)}}\;d\omega \,d\zeta \\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )\left({\frac {(\zeta -T)^{-1}-(\omega -T)^{-1}}{\omega -\zeta }}\right)d\omega \,d\zeta &&{\text{First Resolvent Formula}}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\left\{\left(\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \right)-\left(\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\left[\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\omega -\zeta }}d\zeta \right]d\omega \right)\right\}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \end{aligned}}}$

Последняя строка следует из того, что ω ∈ Γ₂ лежит вне Γ₁ и ж₁ голоморфна в некоторой открытой окрестности σ (Т), поэтому второй член обращается в нуль. Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[f_{2}(\zeta )\right]d\zeta &&{\text{Cauchy's Integral Formula}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \\&=(f_{1}\cdot f_{2})(T)\end{aligned}}}$

Непрерывность относительно компактной сходимости

Позволять грамм ⊂ C быть открытым с σ (Т) ⊂ грамм. Предположим, что последовательность {ж_k} голоморфных функций на грамм сходится равномерно на компактных подмножествах грамм (это иногда называют компактная сходимость). Потом {ж_k(Т)} сходится в L(Икс):

Предположим для простоты, что Γ состоит только из одной жордановой кривой. Мы оцениваем

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{k}(T)-f_{l}(T)\right\|&={\frac {1}{2\pi }}\left\|\int _{\Gamma }{\frac {(f_{k}-f_{l})(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right\|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left|(f_{k}-f_{l})(\zeta )\right|\cdot \left\|(\zeta -T)^{-1}\right\|d\zeta \end{aligned}}}$

Комбинируя предположение о равномерной сходимости и различные соображения непрерывности, мы видим, что указанное выше стремится к 0 при k, л → ∞. Так {ж_k(Т)} является Коши, поэтому сходится.

Уникальность

Подводя итог, мы показали голоморфное функциональное исчисление, ж → ж(Т), обладает следующими свойствами:

1. Он расширяет полиномиальное функциональное исчисление.
2. Это гомоморфизм алгебр из алгебры голоморфных функций, определенных в окрестности σ (Т) к L(Икс)
3. Он сохраняет равномерную сходимость на компактах.

Можно доказать, что исчисление, удовлетворяющее указанным выше свойствам, единственно.

Отметим, что все, что обсуждалось до сих пор, дословно выполняется, если семейство ограниченных операторов L(Икс) заменяется на Банахова алгебра А. Функциональное исчисление может быть определено точно так же для элемента в А.

Спектральные соображения

Теорема о спектральном отображении

Известно, что теорема о спектральном отображении выполняется для полиномиального функционального исчисления: для любого полинома п, σ(п(Т)) = п(σ(Т)). Это можно распространить на голоморфное исчисление. Показывать ж(σ(Т)) ⊂ σ(ж(Т)), пусть μ - любое комплексное число. В результате комплексного анализа существует функция грамм голоморфный в окрестности σ(Т) такие, что

${\displaystyle f(z)-f(\mu )=(z-\mu )g(z).\,}$

По свойству гомоморфизма ж(Т) − ж(μ) = (Т − μ)грамм(Т). Следовательно, μ ∈ σ(Т) подразумевает ж(μ) ∈ σ(ж(Т)).

Для другого включения, если μ не в ж(σ(Т)), то функциональное исчисление применимо к

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-\mu }}.}$

Так грамм(Т)(ж(Т) − μ) = я. Следовательно, μ не лежит в σ(ж(Т)).

Спектральные проекции

Основная идея заключается в следующем. Предположим, что K это подмножество σ(Т) и U,V непересекающиеся окрестности K и σ(Т) \ K соответственно. Определять е(z) = 1, если z ∈ U и е(z) = 0, если z ∈ V. потом е является голоморфной функцией с [е(z)]² = е(z), а значит, для подходящего контура Γ, лежащего в U ∪ V и который охватывает σ (Т) линейный оператор

${\displaystyle e(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {e(z)}{z-T}}\,dz}$

будет ограниченной проекцией, коммутирующей с Т и предоставляет много полезной информации.

Выясняется, что этот сценарий возможен тогда и только тогда, когда K одновременно открыт и закрыт в топология подпространства на σ(Т). Кроме того, множество V можно спокойно игнорировать, так как е равен нулю на нем и поэтому не дает вклада в интеграл. Проекция е(Т) называется спектральная проекция Т в K и обозначается п(K;Т). Таким образом, каждое подмножество K из σ(Т), которая одновременно открыта и замкнута в топологии подпространства, имеет ассоциированную спектральную проекцию, заданную формулой

${\displaystyle P(K;T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {dz}{z-T}}}$

где Γ - контур, охватывающий K но никакие другие точки σ (Т).

С п = п(K;Т) ограничен и коммутирует с Т это позволяет Т быть выраженным в форме U ⊕ V куда U = Т|_PX и V = Т|_{(1−п)Икс}. Обе PX и (1 -п)Икс инвариантные подпространства Т более того σ(U) = K и σ(V) = σ(Т) \ K. Ключевое свойство - взаимная ортогональность. Если L - другое открытое и замкнутое множество в топологии подпространств на σ(Т) тогда п(K;Т)п(L;Т) = п(L;Т)п(K;Т) = п(K ∩ L;Т) который равен нулю всякий раз, когда K и L не пересекаются.

Спектральные проекции имеют множество приложений. Любая изолированная точка σ (Т) одновременно открыта и замкнута в топологии подпространства и, следовательно, имеет ассоциированную спектральную проекцию. Когда Икс имеет конечную размерность σ (Т) состоит из изолированных точек, и полученные спектральные проекции приводят к варианту Нормальная форма Джордана при этом все жордановы блоки, соответствующие одному и тому же собственному значению, объединены. Другими словами, на каждое собственное значение приходится ровно один блок. В следующем разделе это разложение рассматривается более подробно.

Иногда спектральные проекции наследуют свойства от своих родительских операторов. Например, если Т положительная матрица со спектральным радиусом р затем Теорема Перрона – Фробениуса утверждает, что р ∈ σ(Т). Соответствующая спектральная проекция п = п(р;Т) также положительна и по взаимной ортогональности никакая другая спектральная проекция не может иметь положительной строки или столбца. Фактически TP = rP и (Т/р)^п → п в качестве п → ∞, поэтому эта проекция п (которая называется проекцией Перрона) приближает (Т/р)^п в качестве п увеличивается, и каждый из его столбцов является собственным векторомТ.

В более общем плане, если Т компактный оператор, то все ненулевые точки в σ (Т) изолированы, и поэтому любое их конечное подмножество можно использовать для разложения Т. Соответствующая спектральная проекция всегда имеет конечный ранг. Те операторы в L(Икс) с подобными спектральными характеристиками известны как Операторы Рисса. Многие классы операторов Рисса (включая компактные операторы) являются идеалами в L(Икс) и предоставляют обширное поле для исследований. Однако если Икс это Гильбертово пространство существует ровно один замкнутый идеал, зажатый между операторами Рисса и операторами конечного ранга.

Большая часть приведенного выше обсуждения может быть помещена в более общий контекст сложной Банахова алгебра. Здесь спектральные проекции называются призрачные идемпотенты так как им больше не может быть места для проецирования.

Разложение инвариантного подпространства

Если спектр σ(Т) не связано, Икс можно разложить на инвариантные подпространства Т с использованием функционального исчисления. Позволять σ(Т) - несвязное объединение

${\displaystyle \sigma (T)=\bigcup _{i=1}^{m}F_{i}.}$

Определять е_я быть 1 в некоторой окрестности, содержащей только компонент F_я и 0 в другом месте. По свойству гомоморфизма е_я(Т) является проекцией для всех я. Фактически это просто спектральная проекция п(F_я;Т) описано выше. Соотношение е_я(Т) Т = Т е_я(Т) означает диапазон каждого е_я(Т), обозначаемый Икс_я, является инвариантным подпространством Т. С

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}(T)=I,\,}$

Икс можно выразить через эти дополнительные подпространства:

${\displaystyle X=\sum _{i}X_{i}.\,}$

Аналогично, если Т_я является Т ограниченный Икс_я, тогда

${\displaystyle T=\sum _{i}T_{i}.\,}$

Рассмотрим прямую сумму

${\displaystyle X'=\bigoplus _{i}X_{i}.}$

С нормой

${\displaystyle \left\|\bigoplus _{i}x_{i}\right\|=\sum _{i}\|x_{i}\|,}$

ИКС' является банаховым пространством. Отображение р: ИКС' → Икс определяется

${\displaystyle R\left(\bigoplus _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}x_{i}}$

является изоморфизмом банахова пространства, и мы видим, что

${\displaystyle RTR^{-1}=\bigoplus _{i}T_{i}.}$

Это можно рассматривать как блочную диагонализацию Т.

Когда Икс конечномерна, σ(Т) = {λ_я} - конечный набор точек комплексной плоскости. выбирать е_я быть 1 на открытом диске, содержащем только λ_я из спектра. Соответствующая блочно-диагональная матрица

${\displaystyle \bigoplus _{i}T_{i}}$

это Иорданская каноническая форма из Т.

Связанные результаты

При более сильных предположениях, когда Т это нормальный оператор действуя на Гильбертово пространство, область функционального исчисления может быть расширена. При сравнении двух результатов можно провести грубую аналогию со связью между спектральной теоремой для нормальных матриц и жордановой канонической формой. Когда Т - нормальный оператор, a непрерывное функциональное исчисление можно получить, то есть можно оценить ж(Т) с ж быть непрерывная функция определено на σ(Т). Используя аппарат теории меры, это можно распространить на функции, которые только измеримый (видеть Функциональное исчисление Бореля ). В этом контексте, если E ⊂ σ (Т) - борелевское множество и E(Икс) - характеристическая функция E, оператор проекции E(Т) является уточнением е_я(Т) обсуждалось выше.

Функциональное исчисление Бореля распространяется на неограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.

Говоря несколько более абстрактным языком, голоморфное функциональное исчисление может быть расширено до любого элемента Банахова алгебра, используя те же аргументы, что и выше. Точно так же непрерывное функциональное исчисление справедливо для нормальных элементов в любом C * -алгебра и измеримое функциональное исчисление для нормальных элементов в любом алгебра фон Неймана.

Неограниченные операторы

Аналогичным образом можно определить голоморфное функциональное исчисление для неограниченного закрытые операторы с непустым набором резольвент.

Смотрите также

• Резольвентный формализм
• Иорданская каноническая форма, где довольно подробно обсуждается конечномерный случай.

Рекомендации

• Н. Данфорд и Дж. Шварц, Линейные операторы, часть I: Общая теория, Interscience, 1958.
• Стивен Кранц. Словарь по алгебре, арифметике и тригонометрии. CRC Press, 2000. ISBN  1-58488-052-X.
• Исраэль Гохберг, Сеймур Голдберг и Маринус А. Каашук, Классы линейных операторов: Том 1. Бирхаузер, 1991. ISBN  978-0817625313.