Функционал Шредингера - Schrödinger functional

В математическая физика, некоторые подходы к квантовая теория поля более популярны, чем другие. По историческим причинам Представление Шредингера пользуется меньшим успехом, чем Пространство фока методы. В первые дни квантовая теория поля, поддержание симметрий, таких как лоренц-инвариантность, их явное отображение и доказательство перенормировки имели первостепенное значение. Представление Шредингера не является явно лоренц-инвариантным, и его перенормируемость была показана только в 1980-х гг. Курт Симанзик (1981).

В представлении Шредингера волновой функционал Шредингера выделяется как, пожалуй, самый полезный и универсальный функциональный инструмент, хотя в настоящее время к нему проявляют особый интерес.

В Функционал Шредингера в своей основной форме перевод времени генератор волновых функционалов состояния. С точки зрения непрофессионала, он определяет, как система квант частицы развиваются во времени и как выглядят последующие системы.

Фон

Квантовая механика определяется пространственными координатами ${\displaystyle \mathbf {x} }$ на котором Галилейская группа действует, а соответствующие операторы действуют на его состояние как ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\psi (\mathbf {x} )=\mathbf {x} \psi (\mathbf {x} )}$. Состояние характеризуется волновой функцией ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} |\psi \rangle }$ полученный путем проецирования его на собственные состояния координат, определяемые ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\left|\mathbf {x} \right\rangle =\mathbf {x} \left|\mathbf {x} \right\rangle }$. Эти собственные состояния не стационарный. Временная эволюция порождается гамильтонианом, в результате чего получается уравнение Шредингера ${\displaystyle i\partial _{0}\left|\psi (t)\right\rangle ={\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle }$.

Однако в квантовая теория поля, координата - полевой оператор ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\mathbf {x} }={\hat {\phi }}(\mathbf {x} )}$, который действует на волновой функционал состояния как

${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} )\Psi \left[\phi (\cdot )\right]=\operatorname {\phi } \left(\mathbf {x} \right)\Psi \left[\phi (\cdot )\right]}$,

куда "⋅"указывает на несвязанный пространственный аргумент. Этот волновой функционал

${\displaystyle \Psi \left[\phi (\cdot )\right]=\left\langle \phi (\cdot )|\Psi \right\rangle }$

получается с помощью собственных состояний поля

${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} )\left|\Phi (\cdot )\right\rangle =\Phi (\mathbf {x} )\left|\Phi (\cdot )\right\rangle }$,

которые индексируются непримененными конфигурациями "классического поля" ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$. Эти собственные состояния, как и положение собственных состояний выше, не стационарный. Временная эволюция генерируется гамильтонианом, что дает уравнение Шредингера:

${\displaystyle i\partial _{0}\left|\Psi (t)\right\rangle ={\hat {H}}\left|\Psi (t)\right\rangle }$.

Таким образом, состояние в квантовой теории поля концептуально представляет собой функциональную суперпозицию конфигураций поля.

Пример: Скалярное поле

в квантовая теория поля (как пример) кванта скалярное поле ${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}$, в полной аналогии с одночастичным квантовый гармонический осциллятор, собственное состояние этого квантового поля с "классическим полем" ${\displaystyle \phi (x)}$ (c-число ) как собственное значение,

${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)\left|\phi \right\rangle =\phi \left(x\right)\left|\phi \right\rangle }$

есть (Шварц, 2013)

${\displaystyle \left|\phi \right\rangle \propto e^{-\int dx{\frac {1}{2}}~(\phi (x)-{\hat {\Phi }}_{+}(x))^{2}}\left|0\right\rangle }$

куда ${\displaystyle {\hat {\Phi }}_{+}\left(x\right)}$ является частью ${\displaystyle {\hat {\phi }}\left(x\right)}$который включает только операторы создания ${\displaystyle a_{k}^{\dagger }}$. Для осциллятора это соответствует изменению представления / отображению на | х⟩ Состояние из состояний Фока.

Для независимого от времени гамильтониана ЧАС, функционал Шредингера определяется как

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\phi _{2},t_{2};\phi _{1},t_{1}]=\langle \,\phi _{2}\,|e^{-iH(t_{2}-t_{1})/\hbar }|\,\phi _{1}\,\rangle .}$

в Представление Шредингера, этот функционал порождает переводы времени волновых функционалов состояния, через

${\displaystyle \Psi [\phi _{2},t_{2}]=\int \!{\mathcal {D}}\phi _{1}\,\,{\mathcal {S}}[\phi _{2},t_{2};\phi _{1},t_{1}]\Psi [\phi _{1},t_{1}]}$.

состояния

Нормированный волновой функционал свободного поля в вакуумном состоянии - это гауссов

${\displaystyle \Psi _{0}[\phi ]=\operatorname {det} ^{\frac {1}{4}}\left({\frac {K}{\pi }}\right)\;e^{-{\frac {1}{2}}\int d{\vec {x}}\int d{\vec {y}}\,\phi ({\vec {x}})K({\vec {x}},{\vec {y}})\phi ({\vec {y}})}=\operatorname {det} ^{\frac {1}{4}}\left({\frac {K}{\pi }}\right)\;e^{-{\frac {1}{2}}\phi \cdot K\cdot \phi }}$,

где ковариация K является

${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {y}})=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\omega _{\vec {k}}\,e^{i{\vec {k}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}}$.

Это аналогично (преобразованию Фурье) произведения основного состояния каждой k-моды в континуальном пределе, примерно (Hatfield 1992)

${\displaystyle \Psi _{0}[{\tilde {\phi }}]=\lim _{\Delta k\to 0}\;\prod _{\vec {k}}\left({\frac {\omega _{\vec {k}}}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}\omega _{\vec {k}}{\tilde {\phi }}({\vec {k}})^{2}{\frac {\Delta k^{3}}{(2\pi )^{3}}}}\to \left(\prod _{\vec {k}}\left({\frac {\omega _{\vec {k}}}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}\right)e^{-{\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\omega _{\vec {k}}{\tilde {\phi }}(|{\vec {k}}|)^{2}}}$.

Каждая k-мода входит как независимая квантовый гармонический осциллятор. Одночастичные состояния получаются путем возбуждения одной моды и имеют вид

${\displaystyle \Psi [\phi ]\propto \int d{\vec {x}}\int d{\vec {y}}\,\phi ({\vec {x}})K({\vec {x}},{\vec {y}})f({\vec {y}})\Psi _{0}[\phi ]=\phi \cdot K\cdot f\,e^{-{\frac {1}{2}}\phi \cdot K\cdot \phi }}$.

Например, вставив возбуждение в ${\displaystyle {\vec {k}}_{1}}$ урожайность (Hatfield 1992)

${\displaystyle \Psi _{1}[{\tilde {\phi }}]=\left({\frac {2\omega _{k_{1}}}{(2\pi )^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}{\tilde {\phi }}({\vec {k}}_{1})\Psi _{0}[{\tilde {\phi }}]}$

${\displaystyle \Psi _{1}[\phi ]=\left({\frac {2\omega _{k_{1}}}{(2\pi )^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\int d^{3}y\,e^{-i{\vec {k}}_{1}\cdot {\vec {y}}}\phi ({\vec {y}})\Psi _{0}[\phi ]}$.

(Фактор ${\displaystyle (2\pi )^{-3/2}}$ происходит от установки Хэтфилда ${\displaystyle \Delta k=1}$.)

Пример: Фермионное поле

Для наглядности рассмотрим безмассовое поле Вейля - Майорана ${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)}$ в 2D пространстве в SO⁺(1, 1), но это решение обобщается на любой массивный Дирак биспинор в SO⁺(1, 3). Конфигурационное пространство состоит из функционалов ${\displaystyle \Psi [u]}$ анти-коммутирующих Грассмановозначный поля и (х). Эффект ${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)}$ является

${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)|\Psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(u(x)+{\frac {\delta }{\delta u(x)}}\right)|\Psi \rangle }$.

Рекомендации

• Брайан Хэтфилд, Квантовая теория поля точечных частиц и струн. Аддисон Уэсли Лонгман, 1992. См. Главу 10 «Свободные поля в представлении Шредингера».
• И.В. Канатчиков, "Доканоническое квантование и волновой функционал Шредингера". Phys. Lett. А 283 (2001) 25–36. Eprint arXiv: hep-th / 0012084, 16 стр.
• Р. Джекив, "Картина Шредингера для квантовых теорий поля бозонов и фермионов". В Математическая квантовая теория поля и смежные темы: Труды Монреальской конференции 1987 г., состоявшейся 1–5 сентября 1987 г. (ред. Дж. С. Фельдман и Л. М. Розен, Американское математическое общество, 1988 г.).
• Х. Райнхардт, К. Фейхтер, "О волновом функционале Янга-Миллса в кулоновской калибровке". Phys. Ред. D 71 (2005) 105002. Eprint arXiv: hep-th / 0408237, 9 стр.
• Д.В. Лонг, Г. Шор, "Функциональное состояние волны Шредингера и состояние вакуума в искривленном пространстве-времени". Nucl.Phys. B 530 (1998) 247–278. Eprint arXiv: hep-th / 9605004, 41 стр.
• Курт Симанзик, "Представление Шредингера и эффект Казимира в перенормируемой квантовой теории поля". Nucl. Phys.B 190 (1981) 1–44, DOI: 10.1016 / 0550-3213 (81) 90482-X.
• К. Симанзик, "Представление Шредингера в перенормируемой квантовой теории поля". Глава в Структурные элементы в физике элементарных частиц и статистической механике, Серия институтов перспективных исследований НАТО 82 (1983) стр. 287–299, DOI: 10.1007 / 978-1-4613-3509-2_20.
• Мартин Люшер, Раджамани Нараянан, Питер Вайс, Улли Вольф, «Функционал Шредингера - перенормируемый пробник для неабелевых калибровочных теорий». Nucl.Phys.B 384 (1992) 168-228, DOI: 10.1016 / 0550-3213 (92) 90466-O. Eprint arXiv: hep-lat / 9207009.
• Мэтью Шварц (2013). Квантовая теория поля и стандартная модель, Издательство Кембриджского университета, глава 14.