Инфимум и супремум - Infimum and supremum

Множество Т вещественных чисел (полые и закрашенные кружки) подмножество S из Т (закрашенные кружки) и точная нижняя грань S. Обратите внимание, что для конечных полностью упорядоченных множеств точная нижняя грань и минимум равны.

Множество А действительных чисел (синие кружки), набор верхних границ А (красный ромб и кружки), и наименьшая такая верхняя граница, то есть супремум А (красный ромб).

В математика, то инфимум (сокращенно инф; множественное число инфима) из подмножество S из частично заказанный набор Т это величайший элемент в Т что меньше или равно всем элементам S, если такой элемент существует.^[1] Следовательно, термин наибольшая нижняя граница (сокращенно GLB) также широко используется.^[1]

В супремум (сокращенно Как дела; множественное число супрема) подмножества S частично упорядоченного набора Т это наименьший элемент в Т который больше или равен всем элементам S, если такой элемент существует.^[1] Следовательно, супремум также называют наименьшая верхняя граница (или же LUB).^[1]

Инфимум в точном смысле двойной к концепции супремума. Инфима и супрема действительные числа общие частные случаи, которые важны в анализ, и особенно в Интеграция Лебега. Однако общие определения остаются в силе и в более абстрактном контексте теория порядка где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.

Понятия infimum и supremum похожи на минимум и максимум, но более полезны при анализе, поскольку лучше характеризуют специальные множества, которые могут иметь нет минимума или максимума. Например, положительные действительные числа ℝ⁺ (не включая 0) не имеет минимума, потому что любой заданный элемент ℝ⁺ можно просто разделить пополам, получив меньшее число, которое все еще находится в ℝ⁺. Однако существует ровно одна нижняя грань положительных действительных чисел: 0, которая меньше всех положительных действительных чисел и больше любого другого действительного числа, которое может использоваться в качестве нижней границы.

Формальное определение

supremum = наименьшая верхняя граница

А нижняя граница подмножества S частично упорядоченного множества (п, ≤) - элемент а из п такой, что

а ≤ Икс для всех Икс в S.

Нижняя граница а из S называется инфимум (или же наибольшая нижняя граница, или же встретить) из S если

для всех нижних оценок у из S в п, у ≤ а (а больше или равно любой другой нижней границе).

Точно так же верхняя граница подмножества S частично упорядоченного множества (п, ≤) - элемент б из п такой, что

б ≥ Икс для всех Икс в S.

Верхняя граница б из S называется супремум (или же наименьшая верхняя граница, или же присоединиться) из S если

для всех верхних оценок z из S в п, z ≥ б (б меньше любой другой верхней границы).

Существование и уникальность

Инфима и супрема не обязательно существуют. Существование нижней грани подмножества S из п может потерпеть неудачу, если S не имеет вообще никакой нижней границы или если набор нижних границ не содержит наибольшего элемента. Однако, если нижняя грань или супремум существует, она уникальна.

Следовательно, частично упорядоченные множества, для которых, как известно, существуют определенные инфимы, становятся особенно интересными. Например, решетка частично упорядоченный набор, в котором все непустой конечный подмножества имеют как супремум, так и нижнюю грань, а полная решетка частично упорядоченный набор, в котором все подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу. Более подробную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, которые возникают из таких соображений, можно найти в статье о свойства полноты.

Если супремум подмножества S существует, он уникален. Если S содержит наибольший элемент, тогда этот элемент является супремумом; в противном случае супремум не принадлежит S (или не существует). Точно так же, если нижняя грань существует, она уникальна. Если S содержит наименьший элемент, тогда этот элемент является нижним пределом; в противном случае нижняя грань не принадлежит S (или не существует).

Отношение к максимальным и минимальным элементам

Нижняя грань подмножества S частично упорядоченного набора п, если предположить, что он существует, не обязательно принадлежит S. Если да, то это минимальный или наименьший элемент из S. Аналогично, если супремум S принадлежит S, это максимальный или наибольший элемент из S.

Например, рассмотрим набор отрицательных действительных чисел (исключая ноль). В этом наборе нет наибольшего элемента, поскольку для каждого элемента набора есть другой, более крупный элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа Икс, есть еще одно отрицательное действительное число ${displaystyle {frac {x} {2}}}$ , что больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, безусловно, является верхней границей этого множества. Следовательно, 0 - это наименьшая верхняя граница отрицательных действительных чисел, поэтому супремум равен 0. Это множество имеет супремум, но не наибольший элемент.

Однако определение максимальные и минимальные элементы более общий. В частности, в наборе может быть много максимальных и минимальных элементов, в то время как инфима и супремум уникальны.

В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, нижняя грань и верхняя грань подмножества не обязательно должны быть членами этого подмножества.

Минимальные верхние границы

Наконец, частично упорядоченное множество может иметь много минимальных верхних границ без точной верхней границы. Минимальные верхние границы - это те верхние границы, для которых не существует строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше всех других верхних оценок, это просто не больше. Различие между «минимальным» и «минимальным» возможно только в том случае, если данный порядок не является общий один. В полностью упорядоченном наборе, как и в реальных числах, концепции те же.

В качестве примера пусть S - множество всех конечных подмножеств натуральных чисел и рассмотрим частично упорядоченное множество, полученное взятием всех множеств из S вместе с набором целые числа ℤ и множество положительных действительных чисел ℝ⁺, упорядоченные по включению подмножества, как указано выше. Тогда ясно, что и ℤ, и ℝ⁺ больше, чем все конечные наборы натуральных чисел. Тем не менее, ни то, ни другое ℝ⁺ меньше, чем ℤ, и обратное неверно: оба набора являются минимальными верхними границами, но ни одно не является супремумом.

Свойство с наименьшей верхней границей

В свойство с наименьшей верхней границей является примером вышеупомянутого свойства полноты что характерно для набора действительных чисел. Это свойство иногда называют Дедекиндова полнота.

Если заказанный набор S обладает тем свойством, что каждое непустое подмножество S имеющая верхнюю границу также имеет наименьшую верхнюю границу, то S говорят, что она имеет свойство наименьшей верхней границы. Как отмечалось выше, множество ℝ всех действительных чисел имеет свойство наименьшей верхней границы. Аналогично, множество integ целых чисел обладает свойством наименьшей верхней границы; если S непустое подмножество и существует некоторое число п так что каждый элемент s из S меньше или равно п, то существует точная верхняя оценка ты за S, целое число, которое является верхней границей для S и меньше или равен любой другой верхней границе для S. А хорошо организованный set также имеет свойство наименьшей верхней границы, а пустое подмножество также имеет наименьшую верхнюю границу: минимум всего набора.

Пример набора, который не хватает свойство наименьшей верхней границы - это ℚ, множество рациональных чисел. Позволять S набор всех рациональных чисел q такой, что q² <2. Тогда S имеет верхнюю границу (например, 1000 или 6), но не имеет наименьшей верхней границы в: если мы предположим п ∈ ℚ - точная верхняя грань, противоречие сразу выводится, поскольку между любыми двумя действительными числами Икс и у (включая √2 и п) существует рациональное п′, Которая сама должна быть наименьшей верхней границей (если п > √2) или член S лучше чем п (если п < √2). Другой пример - гиперреалы; не существует точной верхней границы множества положительных бесконечно малых.

Имеется соответствующее свойство «наибольшая нижняя граница»; упорядоченный набор обладает свойством наибольшей нижней границы тогда и только тогда, когда он также обладает свойством наименьшей верхней границы; наименьшая-верхняя граница набора нижних границ набора - это наибольшая-нижняя граница, а наибольшая-нижняя граница набора верхних границ набора - наименьшая-верхняя граница набора.

Если в частично упорядоченном наборе п каждое ограниченное подмножество имеет верхнюю грань, это также относится к любому множеству Икс, в функциональном пространстве, содержащем все функции из Икс к п, куда ж ≤ грамм если и только если ж(Икс) ≤ грамм(Икс) для всех Икс в Икс. Например, это применимо к реальным функциям, и, поскольку их можно рассматривать как частные случаи функций, для реальных п-наборы и последовательности действительных чисел.

В свойство с наименьшей верхней границей является индикатором супремы.

Инфима и супрема действительных чисел

В анализ, нижняя и верхняя граница подмножеств S из действительные числа особенно важны. Например, отрицательный действительные числа не имеют наибольшего элемента, и их верхняя грань равна 0 (что не является отрицательным действительным числом).^[1]В полнота действительных чисел влечет (и эквивалентно), что любое ограниченное непустое подмножество S действительных чисел имеет точную нижнюю и верхнюю грань. Если S не ограничена снизу, часто формально пишут inf (S) = −∞. Если S является пустой, пишут inf (S) = +∞.

Характеристики

Следующие формулы зависят от обозначений, которые удобно обобщают арифметические операции над множествами: Пусть множества $А, B \subseteq ℝ,$ и скаляр $λ \in ℝ$ . Определять

$λ \cdot A = {λ \cdot а : а \in А};$ скалярное произведение набора - это просто скаляр, умноженный на каждый элемент в наборе.
$А + B = {а + б : а \in А, б \in B};$ арифметическая сумма двух наборов - это сумма всех возможных пар чисел, по одной из каждого набора.
$А \cdot Б = {а \cdot б : а \in А, б \in B};$ арифметическое произведение двух наборов - это все произведения пар элементов, по одному из каждого набора.

В тех случаях, когда нижняя и верхняя границы множеств $А$ и $B$ существуют следующие тождества:

$п = inf А$ если и только если для каждого $ε > 0$ существует $Икс \in А$ с $Икс < п + ε$ , и $Икс \geq п$ для каждого $Икс \in А$ .
$п = sup А$ если и только если для каждого $ε > 0$ существует $Икс \in А$ с $Икс > п - ε,$ и $Икс \leq п$ для каждого $Икс \in А .$
Если $А \subseteq B$ тогда $инф А \geq inf B$ и $Как дела А \leq sup B .$

Если $λ \geq 0,$ тогда $inf (λ \cdot A) = λ \cdot (Inf А)$ и $Как дела (λ \cdot A) = λ \cdot( Как дела А).$
Если $λ \leq 0,$ тогда $inf (λ \cdot A) = λ \cdot( Как дела А)$ и $Как дела (λ \cdot A) = λ \cdot (Inf А).$
$inf (А + B) = (inf А) + (inf B),$ и $Как дела (А + B) = (sup А) + (sup B).$
Если $А, B$ непустые множества положительных действительных чисел, то $inf (А \cdot Б) = (inf А) \cdot (Inf B);$ аналогично для супрема.^[2]

Двойственность

Если обозначить через п^op частично упорядоченный набор п с отношением обратного порядка, т.е.

Икс ≤ у в п^op если и только если Икс ≥ у в п,

затем точная нижняя грань подмножества S в п равен супремуму S в п^op наоборот.

Для подмножеств действительных чисел имеет место другой вид двойственности: inf S = −sup (-S), где -S = { −s | s ∈ S }.

Примеры

Инфима

Точная нижняя грань набора чисел ${2, 3, 4}$ является $2$ . Номер $1$ это нижняя граница, но не точная нижняя грань и, следовательно, не точная нижняя грань.
В более общем смысле, если набор имеет наименьший элемент, то наименьший элемент является точной гранью для набора. В этом случае его еще называют минимум набора.
${displaystyle inf {1,2,3, ldots} = 1.}$
${displaystyle inf {xin mathbb {R} mid 0$
${displaystyle inf left {xin mathbb {Q} mid x ^ {3}> 2ight} = {sqrt [{3}] {2}}.}$
${displaystyle inf left {(- 1) ^ {n} + {frac {1} {n}} mid n = 1,2,3, ldots ight} = - 1.}$
Если $Икс п$ убывающая последовательность с пределом $Икс$ , тогда $инф Икс п = Икс$ .

Супрема

Супремум набора чисел ${1, 2, 3}$ является $3$ . Номер $4$ является верхней границей, но не наименьшей верхней границей и, следовательно, не является супремумом.
${displaystyle sup {xin mathbb {R} mid 0$
${displaystyle sup left {(- 1) ^ {n} - {frac {1} {n}} mid n = 1,2,3, ldots ight} = 1.}$
${displaystyle sup {a + bmid ain A, bin B} = sup A + sup B.}$
${displaystyle sup {xin mathbb {Q} mid x ^ {2} <2} = {sqrt {2}}.}$

В последнем примере супремум набора рациональные является иррациональный, что означает, что рациональные числа неполный.

Одно из основных свойств супремума:

{displaystyle sup {f (t) + g (t) mid tin A} leq sup {f (t) mid tin A} + sup {g (t) mid tin A}}

для любого функционалы ж и грамм.

Супремум подмножества S из (ℕ, |), где | обозначает "разделяет ", это наименьшее общее кратное элементов S.

Супремум подмножества S из (п, ⊆), где п это набор мощности некоторого множества, является супремумом по (подмножеству) подмножества S из п это союз элементов S.

Смотрите также

внешняя ссылка

«Верхняя и нижняя границы», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Брайтенбах, Джером Р. и Вайсштейн, Эрик В. «Инфимум и супремум». MathWorld.

[BabyRudin-1] а ^б ^c ^d ^е Рудин, Вальтер (1976). ""Глава 1 Реальные и комплексные системы счисления"". Принципы математического анализа ("Распечатать") (3-е изд.). Макгроу-Хилл. п.4. ISBN 0-07-054235-X.

[zakon-2] Закон, Элиас (2004). Математический анализ I. Группа Триллия. С. 39–42.

[1]

[2]