Березин интеграл - Berezin integral

В математическая физика, то Березин интеграл, названный в честь Феликс Березин, (также известный как Интеграл Грассмана, после Герман Грассманн ), это способ определения интегрирования функций Переменные Грассмана (элементы внешняя алгебра ). Это не интеграл в Лебег смысл; слово «интеграл» используется потому, что интеграл Березина обладает свойствами, аналогичными интегралу Лебега, и потому, что он расширяет интеграл по путям в физике, где он используется как сумма по историям для фермионы.

Определение

Позволять ${displaystyle Lambda ^{n}}$ - внешняя алгебра многочленов от антикоммутирующих элементов ${displaystyle heta _{1},dots , heta _{n}}$ над полем комплексных чисел. (Заказ генераторов ${displaystyle heta _{1},dots , heta _{n}}$ фиксирована и определяет ориентацию внешней алгебры.)

Одна переменная

В Березин интеграл по единственной переменной Грассмана ${displaystyle heta = heta _{1}}$ определяется как линейный функционал

${displaystyle int [af( heta )+bg( heta )],d heta =aint f( heta ),d heta +bint g( heta ),d heta ,quad a,bin mathbb {C} }$

где мы определяем

${displaystyle int heta ,d heta =1,qquad int ,d heta =0}$

так что :

${displaystyle int {frac {partial }{partial heta }}f( heta ),d heta =0.}$

Эти свойства однозначно определяют интеграл и подразумевают

${displaystyle int (a heta +b),d heta =a,quad a,bin mathbb {C} .}$

Обратите внимание, что ${displaystyle f( heta )=a heta +b}$ это самая общая функция ${displaystyle heta }$ поскольку переменные Грассмана равны нулю, поэтому ${displaystyle f( heta )}$ не может иметь ненулевых членов вне линейного порядка.

Несколько переменных

В Березин интеграл на ${displaystyle Lambda ^{n}}$ определяется как единственный линейный функционал ${displaystyle int _{Lambda ^{n}}cdot { extrm {d}} heta }$ со следующими свойствами:

${displaystyle int _{Lambda ^{n}} heta _{n}cdots heta _{1},mathrm {d} heta =1,}$

${displaystyle int _{Lambda ^{n}}{frac {partial f}{partial heta _{i}}},mathrm {d} heta =0, i=1,dots ,n}$

для любого ${displaystyle fin Lambda ^{n},}$ куда ${displaystyle partial /partial heta _{i}}$ означает левую или правую частную производную. Эти свойства однозначно определяют интеграл.

Обратите внимание, что в литературе существуют разные соглашения: некоторые авторы вместо этого определяют^[1]

${displaystyle int _{Lambda ^{n}} heta _{1}cdots heta _{n},mathrm {d} heta :=1.}$

Формула

${displaystyle int _{Lambda ^{n}}f( heta )mathrm {d} heta =int _{Lambda ^{1}}left(cdots int _{Lambda ^{1}}left(int _{Lambda ^{1}}f( heta ),mathrm {d} heta _{1}ight),mathrm {d} heta _{2}cdots ight)mathrm {d} heta _{n}}$

выражает закон Фубини. В правой части внутренний интеграл монома ${displaystyle f=g( heta ') heta _{1}}$ должен быть ${displaystyle g( heta '),}$ куда ${displaystyle heta '=left( heta _{2},ldots , heta _{n}ight)}$; интеграл ${displaystyle f=g( heta ')}$ исчезает. Интеграл по ${displaystyle heta _{2}}$ рассчитывается аналогично и так далее.

Замена грассмановых переменных

Позволять ${displaystyle heta _{i}= heta _{i}left(xi _{1},ldots ,xi _{n}ight), i=1,ldots ,n,}$ - нечетные многочлены от некоторых антисимметричных переменных ${displaystyle xi _{1},ldots ,xi _{n}}$. Якобиан - это матрица

${displaystyle D=left{{frac {partial heta _{i}}{partial xi _{j}}}, i,j=1,ldots ,night},}$

куда ${displaystyle partial /partial xi _{j}}$ относится к правая производная (${displaystyle partial ( heta _{1} heta _{2})/partial heta _{2}= heta _{1},;partial ( heta _{1} heta _{2})/partial heta _{1}=- heta _{2}}$). Формула изменения координат выглядит так:

${displaystyle int f( heta )mathrm {d} heta =int f( heta (xi ))(det D)^{-1}mathrm {d} xi .}$

Интегрирование четных и нечетных переменных

Определение

Рассмотрим теперь алгебру ${displaystyle Lambda ^{mmid n}}$ функций вещественных коммутирующих переменных ${displaystyle x=x_{1},ldots ,x_{m}}$ и антикоммутирующих переменных ${displaystyle heta _{1},ldots , heta _{n}}$ (которая называется свободной супералгеброй размерности ${displaystyle (m|n)}$). Интуитивно понятно, что функция ${displaystyle f=f(x, heta )in Lambda ^{mmid n}}$ является функцией m четных (бозонных, коммутирующих) переменных и n нечетных (фермионных, антикоммутирующих) переменных. Более формально элемент ${displaystyle f=f(x, heta )in Lambda ^{mmid n}}$ является функцией аргумента ${displaystyle x}$ что меняется в открытом наборе ${displaystyle Xsubset mathbb {R} ^{m}}$ со значениями в алгебре ${displaystyle Lambda ^{n}.}$ Предположим, что эта функция непрерывна и обращается в нуль в дополнении к компакту ${displaystyle Ksubset mathbb {R} ^{m}.}$ Интеграл Березина - это число

${displaystyle int _{Lambda ^{mmid n}}f(x, heta )mathrm {d} heta mathrm {d} x=int _{mathbb {R} ^{m}}mathrm {d} xint _{Lambda ^{n}}f(x, heta )mathrm {d} heta .}$

Замена четных и нечетных переменных

Пусть преобразование координат задается формулой ${displaystyle x_{i}=x_{i}(y,xi ), i=1,ldots ,m; heta _{j}= heta _{j}(y,xi ),j=1,ldots ,n,}$ куда ${displaystyle x_{i}}$ четные и ${displaystyle heta _{j}}$ являются нечетными многочленами от ${displaystyle xi }$ в зависимости от четных переменных ${displaystyle y.}$ Матрица Якоби этого преобразования имеет блочный вид:

${displaystyle mathrm {J} ={frac {partial (x, heta )}{partial (y,xi )}}={egin{pmatrix}A&BC&Dend{pmatrix}},}$

где каждая четная производная ${displaystyle partial /partial y_{j}}$ коммутирует со всеми элементами алгебры ${displaystyle Lambda ^{mmid n}}$; нечетные производные коммутируют с четными элементами и антикоммутируют с нечетными элементами. Записи диагональных блоков ${displaystyle A=partial x/partial y}$ и ${displaystyle D=partial heta /partial xi }$ четные, а записи недиагональных блоков ${displaystyle B=partial x/partial xi , C=partial heta /partial y}$ - нечетные функции, где ${displaystyle partial /partial xi _{j}}$ снова означает правые производные.

Теперь нам нужен Березинский (или же супердетерминант) матрицы ${displaystyle mathrm {J} }$, которая является четной функцией

${displaystyle mathrm {Ber~J} =det left(A-BD^{-1}Cight)det D^{-1}}$

определяется, когда функция ${displaystyle det D}$ обратима в ${displaystyle Lambda ^{mmid n}.}$ Предположим, что действительные функции ${displaystyle x_{i}=x_{i}(y,0)}$ определить гладкое обратимое отображение ${displaystyle F:Y o X}$ открытых наборов ${displaystyle X,Y}$ в ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ и линейная часть карты ${displaystyle xi mapsto heta = heta (y,xi )}$ обратим для каждого ${displaystyle yin Y.}$ Общий закон преобразования интеграла Березина имеет вид

${displaystyle int _{Lambda ^{mmid n}}f(x, heta )mathrm {d} heta mathrm {d} x=int _{Lambda ^{mmid n}}f(x(y,xi ), heta (y,xi ))varepsilon mathrm {Ber~J~d} xi mathrm {d} y=int _{Lambda ^{mmid n}}f(x(y,xi ), heta (y,xi ))varepsilon {frac {det left(A-BD^{-1}Cight)}{det D}}mathrm {d} xi mathrm {d} y,}$

куда ${displaystyle varepsilon =mathrm {sgn} (det partial x(y,0)/partial y}$) - знак ориентации карты ${displaystyle F.}$ Суперпозиция ${displaystyle f(x(y,xi ), heta (y,xi ))}$ определяется очевидным образом, если функции ${displaystyle x_{i}(y,xi )}$ не зависеть от ${displaystyle xi .}$ В общем случае пишем ${displaystyle x_{i}(y,xi )=x_{i}(y,0)+delta _{i},}$ куда ${displaystyle delta _{i},i=1,ldots ,m}$ являются даже нильпотентными элементами ${displaystyle Lambda ^{mmid n}}$ и установить

${displaystyle f(x(y,xi ), heta )=f(x(y,0), heta )+sum _{i}{frac {partial f}{partial x_{i}}}(x(y,0), heta )delta _{i}+{frac {1}{2}}sum _{i,j}{frac {partial ^{2}f}{partial x_{i}partial x_{j}}}(x(y,0), heta )delta _{i}delta _{j}+cdots ,}$

где ряд Тейлора конечен.

Полезные формулы

Следующие формулы для гауссовских интегралов часто используются в формулировка интеграла по путям из квантовая теория поля:

• ${displaystyle int exp left[- heta ^{T}Aeta ight],d heta ,deta =det A}$

с ${displaystyle A}$ быть сложным ${displaystyle n imes n}$ матрица.

• ${displaystyle int exp left[-{ frac {1}{2}} heta ^{T}M heta ight],d heta ={egin{cases}mathrm {Pf} ,M&n{mbox{ even}}�&n{mbox{ odd}}end{cases}}}$

с ${displaystyle M}$ являясь сложной кососимметричной ${displaystyle n imes n}$ матрица и ${displaystyle mathrm {Pf} ,M}$ будучи Пфаффиан из ${displaystyle M}$, который выполняет ${displaystyle (mathrm {Pf} ,M)^{2}=det M}$.

В приведенных выше формулах обозначения ${displaystyle d heta =d heta _{1}cdots ,d heta _{n}}$ используется. Из этих формул следуют другие полезные формулы (см. Приложение A в^[2]) :

• ${displaystyle int exp left[ heta ^{T}Aeta + heta ^{T}J+K^{T}eta ight],deta _{1},d heta _{1}dots deta _{n}d heta _{n}=det A,,exp[-K^{T}A^{-1}J]}$

с ${displaystyle A}$ быть обратимым ${displaystyle n imes n}$ матрица. Обратите внимание, что все эти интегралы имеют вид функция распределения.

История

Математическая теория интеграла с коммутирующими и антикоммутирующими переменными была изобретена и развита Феликс Березин.^[3] Некоторые важные выводы были сделаны ранее Дэвид Джон Кэндлин^[4] в 1956 году. В разработке участвовали и другие авторы, в том числе физики Халатников.^[5] (хотя в его статье есть ошибки), Мэтьюз и Салам,^[6] и Мартин.^[7]

Литература

• Теодор Воронов: Геометрическая теория интегрирования на супермногообразиях, Harwood Academic Publisher, ISBN  3-7186-5199-8
• Березин Феликс Александрович: Введение в суперанализ, Springer Нидерланды, ISBN  978-90-277-1668-2

Смотрите также

• Супермногообразие
• Березинский

Рекомендации

1. Зеркальная симметрия. Хори, Кентаро. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. 2003. с. 155. ISBN  0-8218-2955-6. OCLC  52374327.
2. С. Караччиоло, А. Д. Сокал и А. Спортиелло, Алгебраические / комбинаторные доказательства тождеств типа Кэли для производных детерминантов и пфаффианов, Достижения в прикладной математике, том 50, выпуск 4,2013,https://doi.org/10.1016/j.aam.2012.12.001; https://arxiv.org/abs/1105.6270
3. А. Березин, Метод вторичного квантования, Academic Press, (1966).
4. Д.Дж. Кэндлин (1956). «О суммах по траекториям для систем со статистикой Ферми». Nuovo Cimento. 4 (2): 231–239. Bibcode:1956NCim .... 4..231C. Дои:10.1007 / BF02745446.
5. Халатников И.М. (1955). "Представление функций Грина в квантовой электродинамике в форме континуальных интегралов" [Представление функции Грина в квантовой электродинамике в виде континуальных интегралов] (PDF). Журнал экспериментальной и теоретической физики (на русском). 28 (3): 633.
6. Matthews, P.T .; Салам, А. (1955). «Пропагаторы квантованного поля». Il Nuovo Cimento. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 2 (1): 120–134. Дои:10.1007 / bf02856011. ISSN  0029-6341.
7. Мартин, Дж. Л. (23 июня 1959 г.). «Принцип Фейнмана для ферми-системы». Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки.. Королевское общество. 251 (1267): 543–549. Дои:10.1098 / rspa.1959.0127. ISSN  2053-9169.