Преобразование Белинского – Захарова - Belinski–Zakharov transform

В (Обратное) преобразование Белинского – Захарова - нелинейное преобразование, которое порождает новые точные решения вакуумной Уравнение поля Эйнштейна. Он был разработан Владимир Белинский и Владимир Захаров в 1978 г.^[1] Преобразование Белинского – Захарова является обобщением обратное преобразование рассеяния. Решения, полученные с помощью этого преобразования, называются гравитационные солитоны (грависолитоны). Несмотря на то, что термин «солитон» используется для описания гравитационных солитонов, их поведение сильно отличается от других (классических) солитонов.^[2] В частности, гравитационные солитоны не сохраняют свою амплитуду и форму во времени, и до июня 2012 г. их общая интерпретация остается неизвестной. Однако известно, что большинство черных дыр (и особенно Метрика Шварцшильда и Метрика Керра ) являются частными случаями гравитационных солитонов.

Вступление

Преобразование Белинского – Захарова работает для пространственно-временные интервалы формы

${\displaystyle ds^{2}=f(-d(x^{0})^{2}+d(x^{1})^{2})+g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

где мы используем Соглашение о суммировании Эйнштейна за ${\displaystyle a,b=2,3}$. Предполагается, что как функция ${\displaystyle f}$ и матрица ${\displaystyle g=g_{ab}}$ зависят от координат ${\displaystyle x^{0}}$ и ${\displaystyle x^{1}}$ Только. Несмотря на то, что это конкретная форма пространственно-временной интервал который зависит только от двух переменных, он включает в себя множество интересных решений в частных случаях, таких как Метрика Шварцшильда, то Метрика Керра, Метрика Эйнштейна – Розена, и много других.

В этом случае вакуумное уравнение Эйнштейна ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$ разлагается на две системы уравнений для матрицы ${\displaystyle g=g_{ab}}$ и функция ${\displaystyle f}$. Использование координат светового конуса ${\displaystyle \zeta =x^{0}+x^{1},\eta =x^{0}-x^{1}}$, первое уравнение для матрицы ${\displaystyle g}$ является

${\displaystyle (\alpha g_{,\zeta }g^{-1})_{,\eta }+(\alpha g_{,\eta }g^{-1})_{,\zeta }=0}$

куда ${\displaystyle \alpha }$ является квадратным корнем из определителя ${\displaystyle g}$, а именно

${\displaystyle \det g=\alpha ^{2}}$

Вторая система уравнений:

${\displaystyle (\ln f)_{,\zeta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\zeta \zeta }}{(\ln \alpha )_{,\zeta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\zeta }}}\operatorname {tr} (g_{,\zeta }g^{-1}g_{,\zeta }g^{-1})}$

${\displaystyle (\ln f)_{,\eta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\eta \eta }}{(\ln \alpha )_{,\eta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\eta }}}\operatorname {tr} (g_{,\eta }g^{-1}g_{,\eta }g^{-1})}$

Взяв след матричного уравнения для ${\displaystyle g}$ показывает, что на самом деле ${\displaystyle \alpha }$ удовлетворяет волновому уравнению

${\displaystyle \alpha _{,\zeta \eta }=0}$

Слабая пара

Рассмотрим линейные операторы ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ определяется

${\displaystyle D_{1}=\partial _{\zeta }+{\frac {2\alpha _{,\zeta }\lambda }{\lambda -\alpha }}\partial _{\lambda }}$

${\displaystyle D_{2}=\partial _{\eta }-{\frac {2\alpha _{,\eta }\lambda }{\lambda +\alpha }}\partial _{\lambda }}$

куда ${\displaystyle \lambda }$ - вспомогательный комплексный спектральный параметр. Несложное вычисление показывает, что, поскольку ${\displaystyle \alpha }$ удовлетворяет волновому уравнению, ${\displaystyle \left[D_{1},D_{2}\right]=0}$. Эта пара операторов коммутирует, это Слабая пара.

Суть обратное преобразование рассеяния переписывает нелинейное уравнение Эйнштейна как переопределенную линейную систему уравнений для новой матричной функции ${\displaystyle \psi =\psi (\zeta ,\eta ,\lambda )}$. Рассмотрим уравнения Белинского – Захарова:

${\displaystyle D_{1}\psi ={\frac {A}{\lambda -\alpha }}\psi }$

${\displaystyle D_{2}\psi ={\frac {B}{\lambda +\alpha }}\psi }$

Используя левую часть первого уравнения с ${\displaystyle D_{2}}$ а в левой части второго уравнения с ${\displaystyle D_{1}}$ и вычитая результаты, левая часть обращается в нуль в результате коммутативности ${\displaystyle D_{1}}$ и ${\displaystyle D_{2}}$. Что касается правой части, короткое вычисление показывает, что она действительно также исчезает именно тогда, когда ${\displaystyle g}$ удовлетворяет нелинейному матричному уравнению Эйнштейна.

Это означает, что переопределенные линейные уравнения Белинского – Захарова разрешимы одновременно в точности, когда ${\displaystyle g}$ решает нелинейное матричное уравнение. На самом деле восстановить легко ${\displaystyle g}$ из матричнозначной функции ${\displaystyle \psi }$ простым ограничивающим процессом. Принимая предел ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$ в уравнениях Белинского-Захарова и умножением на ${\displaystyle \psi ^{-1}}$ справа дает

${\displaystyle \psi _{,\zeta }\psi ^{-1}=g_{,\zeta }g^{-1}}$

${\displaystyle \psi _{,\eta }\psi ^{-1}=g_{,\eta }g^{-1}}$

Таким образом, решение нелинейной ${\displaystyle g}$ уравнение получается из решения линейного уравнения Белинского – Захарова простым вычислением

${\displaystyle g(\zeta ,\eta )=\psi (\zeta ,\eta ,0)}$

Рекомендации

1. Белинский В., Захаров В. Интегрирование уравнений Эйнштейна с помощью метода обратной задачи рассеяния и построение точных солитонных решений // Докл. Phys. ЖЭТФ 48 (6) (1978).
2. В. Белинский и Э. Вердагер, Гравитационные солитоны, Кембриджские монографии по математической физике (2001)

• В. Белинский и В. Захаров (1978). «Интегрирование уравнений Эйнштейна с помощью метода обратной задачи рассеяния и построение точных солитонных решений». Сов. Phys. ЖЭТФ. 48 (6).
• Белинский, В .; Вердагер, Э. (2001). Гравитационные солитоны. Кембриджские монографии по математической физике. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521805865. PDF