Сопряженные переменные - Conjugate variables

Сопряженные переменные пары переменных, математически определенные таким образом, что они становятся преобразование Фурье двойники,[1][2] или в более общем плане связаны через Понтрягинская двойственность. Соотношения двойственности естественным образом приводят к соотношению неопределенности - в физика называется Принцип неопределенности Гейзенберга -между ними. С математической точки зрения сопряженные переменные являются частью симплектического базиса, а соотношение неопределенности соответствует симплектическая форма. Кроме того, сопряженные переменные связаны соотношением Теорема Нётер, который гласит, что если законы физики инвариантны относительно изменения одной из сопряженных переменных, то другая сопряженная переменная не будет изменяться со временем (т.е. будет сохраняться).

Примеры

Существует множество типов сопряженных переменных в зависимости от типа работы, которую выполняет определенная система (или которой она подвергается). Примеры канонически сопряженных переменных включают следующее:

  • Период и частота: чем дольше звучит музыкальная нота, тем точнее мы знаем ее частоту, но она охватывает большую продолжительность и, таким образом, является более распределенным событием или «мгновением» во времени. И наоборот, очень короткая музыкальная нота становится просто щелчком и поэтому более локализована во времени, но нельзя очень точно определить ее частоту.[3]
  • Допплер и классифицировать: чем больше мы знаем о том, как далеко радар цель, тем меньше мы можем знать о точной скорости приближения или отступления, и наоборот. В этом случае двумерная функция доплера и дальности известна как функция радиолокационной неоднозначности или же диаграмма радиолокационной неоднозначности.
  • Поверхностная энергия: γ dА (γ = поверхностное натяжение; А = площадь поверхности).
  • Эластичная растяжка: F dL (F = сила упругости; L длина в растянутом состоянии).

Производные действия

В классической физике производные от действие являются переменными, сопряженными с величиной, по которой производится дифференцирование. В квантовой механике эти же пары переменных связаны Гейзенбергским принцип неопределенности.

Квантовая теория

В квантовая механика сопряженные переменные реализуются как пары наблюдаемых, операторы которых не коммутируют. В обычной терминологии они называются несовместимые наблюдаемые. Рассмотрим, например, измеримые величины, заданные положением и импульс . В квантовомеханическом формализме две наблюдаемые и соответствуют операторам и , которые обязательно удовлетворяют каноническое коммутационное соотношение:

Для каждого ненулевого коммутатора двух операторов существует «принцип неопределенности», который в нашем настоящем примере может быть выражен в виде:

В этих неточно определенных обозначениях и обозначают «неопределенность» в одновременной спецификации и . Более точное и статистически полное заявление о стандартном отклонении читает:

В более общем смысле, для любых двух наблюдаемых и соответствующие операторам и , обобщенный принцип неопределенности определяется выражением:

Теперь предположим, что мы должны явно определить два конкретных оператора, присвоив каждому специфический математическая форма, такая, что пара удовлетворяет вышеупомянутому соотношению коммутации. Важно помнить, что наш конкретный «выбор» операторов будет просто отражать одно из многих эквивалентных или изоморфных представлений общей алгебраической структуры, которая фундаментально характеризует квантовую механику. Обобщение формально дается алгеброй Ли Гейзенберга , с соответствующей группой, называемой группой Гейзенберга .

Гидравлическая механика

В Гамильтонова механика жидкости и квантовая гидродинамика, то действие сам (или потенциал скорости ) - сопряженная переменная плотность (или же плотность вероятности ).

Смотрите также

Примечания