Пространство Рисса - Riesz space

«Векторная решетка» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Решетка (значения).

В математика, а Пространство Рисса, решеточно-упорядоченное векторное пространство или же векторная решетка это частично упорядоченное векторное пространство где структура заказа это решетка.

Пространства Рисса названы в честь Фриджес Рис кто первым определил их в своей статье 1928 г. Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires.

Пространства Рисса имеют широкое применение. Они важны в теория меры, в том смысле, что важные результаты являются частными случаями результатов для пространств Рисса. Например. то Теорема Радона – Никодима следует как частный случай Спектральная теорема Фрейденталя. Пространства Рисса также нашли применение в математическая экономика благодаря работе греко-американского экономиста и математика Хараламбос Д. Алипрантис.

Определение

Предварительные мероприятия

Если Икс является упорядоченное векторное пространство и если S это подмножество Икс затем элемент б ∈ Икс является верхняя граница (соотв. нижняя граница) из S если s ≤ б (соотв. s ≥ б) для всех s ∈ S. Элемент а в Икс это наименьшая верхняя граница или же супремум (соотв. большая нижняя граница или же инфимум) из S если это верхняя граница (соответственно нижняя граница) S и если для любой верхней (соответственно любой нижней) границы б из S, у нас есть а ≤ б (соотв. а ≥ б).

Определения

Предварительно упорядоченная векторная решетка

А предупорядоченная векторная решетка это предварительныйупорядоченное векторное пространство E в котором каждая пара элементов имеет супремум.

Более конкретно, a предупорядоченная векторная решетка есть векторное пространство, наделенное Предварительный заказ, ≤, что для любого Икс, у, z ∈ E:

1. Инвариантность перевода: Икс ≤ у подразумевает Икс + z ≤ у + z.
2. Положительная однородность: Для любого скаляра 0 ≤ α, Икс ≤ у подразумевает αx ≤ αy.^{[требуется разъяснение ]}
3. Для любой пары векторов Икс, у в E существует супремум (обозначено Икс ∨ у) в E в отношении порядка (≤).

Предварительный заказ вместе с пунктами 1 и 2, которые делают его «совместимым со структурой векторного пространства», делают E предварительно упорядоченное векторное пространство. Пункт 3 говорит, что предварительный заказ соединить полурешетку. Поскольку предварительный порядок совместим со структурой векторного пространства, можно показать, что любая пара также имеет инфимум, изготовление E также встретить полурешётку, следовательно, решетка.

Предварительно упорядоченное векторное пространство E является предварительно упорядоченной векторной решеткой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных свойств:

1. Для любого Икс, у ∈ E, их супремум существует в E.
2. Для любого Икс, у ∈ E, их инфимум существует в E.
3. Для любого Икс, у ∈ E, их нижняя грань и их верхняя грань существуют в E.
4. Для любого Икс ∈ E, Как дела { Икс, 0} существует.^[1]

Пространство Рисса и векторные решетки

А Пространство Рисса или векторная решетка предупорядоченная векторная решетка, предпорядок которой частичный заказ. Эквивалентно, это упорядоченное векторное пространство для которых заказ является решетка.

Отметим, что многие авторы требовали, чтобы векторная решетка была частично заказанный векторное пространство (а не просто предварительно упорядоченное векторное пространство), в то время как другие требуют только, чтобы это было предварительно упорядоченное векторное пространство. В дальнейшем мы будем предполагать, что каждое пространство Рисса и каждая векторная решетка является упорядоченное векторное пространство но что предварительно упорядоченная векторная решетка не обязательно частично упорядочена.

Если E упорядоченное векторное пространство над ${displaystyle mathbb {R} }$ с положительным, чей положительный конус C порождает (т.е. такой, что E = C - C), а если для каждого Икс, у ∈ C либо ${displaystyle sup{x,y}}$ или же ${displaystyle inf{x,y}}$ существует, тогда E является векторной решеткой.^[2]

Интервалы

An интервал заказа в частично упорядоченном векторном пространстве является выпуклый набор формы [а,б] = { Икс : а ≤ Икс ≤ б }. В упорядоченном вещественном векторном пространстве каждый интервал вида [-Икс, Икс] является сбалансированный.^[3] Из аксиом 1 и 2 выше следует, что Икс,у в [а,б] и λ в (0,1) влечет λИкс + (1 − λ)у в [а,б]. Подмножество называется порядок ограничен если он содержится в некотором интервале порядка.^[3] An единица заказа предварительно упорядоченного векторного пространства - это любой элемент Икс такой, что набор [-Икс, Икс] является поглощающий.^[3]

Набор всех линейные функционалы в предварительно упорядоченном векторном пространстве V которые отображают каждый интервал порядка в ограниченное множество, называется двойной порядок из V и обозначается V^б[3] Если пространство упорядочено, то его двойственная граница по порядку является векторным подпространством его алгебраический двойственный.

Подмножество А векторной решетки E называется заказ завершен если для каждого непустого подмножества B ⊆ А такой, что B порядок ограничен в А, обе ${displaystyle sup B}$ и ${displaystyle inf B}$ существуют и являются элементами А. Мы говорим, что векторная решетка E является заказ завершен является E является порядковым полным подмножеством E.^[4]

Конечномерные пространства Рисса

Конечномерные векторные решетки попадают в одну из двух категорий в зависимости от того, является ли решетка Архимед приказал.

Теорема:^[5] Предположим, что Икс - векторная решетка конечной размерности п. Если Икс является Архимед приказал то она (векторная решетка) изоморфна ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ в его каноническом порядке. В противном случае существует целое число k удовлетворяющий 2 ≤ k ≤ п такой, что Икс изоморфен ${displaystyle mathbb {R} _{L}^{k} imes mathbb {R} ^{n-k}}$ куда ${displaystyle mathbb {R} ^{n-k}}$ имеет свой канонический порядок, ${displaystyle mathbb {R} _{L}^{k}}$ является ${displaystyle mathbb {R} ^{k}}$ с лексикографический порядок, и произведение этих двух пространств имеет канонический порядок произведения.

Как и в случае с конечномерным топологические векторные пространства, конечномерные векторные решетки оказываются неинтересными.

Основные свойства

Каждое пространство Рисса является частично упорядоченное векторное пространство, но не каждое частично упорядоченное векторное пространство является пространством Рисса.

Обратите внимание, что для любого подмножества А из Икс, ${displaystyle sup A=-inf left(-Aight)}$ всякий раз, когда существует супремум или инфимум (в этом случае они оба существуют).^[2]Если ${displaystyle xgeq 0}$ и ${displaystyle ygeq 0}$ тогда ${displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$.^[2] Для всех а, б, Икс, и у в пространстве Рисса Икс, у нас есть а - inf (Икс, у) + b = sup (а - Икс + б, а - у + б).^[4]

Абсолютная величина

Для каждого элемента Икс в пространстве Рисса Икс, то абсолютная величина из Икс, обозначаемый ${displaystyle |x|}$, определяется как ${displaystyle |x|:=sup left{x,-xight}}$,^[4] где это удовлетворяет - |Икс| ≤ Икс ≤ |Икс| и |Икс| ≥ 0. Для любого Икс и у в Икс и любое реальное число р, у нас есть ${displaystyle |rx|=|r||x|}$ и ${displaystyle |x+y|leq |x|+|y|}$.^[4]

Несвязанность

Основная статья: Решетка непересекающаяся

Мы говорим, что два элемента Икс и у в векторной решетке Икс находятся решетка непересекающаяся или же непересекающийся если ${displaystyle inf left{|x|,|y|ight}=0}$, в этом случае мы пишем ${displaystyle xperp y}$. Два элемента Икс и у не пересекаются тогда и только тогда, когда ${displaystyle sup{|x|,|y|}=|x|+|y|}$. Если Икс и у не пересекаются, то ${displaystyle |x+y|=|x|+|y|}$ и ${displaystyle left(x+yight)^{+}=x^{+}+y^{+}}$, где для любого элемента z, ${displaystyle z^{+}:=sup left{z,0ight}}$ и ${displaystyle z^{-}:=sup left{-z,0ight}}$. Мы говорим, что два набора А и B находятся непересекающийся если а и б не пересекаются для всех а в А и все б в B, в этом случае мы пишем ${displaystyle Aperp B}$.^[2] Если А это одноэлементный набор ${displaystyle {a}}$ тогда мы напишем ${displaystyle aperp B}$ на месте ${displaystyle {a}perp B}$. Для любого набора А, мы определяем непересекающееся дополнение быть набором ${displaystyle A^{perp }:=left{xin X:xperp Aight}}$.^[2] Непересекающиеся дополнения всегда группы, но в целом обратное неверно. Если А это подмножество Икс такой, что ${displaystyle x=sup A}$ существует, и если B является решеткой подмножеств в Икс это не пересекается с А, тогда B решетка, не пересекающаяся с ${displaystyle {x}}$.^[2]

Представление в виде непересекающейся суммы положительных элементов

Для любого Икс в Икс, позволять ${displaystyle x^{+}:=sup left{x,0ight}}$ и ${displaystyle x^{-}:=sup left{-x,0ight}}$, где заметим, что оба эти элемента являются ${displaystyle geq 0}$ и ${displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ с ${displaystyle |x|=x^{+}+x^{-}}$. потом ${displaystyle x^{+}}$ и ${displaystyle x^{-}}$ не пересекаются, и ${displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ является уникальным представлением Икс как разность непересекающихся элементов, которые ${displaystyle geq 0}$.^[2] Для всех Икс и у в Икс, ${displaystyle left|x^{+}-y^{+}ight|leq |x-y|}$ и ${displaystyle x+y=sup{x,y}+inf{x,y}}$.^[2] Если у ≥ 0 и Икс ≤ у тогда Икс⁺ ≤ у. Более того, ${displaystyle xleq y}$ если и только если ${displaystyle x^{+}leq y^{+}}$ и ${displaystyle x^{-}leq x^{-1}}$.^[2]

Каждое пространство Рисса является распределительная решетка; то есть он имеет следующие эквивалентные свойства: для всех Икс, у, и z в Икс

1. Икс ∧ (у ∨ z) = (Икс ∧ у) ∨ (Икс ∧ z)
2. Икс ∨ (у ∧ z) = (Икс ∨ у) ∧ (Икс ∨ z)^[6][7]
3. (Икс${displaystyle wedge }$у)${displaystyle vee }$(у${displaystyle wedge }$z)${displaystyle vee }$(z${displaystyle wedge }$Икс) = (Икс${displaystyle vee }$у)${displaystyle wedge }$(у${displaystyle vee }$z)${displaystyle wedge }$(z${displaystyle vee }$Икс).
4. Икс${displaystyle wedge }$z = у${displaystyle wedge }$z и Икс${displaystyle vee }$z = у${displaystyle vee }$z всегда подразумевают Икс=у.

Каждое пространство Рисса имеет Свойство разложения Рисса.

Сходимость порядка

Существует ряд значимых неэквивалентных способов определения сходимости последовательностей или сетей относительно упорядоченной структуры пространства Рисса. Последовательность {Икс_п} в пространстве Рисса E говорят сходятся монотонно если это монотонный убывающая (соответственно возрастающая) последовательность и ее инфимум (супремум) Икс существует в E и обозначен Икс_п ↓ Икс, (соотв. Икс_п ↑ Икс).

Последовательность {Икс_п} в пространстве Рисса E говорят сходиться по порядку к Икс если существует монотонная сходящаяся последовательность {п_п} в E такой, что |Икс_п − Икс| < п_п ↓ 0.

Если ты является положительным элементом пространства Рисса E затем последовательность {Икс_п} в E говорят сходятся u-равномерно к Икс если для любого ε > 0 существует N такой, что |Икс_п − Икс| < εu для всех п > N.

Подпространства

Дополнительная структура, обеспечиваемая этими пространствами, обеспечивает различные виды подпространств Рисса. Набор структур каждого вида в пространстве Рисса (например, совокупность всех идеалов) образует распределительная решетка.

Подрешетки

Если Икс является векторной решеткой, то a векторная подрешетка векторное подпространство F из Икс такой, что для всех Икс и у в F, ${displaystyle sup{x,y}}$ принадлежит F (где этот супремум взят в Икс).^[4] Может случиться так, что подпространство F из Икс является векторной решеткой относительно своего канонического порядка, но является нет векторная подрешетка Икс.^[4]

Идеалы

Основная статья: Твердый набор

Векторное подпространство я пространства Рисса E называется идеальный если это твердый, то есть если для  ж  ∈ я и грамм ∈ E, у нас есть: |грамм| ≤ | ж | подразумевает, что грамм ∈ я.^[4] Пересечение произвольного набора идеалов снова является идеалом, который позволяет определить наименьший идеал, содержащий некоторое непустое подмножество А из E, и называется идеальным генерируется к А. Идеал, созданный синглтоном, называется главный идеал.

Группы и σ-Идеалы

Основная статья: Band (теория порядка)

А группа B в пространстве Рисса E определяется как идеал с дополнительным свойством, что для любого элемента ж в E для которого его абсолютное значение | ж | является супремумом произвольного подмножества положительных элементов в B, который ж на самом деле в B. σ-Идеалы определяются аналогично, с заменой слов «произвольное подмножество» на «счетное подмножество». Ясно, что каждая полоса σ-идеально, но в целом обратное неверно.

Пересечение произвольного семейства лент снова становится лентой. Как и в случае с идеалами, для каждого непустого подмножества А из E, существует наименьшая полоса, содержащая это подмножество, называемая группа, созданная А. Полоса, генерируемая синглтоном, называется основная группа.

Проекционные полосы

Группа B в пространстве Рисса называется проекционная лента, если E = B ⊕ B^⟂, что означает каждый элемент ж в E, можно записать однозначно как сумму двух элементов:  ж = ты + v, с ты в B и v в B^⟂. Тогда также существует положительный линейный идемпотент, или проекция, п_B : E → E, так что п_B( ж ) = ты.

Совокупность всех проекционных лент в пространстве Рисса образует Булева алгебра. Некоторые пространства не имеют нетривиальных проекционных лент (например, C([0, 1])), поэтому эта булева алгебра может быть тривиальной.

Полнота

Векторная решетка - это полный если каждое подмножество имеет как верхнюю, так и нижнюю границу.

Векторная решетка - это Дедекинд полный если каждый набор с верхней границей имеет верхнюю грань, а каждый набор с нижней границей имеет нижнюю грань.

Порядково полная, регулярно упорядоченная векторная решетка, канонический образ которой в ее заказать двунаправленный Заказ завершен, называется минимальный и говорят, что минимального типа.^[8]

Подпространства, частные и произведения

Подрешетки

Если M является векторным подпространством предварительно упорядоченного векторного пространства Икс то канонический порядок на M индуцированный ИКС'положительный конус C - предпорядок, индуцированный заостренным выпуклым конусом C ∩ M, где этот конус правильный, если C является правильным (т.е. если (C∩-C=∅).^[3]

А подрешетка векторной решетки Икс векторное подпространство M из Икс такой, что для всех Икс и у в M, Как дела_Икс(Икс, у) принадлежит Икс (важно отметить, что этот супремум взят в Икс а не в M).^[3] Если Икс = ${displaystyle L^{p}left([0,1],mu ight)}$ при 0

M из Икс определяется всеми картами вида ${displaystyle tmapsto at+b}$ (а, б ∈ ${displaystyle mathbb {R} }$) является векторной решеткой относительно индуцированного порядка, но является нет подрешетка Икс.^[5] Это несмотря на Икс будучи заказ завершен Архимед приказал топологическая векторная решетка. Кроме того, существует вектор a векторная подрешетка N этого пространства Икс такой, что N ∩ C имеет пустой интерьер в Икс но нет положительного линейного функционала на N продолжается до положительного линейного функционала на Икс.^[5]

Факторные решетки

Позволять M - векторное подпространство упорядоченного векторного пространства Икс имеющий положительный конус C, позволять ${displaystyle pi :X o X/M}$ - каноническая проекция, и пусть ${displaystyle {hat {C}}:=pi (C)}$. потом ${displaystyle {hat {C}}}$ конус в Икс/M что вызывает канонический предварительный заказ на факторное пространство Икс/M. Если ${displaystyle {hat {C}}}$ это правильный конус в Икс/M тогда ${displaystyle {hat {C}}}$ делает Икс/M в упорядоченное векторное пространство.^[3] Если M является C-насыщенный тогда ${displaystyle {hat {C}}}$ определяет канонический порядок Икс/M.^[5] Обратите внимание, что ${displaystyle X=mathbb {R} _{0}^{2}}$ предоставляет пример упорядоченного векторного пространства, где ${displaystyle pi (C)}$ не является правильным конусом.

Если Икс - векторная решетка и N это твердый векторное подпространство Икс тогда ${displaystyle {hat {C}}}$ определяет канонический порядок Икс/M под которым L/M - векторная решетка и каноническое отображение ${displaystyle pi :X o X/M}$ является гомоморфизмом векторной решетки. Кроме того, если Икс является заказ завершен и M группа в Икс тогда Икс/M изоморфен M^⟂.^[5] Кроме того, если M твердый, то топология заказа из Икс/M является фактором топологии порядка на Икс.^[5]

Если Икс это топологическая векторная решетка и M закрытый твердый подрешетка Икс тогда Икс/L также является топологической векторной решеткой.^[5]

Товар

Если S любое множество, то пространство Икс^S всех функций из S в Икс канонически упорядочивается собственным конусом ${displaystyle left{fin X^{S}:f(s)in C{ ext{ for all }}sin Sight}}$.^[3]

Предположим, что ${displaystyle left{X_{alpha }:alpha in Aight}}$ является семейством предварительно упорядоченных векторных пространств и что положительный конус ${displaystyle X_{alpha }}$ является ${displaystyle C_{alpha }}$. потом ${displaystyle C:=prod _{alpha }C_{alpha }}$ заостренный выпуклый конус в ${displaystyle prod _{alpha }X_{alpha }}$, определяющий канонический порядок на ${displaystyle prod _{alpha }X_{alpha }}$; C является правильным конусом, если все ${displaystyle C_{alpha }}$ правильные конусы.^[3]

Алгебраическая прямая сумма

Алгебраический прямая сумма ${displaystyle igoplus _{alpha }X_{alpha }}$ из ${displaystyle left{X_{alpha }:alpha in Aight}}$ является векторным подпространством в ${displaystyle prod _{alpha }X_{alpha }}$ которому дан канонический порядок подпространств, унаследованный от ${displaystyle prod _{alpha }X_{alpha }}$.^[3]Если Икс₁, ..., Икс_п упорядоченные векторные подпространства упорядоченного векторного пространства Икс тогда Икс является упорядоченной прямой суммой этих подпространств, если канонический алгебраический изоморфизм Икс на ${displaystyle prod _{alpha }X_{alpha }}$ (с каноническим порядком товаров) - это изоморфизм порядка.^[3]

Пространства линейных карт

Конус C в векторном пространстве Икс как говорят создание если C − C равно всему векторному пространству.^[3] Если Икс и W два нетривиальных упорядоченных векторных пространства с соответствующими положительными конусами п и Q, тогда п генерируется в Икс тогда и только тогда, когда набор ${displaystyle C=left{uin L(X;W):u(P)subseteq Qight}}$ является собственным конусом в L (Икс; W), которое является пространством всех линейных отображений из Икс в W. В этом случае порядок определяется C называется канонический порядок из L (Икс; W).^[3] В более общем смысле, если M - любое векторное подпространство в L (Икс; W) такие, что C ∩ M является собственным конусом, порядок определяется формулой C ∩ M называется канонический порядок из M.^[3]

Линейная карта ты между двумя предварительно упорядоченными векторными пространствами Икс и Y с соответствующими положительными конусами C и D называется положительный если ты(C) ⊆ D. Если Икс и Y векторные решетки с Y заказ завершен и если ЧАС - множество всех положительных линейных отображений из Икс в Y то подпространство M := ЧАС - ЧАС из L (Икс; Y) является порядковой полной векторной решеткой относительно своего канонического порядка; более того, M содержит именно те линейные карты, которые отображают интервалы порядка Икс в интервалы порядка Y.^[5]

Положительные функционалы и двойственный порядок

Линейная функция ж в предварительно упорядоченном векторном пространстве называется положительный если Икс ≥ 0 означает ж(Икс) ≥ 0. Множество всех положительных линейных форм на векторном пространстве, обозначаемое ${displaystyle C^{*}}$, представляет собой конус, равный полярный из -C. В заказ двойной упорядоченного векторного пространства Икс это множество, обозначаемое ${displaystyle X^{+}}$, определяется ${displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}}$. Несмотря на то что ${displaystyle X^{+}subseteq X^{b}}$, существуют упорядоченные векторные пространства, для которых равенство множеств нет держать.^[3]

Гомоморфизм векторной решетки

Предположим, что Икс и Y предупорядоченные векторные решетки с положительными конусами C и D и разреши ты быть картой из Икс в Y. потом ты это предупорядоченный гомоморфизм векторной решетки если ты линейна и выполняется одно из следующих эквивалентных условий:^[9][5]

1. ты сохраняет решеточные операции
2. ты(Как дела{Икс, у}) = sup {ты(Икс), ты(у)} для всех Икс, у ∈ Икс
3. ты(inf {Икс, у}) = inf {ты(Икс), ты(у)} для всех Икс, у ∈ Икс
4. ты(|Икс|) = sup {ты(Икс⁺), ты(Икс⁻)} для всех Икс ∈ Икс
5. 0 = inf {ты(Икс⁺), ты(Икс⁻)} для всех Икс ∈ Икс
6. ты(C) = D и ты⁻¹(0) - это твердый подмножество Икс.^[5]
7. если Икс ≥ 0, тогда ты(Икс) ≥ 0.^[1]
8. ты сохранение порядка.^[1]

Биективный предупорядоченный гомоморфизм векторной решетки является предупорядоченный изоморфизм векторной решетки.

Предварительно упорядоченный гомоморфизм векторной решетки между двумя пространствами Рисса называется векторный решеточный гомоморфизм; если он также биективен, то он называется изоморфизм векторной решетки.

Если ты - ненулевой линейный функционал на векторной решетке Икс с положительным конусом C то следующие эквиваленты:

1. ты : Икс ${displaystyle o mathbb {R} }$ является сюръективным гомоморфизмом векторной решетки.
2. 0 = inf {ты(Икс⁺), ты(Икс⁻)} для всех Икс ∈ Икс
3. ты ≥ 0 и ты⁻¹(0) - это твердый гиперплоскость в Икс.
4. ты порождает крайний луч конуса C^* в Икс^*

Напомним, что крайний луч конуса C это набор {rx : р ≥ 0} где Икс ∈C, Икс не 0, и если у ∈C таково, что Икс - у ∈C тогда у = s x для некоторых s такое, что 0 ≤ s ≤ 1.^[9]

Гомоморфизм векторной решетки из Икс в Y это топологический гомоморфизм когда Икс и Y даны их соответствующие заказать топологии.^[5]

Свойства проекции

Пространства Рисса могут обладать многочисленными проекционными свойствами. Говорят, что пространство Рисса обладает (главным) свойством проекции, если каждая (основная) лента является проекционной лентой.

Так называемой основная теорема включения связывает следующие дополнительные свойства с (основным) свойством проекции:^[10] Пространство Рисса - это…

• Дедекинд завершен (DC) если каждое непустое множество, ограниченное сверху, имеет супремум;
• Super Dedekind Complete (SDC), если каждое ограниченное выше непустое множество имеет счетное подмножество с идентичной супремумом;
• Дедекинд σ-полным, если каждое счетное непустое множество, ограниченное сверху, имеет супремум; и
• Архимедова собственность если для каждой пары положительных элементов Икс и у, существует целое число п такой, что nx ≥ у.

Тогда эти свойства связаны следующим образом. SDC подразумевает DC; DC подразумевает как Дедекинда σ-полнота и свойство проекции; И σ-полнота Дедекинда, и свойство проекции по отдельности подразумевают главное свойство проекции; а главное свойство проекции влечет Архимедова собственность.

Обратных выводов нет, но Дедекинд σ-полнота и свойство проекции вместе подразумевают DC.

Примеры

• Пространство непрерывных вещественнозначных функций с компактная опора на топологическом пространстве Икс с точечно частичный заказ определяется  ж  ≤ грамм когда  ж (Икс) ≤ грамм(Икс) для всех Икс в Икс, является пространством Рисса. Это архимедово, но обычно не имеет основного свойства проекции, если только Икс удовлетворяет дополнительным условиям (например, экстремально отключенный ).
• Любой L^п с (почти всюду ) точечно частичный порядок является полным по Дедекинду пространством Рисса.
• Космос р² с лексикографический порядок неархимедово пространство Рисса.

Характеристики

• Пространства Рисса решеточно упорядоченные группы
• Каждое пространство Рисса является распределительная решетка

Смотрите также

• Выпуклый конус
• Инфимум и супремум
• Упорядоченное векторное пространство
• Частично упорядоченное пространство

Рекомендации

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 139-153.
2. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 74-78.
3. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 205–209.
4. Шефер и Вольф, 1999 г., стр. 204-214.
5. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 250-257.
6. Биркгоф, Гарретт (1967). Теория решеток. Публикации коллоквиума (3-е изд.). Американское математическое общество. п. 11. ISBN  0-8218-1025-1. §6, теорема 9.
7. Для отдельных элементов Икс, у, z, например первое уравнение может быть нарушено, но второе может выполняться; см. N₅ картинка для примера.
8. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 204–214.
9. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 205–214.
10. Люксембург, W.A.J .; Заанен, A.C. (1971). Пространства Рисса: Vol. 1. Лондон: Северная Голландия. С. 122–138. ISBN  0720424518. Получено 8 января 2018.

Библиография

• Бурбаки, Николас; Элементы математики: Интеграция. Главы 1–6; ISBN  3-540-41129-1
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рис, Фриджес; Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Конгресс Атти. internaz. mathematici (Болонья, 1928), 3, Zanichelli (1930), стр. 143–148.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Соболев, В. И. (2001), "Пространство Рисса", Энциклопедия математики, Springer, ISBN  978-1-4020-0609-8
• Заанен, Адриан К. (1996), Введение в теорию операторов в пространствах Рисса, Springer, ISBN  3-540-61989-5

внешняя ссылка

• Пространство Рисса в энциклопедии или математике.