Обозначение цитаты - Quote notation - Wikipedia

Обозначение цитаты представляет собой представление рациональное число на основе Курт Хенсель с p-адические числа. В кавычках арифметические операции принимают особенно простые и последовательные формы, давая точные ответы без каких-либо ограничений. ошибка округления. Арифметические алгоритмы записи кавычек работают с направлением справа налево; Алгоритмы сложения, вычитания и умножения такие же, как для натуральные числа, и деление проще, чем обычный алгоритм деления. Обозначения были изобретены Эрик Хенер из Университет Торонто и Найджел Хорспул, затем на Университет Макгилла, и опубликовано в СИАМ Журнал по вычислительной технике, v.8, n.2, May 1979, pp. 124–134.

Представление

Вступление

Стандартное представление рациональных чисел начинается со знака (+ или -; если знак не записан, подразумевается +) и продолжается (конечной или бесконечной) последовательностью цифр с точкой счисления (называемой десятичной точкой в ​​десятичной системе счисления). ) где-то в последовательности. Например,

–12.345

0.33333...

Чтобы сделать представление конечным, над повторяющимися цифрами можно использовать подчеркивание. Вот несколько примеров:

${\displaystyle -0.02{\overline {34}}}$

Также стандартной практикой является оставлять операторы отрицания и деления в числовом представлении без выполнения отрицания или деления. Например, –1/3 (минус одна треть).

В кавычках каждое рациональное число имеет уникальное (с точностью до нормализации) конечное представление в виде последовательности цифр с точкой счисления и кавычкой где-то в последовательности. Цитата означает, что цифры слева от нее бесконечно повторяются слева. Например,

12'34.56 = ...12121234.56

12.34'56 = ...1234123412.3456

123!45 = ...123123123.45

Восклицательный знак используется, когда цитата и точка находятся в одном месте. Если в повторяющейся последовательности все нули, как нули, так и кавычки можно опустить. Точка счисления выполняет обычную функцию; перемещение влево делит на основание, а при перемещении вправо умножается на базу. Когда точка счисления находится на правом конце, мультипликативный коэффициент равен 1, и точку можно не указывать. Это придает натуральным числам привычный вид. Научная нотация может использоваться как альтернатива системе счисления.

Интерпретация ведущей повторяющейся последовательности - это расширение суммы геометрическая серия:

${\displaystyle 1+10^{k}+10^{2k}+10^{3k}+...={\tfrac {1}{1-10^{k}}}}$.

Например:

${\displaystyle 1+10+100+1000+...={\tfrac {1}{1-10}}=-{\tfrac {1}{9}}}$

и

${\displaystyle 1+1000+1000^{2}+1000^{3}+...={\tfrac {1}{1-1000}}=-{\tfrac {1}{999}}}$.

Согласно этому соглашению числа в кавычках интерпретируются как:

3' = ...333 = 3(... + 100 + 10 + 1) = –3/9 = –1/3

123' =...123123123 = 123(...1000000 + 1000 + 1) = –123/999

123'45.6 = 45.6 + 123'00 = 45.6 + 100 × 123' = 45.6 – 12300/999

Это приводит к правилу:

abc ... z '= - abc ... z / 999 ... 9,

с таким же числом девяток в знаменателе, как и цифры в повторяющейся части последовательности. Общая форма в математических обозначениях: строка

${\displaystyle d_{n+m}d_{n+m-1}\dotsb d_{n+1}^{\;\;\;\;\,\shortmid }d_{n}d_{n-1}\dotsb d_{2}d_{1}d_{0}}$

представляет собой число

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}d_{i}b^{i}-\sum _{i=n+1}^{n+m}d_{i}b^{i}/(b^{m}-1)}$

куда ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} \setminus \{\pm 1,0\}}$ это база представления. В ${\displaystyle d_{i}\in \{0,1,\dotsc ,b-1\}}$ это цифры.

Натуральные числа

В натуральные числа обычно пишутся так, как их обычно ожидают увидеть, но они также могут быть записаны с использованием явной кавычки, явной точки счисления или избыточных нулей на обоих концах. Например, целое число два можно записать как 2 или же 2. или же 0'2 или же 0'2. или даже 000'02.000, а целое число ноль можно записать как 0 или же 0' или же 0. или же 0!.

Отрицательные целые числа

Отрицательный целые числа начинаются с цифры, которая на единицу меньше основания. Например, в десятичном формате минус три записывается как 9'7.

9'7 = 7 – 90/9 = –3

В качестве

9' = – 9/9 = –1,

легко понять, например, что:

–189 = –1 × 189 = 9' × 189 = 1701 + 17010 + 170100 + ... = ...999811 = 9'811 = 811 – 1000

или, альтернативно, как:

9'000 = –1000,

–189 = 811 – 1000 = 811 + 9'000

Числа, начинающиеся с любой другой повторяющейся последовательности, не являются целыми. Например:

6'7 = 7 – 60/9 = 1/3

и

7'6 = 6 – 70/9 = – 16/9

Интерпретация обозначений цитат

Алгоритм преобразования

Чтобы преобразовать обозначение кавычек в стандартное обозначение, можно использовать следующий алгоритм.

Позволять Икс и у быть последовательностями цифр, как в ${\displaystyle x'y}$.

Позволять z - цифра 1, за которой следует последовательность нулей той же длины, что и у.

Позволять а - цифра с наибольшим значением (на единицу меньше основания). В десятичной системе имеем а = 9.

Позволять ш быть последовательностью аs такой же длины, как Икс.

Тогда число, представленное ${\displaystyle x'y}$ дан кем-то ${\displaystyle y-xz/w}$.

В качестве примера возьмем 12'345 и преобразовать его в стандартные обозначения.

Икс = 12

у = 345

z = 1000

а = 9

ш = 99

Далее следуют наши стандартные обозначения:

${\displaystyle 345-{\dfrac {12\times 1000}{99}}={\dfrac {7385}{33}}.}$

Определение знака

Если первая цифра меньше первой цифры после кавычки, число положительное. Например, 123'45 положительно, потому что 1 меньше 4. Если первая цифра больше, чем первая цифра после кавычки, число отрицательное. Например, 54'3 отрицательный, потому что 5 больше 3.

Если кавычка стоит в конце, просто добавьте ноль после точки счисления. Например, 592' = 592!0, что отрицательно, потому что 5 больше 0. И 59.2' = 59.2'0 что тоже отрицательно.

Если первая цифра равна первой цифре после кавычки, то либо число 0!0 = 0, или представление может быть сокращено путем поворота повторения вправо. Например, 23'25 = 32'5 что положительно, потому что 3 меньше 5.

В двоичный, если он начинается с 1, он отрицательный, а если он начинается с 0, он неотрицательный, предполагая, что повтор был повернут вправо, насколько это возможно.

Арифметика

Добавление

В наших обычных обозначениях знака и величины, чтобы сложить два целых числа 25 и -37, сначала сравниваются знаки и определяется, что сложение будет выполнено путем вычитания величин. Затем сравнивают величины, чтобы определить, какие из них будут вычтены, и определить знак результата. В нашем обычном представлении дробей для сложения 2/3 + 4/5 требуется найти общий знаменатель, умножить каждый числитель на новые множители в этом общем знаменателе, затем сложить числители, а затем разделить числитель и знаменатель на любые множители, которые они входят в общий.

В кавычках, чтобы добавить, просто добавьте. Здесь нет сравнения знаков или величин, а также общих знаменателей. Сложение такое же, как и для натуральных чисел. Вот несколько примеров.

  9'7 минус три 9'4 минус шесть + 0'6 прибавить плюс шесть + 9'2 прибавить минус восемь ————— ————— 0'3 составляет плюс три 9'8 6 дает минус четырнадцать

  6'7 одна треть + 7'6 добавить минус одна и семь девятых ————— 4'3 составляют минус одну и четыре девятых

Вычитание

В наших обычных обозначениях знака и величины вычитание включает сравнение знаков и сравнение величин и может потребовать добавления или вычитания величин, как и сложение. В нашем обычном представлении дробей вычитание требует нахождения общего знаменателя, умножения, вычитания и сокращения до наименьших членов, как и сложение.

В кавычках, чтобы вычесть, просто вычтите. Здесь нет сравнения знаков или величин, а также общих знаменателей. Когда уменьшаемое цифра меньше соответствующей вычитаемое цифра, не заимствовать из уменьшаемой цифры слева от нее; вместо этого перенесите (прибавьте единицу) к вычитаемой цифре слева от нее. Вот несколько примеров.

  9'7 минус три 9'4 минус шесть- 0'6 вычитание плюс шесть - 9'2 вычитание минус восемь —————————— 9'1 дает минус девять 0'2 делает плюс два

  6'7 одна треть- 7'6 вычесть минус один и семь девятых ————— 8'9 1 дает плюс два и одна девятая

Умножение

Умножение такое же, как и для натуральных чисел. Чтобы распознать повторение в ответе, полезно попарно сложить частичные результаты. Вот несколько примеров.

6'7 x 0'3 = 0'1, из одной трети умноженной на три получается один

6'7 x 7'6, умноженное на одну треть минус одна и семь девятых: умножить 6'7 на 6: 0'2 ответную цифру 2 умножить 6'7 на 7: 6'9 сложить: ———— 6'9 ответ цифра 9 умножить 6'7 на 7: 6'9 сложить: ———— 3'5 ответ цифра 5 умножить 6'7 на 7: 6'9 сложить: ———— 0'2 повторение оригинала дает 592 'минус шестнадцать двадцать. седьмые

Для тех, кто не знаком с обозначением кавычек, 592 'незнакомо, и перевод на -16/27 полезен. Для тех, кто обычно использует кавычки, −16/27 - это формула с операцией отрицания и деления; выполнение этих операций дает ответ 592 '.

Разделение

Обычно используемый алгоритм деления производит цифры слева направо, что противоположно сложению, вычитанию и умножению. Это затрудняет дальнейшую арифметику. Например, как сложить 1,234234234234 ... + 5,67676767 ...? Обычно мы используем конечное количество цифр и принимаем приблизительный ответ с помощью ошибка округления. Часто используемый алгоритм деления также производит повторяющиеся представления; например, 0,499999 ... и 0,5 представляют одно и то же число. В десятичном формате для каждой цифры существует своего рода предположение, которое будет считаться правильным или неправильным в процессе вычисления.

В кавычках деление дает цифры справа налево, как и все другие арифметические алгоритмы; поэтому дальнейшая арифметика проста. Ценовая арифметика точная, без ошибок. Каждое рациональное число имеет уникальное представление (если повторение выражено как можно проще и у нас нет бессмысленных нулей в правом конце после точки счисления). Каждая цифра определяется "таблицей деления", которая является обратной частью Таблица умножения; нет никаких «догадок». Вот пример.

9'84 / 0'27 минус шестнадцать, разделенные на двадцать семь, поскольку 0'27 заканчивается на 7 и 9'84 заканчивается на 4, спросите:

                          9'8 4 Какое умножение 7 заканчивается на 4? Это 2 умножить 0'27 на 2: 0'5 4 вычесть: ————— 9'3 Какое умножение на 7 заканчивается на 3? Это 9. умножить 0'27 на 9: 0'2 4 3 вычесть: ——————— 9'7 5 Какое умножение 7 заканчивается на 5? Это 5. умножить 0'27 на 5: 0'1 3 5 вычесть: ——————— 9'8 4 повторение оригинала дает 592 'минус шестнадцать двадцать седьмых

Подразделение работает, когда делитель и у основания нет общих факторов, кроме 1. В предыдущем примере у 27 есть факторы 1, 3 и 27. Основание - 10, у которого есть факторы 1, 2, 5 и 10. Итак, деление сработало. Когда есть общие факторы, их нужно удалить. Например, чтобы разделить 4 на 15, сначала умножьте 4 и 15 на 2:

4/15 = 8/30

Любые нули в конце делителя просто говорят о том, куда идет точка счисления в результате. Итак, теперь разделите 8 на 3.

                      0'8 Сколько раз 3 заканчивается на 8? Это 6. умножить 0'3 на 6: 0'1 8 вычесть: ———— 9 'Какое умножение 3 заканчивается на 9? Это 3. умножить 0'3 на 3: 0'9 вычесть: ———— 9 'повторение предыдущей разницы дает 3'6 два и две трети Теперь переместите десятичную запятую на одну позицию влево, чтобы получить 3! 6 четыре пятнадцатых.

Удаление общих факторов раздражает, и в этом нет необходимости, если в основе простое число. Компьютеры используют основание 2, которое является простым числом, поэтому деление всегда работает. А таблицы деления тривиальны. Единственный вопрос: сколько раз 1 заканчивается на 0? и: сколько раз 1 заканчивается на 1? Таким образом, крайний правый биты в различиях биты в ответе. Например, деление единицы на три, то есть 1/11, происходит следующим образом.

             0'1 крайний правый бит равен 1 вычитать 0'1 1 ————— 1 'крайний правый бит равен 1 вычитать 0'1 1 ————— 1'0 крайний правый бит равен 0 вычитать 0' ———— 1 повторение предыдущего разница составляет 01'1 одну треть

Отрицание

Чтобы отрицать, дополните каждую цифру, а затем добавьте 1. Например, в десятичной системе, чтобы отрицать 12'345, дополнить и получить 87'654, а затем добавьте 1, чтобы получить 87'655. В двоичном формате переверните биты, затем добавьте 1 (так же, как 2 дополнения ). Например, чтобы отрицать 01'1, что составляет одну треть, переверните биты, чтобы получить 10'0, затем добавьте 1, чтобы получить 10'1, и поверните вправо, чтобы сократить его до 01' что составляет минус одну треть.

Сравнение с другими представлениями

Есть два широко используемых представления рациональных чисел. Один использует знак (+ или -), за которым следует неотрицательное целое число (числитель), за которым следует символ деления, за которым следует положительное целое число (знаменатель). Например, –58/2975. (Если знак не записан, это знак +.) Другой - знак, за которым следует последовательность цифр, с точкой счисления (называемой десятичной точкой по основанию десять) где-то в последовательности и перескоком над одной или несколькими крайних правых цифр. Например, ${\displaystyle -0.02{\overline {34}}}$ . (Существуют альтернативные обозначения подчеркивания; см. Повторяющаяся десятичная дробь.) Превышение можно представить как указание на то, что цифры под ним всегда повторяются вправо. В примере это –0,023434343434 .... Обозначение кавычек не требует знака; у него есть последовательность цифр с точкой счисления где-то в последовательности и кавычкой где-то в последовательности. Например, 4,3'2. Цитату можно представить как указание на то, что цифры слева от нее повторяются навсегда слева. В этом примере это ... 43434343434.32. Все три примера в этом абзаце представляют одно и то же рациональное число.

${\displaystyle -58/2975=-0.02{\overline {34}}=4.3{\text{'}}2}$

Эти три представления можно сравнить двумя способами: пространство, необходимое для хранения, и время, необходимое для арифметических операций.

Космос

Обозначение кавычек и обозначение подчеркивания требуют по существу одного и того же места. Хенер и Хорспул признаются на стр. 12: «Но обозначение кавычек и обозначение числителя-знаменателя могут сильно отличаться».^{[Рем. 1]} Наихудший случай имеет место для некоторых простых знаменателей (см. Маленькая теорема Ферма ). Например, +1/7 = 285714'3 (в двоичном формате это 011'1). Для представления +1/947 в двоичном формате в виде знака, числителя и знаменателя требуется 12 бит, а в качестве кавычек - 947 бит. (Для разделения двух чисел переменной длины требуются дополнительные биты, но они одинаковы для всех трех представлений, поэтому их игнорирование не влияет на сравнение.) Количество мест, необходимых для представления числа. повторять рационального числа ${\displaystyle n/d}$ с ${\displaystyle \gcd(d,b)=1}$ в базе б кавычка ${\displaystyle \operatorname {ord} _{d}(b)=\min\{k\;\colon \,b^{k}\equiv 1{\text{ mod }}d\}}$ чей максимум по всем базам б это показатель степени из мультипликативная группа целых чисел по модулю d что дается Функция Кармайкла ${\displaystyle \lambda (d)}$.

Производительность компьютерных алгоритмов измеряется с точки зрения длина ввода.Длина рационального числа ${\displaystyle n/d}$ в обозначении числитель-знаменатель - это, по сути, сумма логарифмы двух чисел, поэтому он находится в ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\log(n)+\log(d)).}$Длина рационального числа ${\displaystyle n/d}$ в кавычках - это сумма логарифма числителя ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\log(n))}$ и длина ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$ повторения, так это в ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\log(n)+d)}$ и поэтому экспоненциальный по длине входа.

Хенер и Хорспул на стр. 8:

«Для 180 000 кратчайших представлений числитель-знаменатель в среднем требуется 15,65 бита, а для тех же чисел в обозначении кавычек в среднем требуется 39,48 бита. Если взять самые короткие числа числитель-знаменатель, а затем преобразовать эти числа в кавычки, то сравнение будет смещено в пользу числителя-знаменателя. Если мы возьмем все представления двоичных кавычек до 14 битов включительно (все позиции кавычек и все позиции точек счисления), а затем отбросим те, которые не нормализованы, у нас будет 1 551 567 чисел, требующих в среднем 13,26 бит. Если мы переведем их в нотацию числитель-знаменатель,^{[Рем. 2]} затем нормализовать результат, удалив общие множители, в среднем для них требуется 26,48 бит. Это сравнение смещено в пользу обозначения цитат. Беспристрастное сравнение сложно разработать ».

... и еще сложнее доказать. Действительно, экстраполяция конечной выборки на бесконечное множество имеет лишь ограниченное математическое значение.

С другой стороны, Хенер и Хорспул описывают нотацию кавычек как привлекательную для использования в компьютерном оборудовании (стр. 1). Аппаратные инструкции многих компьютеров работают с относительно небольшими фрагментами памяти фиксированной длины, такими как слово (32 бита), двойное слово (64 бита), 128 бит слово, 256 бит слово. Есть только несколько процессоров, которые работают на 512 бит данные.^{[Рем. 3]}

В следующей таблице показаны знаменатели, где кавычки соответствующей дроби ${\displaystyle 1/d}$ не подходит в двоичное целое число размером 32, 64, 128, 256 и 512 бит соответственно. Даны 20 наименьших знаменателей. d для каждого размера блока, их простые множители, длина ${\displaystyle \mathrm {ord} _{d}(2)}$ повторяющегося дроби ${\displaystyle 1/d}$, и значение Кармайкла ${\displaystyle \lambda (d).}$

${\displaystyle \mathrm {ord} _{d}(2)>32}$ d факторы ord λ 37 37 36 36 53 53 52 52 59 59 58 58 61 61 60 60 67 67 66 66 71 71 35 70 74 2·37 36 36 79 79 39 78 81 3^4 54 54 83 83 82 82 95 5·19 36 36 97 97 48 96 101 101 100 100 103 103 51 102 106 2·53 52 52 107 107 106 106 109 109 36 108 111 3·37 36 36 115 5·23 44 44 118 2·59 58 58

${\displaystyle \mathrm {ord} _{d}(2)>64}$ d факторы ord λ 67 67 66 66 83 83 82 82 101 101 100 100 107 107 106 106 121 11^2 110 110 125 5^3 100 100 131 131 130 130 134 2·67 66 66 137 137 68 136 139 139 138 138 149 149 148 148 163 163 162 162 166 2·83 82 82 167 167 83 166 169 13^2 156 156 173 173 172 172 179 179 178 178 181 181 180 180 191 191 95 190 193 193 96 192

${\displaystyle \mathrm {ord} _{d}(2)>128}$ d факторы ord λ 131 131 130 130 139 139 138 138 149 149 148 148 163 163 162 162 169 13^2 156 156 173 173 172 172 179 179 178 178 181 181 180 180 197 197 196 196 211 211 210 210 227 227 226 226 243 3^5 162 162 262 2·131 130 130 263 263 131 262 269 269 268 268 271 271 135 270 278 2·139 138 138 289 17^2 136 272 293 293 292 292 298 2·149 148 148

${\displaystyle \mathrm {ord} _{d}(2)>256}$ d факторы ord λ 269 269 268 268 293 293 292 292 317 317 316 316 347 347 346 346 349 349 348 348 361 19^2 342 342 373 373 372 372 379 379 378 378 389 389 388 388 419 419 418 418 421 421 420 420 443 443 442 442 461 461 460 460 467 467 466 466 491 491 490 490 509 509 508 508 521 521 260 520 523 523 522 522 538 2·269 268 268 541 541 540 540

${\displaystyle \mathrm {ord} _{d}(2)>512}$ d факторы ord λ 523 523 522 522 541 541 540 540 547 547 546 546 557 557 556 556 563 563 562 562 587 587 586 586 613 613 612 612 619 619 618 618 653 653 652 652 659 659 658 658 661 661 660 660 677 677 676 676 701 701 700 700 709 709 708 708 757 757 756 756 773 773 772 772 787 787 786 786 797 797 796 796 821 821 820 820 827 827 826 826

Таблица показывает, что кавычки способны обрабатывать только довольно маленькие знаменатели, даже с самыми большими размерами блоков, доступными на данный момент.

Кроме того, Хенер и Хорспул пытаются преуменьшить значение анализа наихудшего случая, но уже эти небольшие таблицы выше показывают, что случаи, неблагоприятные для их тезиса, довольно часты: 20 наименьших чисел, взрывающих куски, составляют около 10% в диапазоне от около 200.

Эта частота хорошо коррелирует с теоремами Пол Эрдёш и другие, которые показывают асимптотически экспоненциальный поведение λ (см. разделы Функция Кармайкла # Среднее значение, Функция Кармайкла # Преобладающий интервал, Функция Кармайкла # Нижние границы, и Функция Кармайкла # Минимальный порядок ).

Время

Чтобы сложить два числа в нотации числитель-знаменатель, например (+а/б) + (–c/d), требует выполнения следующих шагов:

• сравнение знаков, чтобы определить, будем ли мы складывать или вычитать; в нашем примере знаки различаются, поэтому мы будем вычитать

• затем 3 умножения; в нашем примере а×d, б×c, б×d

• тогда, если мы вычитаем, сравнение а×d к б×c чтобы определить, что является вычитаемым, а какое - уменьшенным, и каков знак результата; скажем а×d < б×c так знак будет -

• затем сложение или вычитание; б×c – а×d и у нас есть -(б×c – а×d)/(б×d)

• поиск наибольший общий делитель нового числителя и знаменателя

• деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель для получения нормализованного результата

Нормализация результата не является обязательной для корректности, но без нее требования к пространству быстро растут во время последовательности операций. Вычитание почти идентично сложению.

Сложить два числа в обозначении с перевесом проблематично, потому что нет правильного конца, с которого можно было бы начать. Самый простой способ выполнить сложение - это перевести числа в кавычки, затем сложить, а затем перевести обратно. То же самое и с вычитанием.

Чтобы добавить два числа в кавычках, просто сложите их так же, как и два положительных целых числа. Повторение распознается, когда повторяющиеся части двух операндов возвращаются к своим начальным цифрам. Затем результат может быть нормализован путем проверки, совпадает ли первая цифра с первой цифрой после цитаты. То же самое и с вычитанием. Как для сложения, так и для вычитания запись в кавычки превосходит две другие записи.

Умножение в нотации числитель-знаменатель - это два целочисленных умножения, нахождение наибольшего общего делителя и затем два деления. Умножение в обозначении с перевесом проблематично по той же причине, что и сложение. Умножение в кавычках происходит точно так же, как умножение положительных целых чисел, при этом каждая новая сумма сравнивается с предыдущими суммами, чтобы обнаружить повторение. Для умножения запись в кавычки лучше, чем запись с подчеркиванием, и может быть немного лучше, чем запись числитель-знаменатель.

Деление в нотации числитель-знаменатель имеет ту же сложность, что и умножение в нотации числитель-знаменатель. Деление в обозначении с дополнительным подчеркиванием проблематично, потому что оно требует последовательности вычитаний, что проблематично в нотации с дополнительным подчеркиванием. Деление в кавычках происходит так же, как умножение в кавычках, производя цифры ответа справа налево, каждая из которых определяется самой правой цифрой текущей разности и делителя (тривиально в двоичной системе). Для деления кавычки лучше, чем обозначения с подчеркиванием и числитель-знаменатель.

Недостатки

Расходы

Однако не следует скрывать, что в наихудшем случае стоимость пространства (а для некоторых операций также стоимость времени) описанной записи цитаты составляет ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$^{[Рем. 4]} для рационального числа со знаминателем ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ - в сравнении с ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\log d)}$ представления числитель-знаменатель, что делает кавычки непригодными в качестве средства для точный обработка рациональных чисел произвольного размера, например в пакет компьютерной алгебры.

Примеры

${\displaystyle d=19:}$
	−1/19	=  052631578947368421!
	−2/19	=  105263157894736842!
	[−1/10011]2	= [000011010111100101!]2
	[−10/10011]2	= [000110101111001010!]2
	Это означает: ${\displaystyle d-1=18}$ десятичные / двойственные числа в кавычках соответствуют 3 соотв. 7 десятичных / двойных знаков в нотации числитель-знаменатель.
${\displaystyle d=59:}$
	−1/59	=  0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661!
	−2/59	=  0338983050847457627118644067796610169491525423728813559322!
	[−1/111011]2	= [0000010001010110110001111001011111011101010010011100001101!]2
	[−10/111011]2	= [0000100010101101100011110010111110111010100100111000011010!]2
	Это означает: ${\displaystyle d-1=58}$ десятичные / двойственные числа в кавычках соответствуют 3 соотв. 8 десятичных знаков / двойных знаков в нотации числитель-знаменатель.

Замечание: последовательность десятичных знаков / двойников представления числителя 2 является сдвиг с вращением представления числителя 1.

Округление усечением

Усечение слева не может использоваться для округления в системе обозначений кавычек. Авторы не предоставляют приблизительных версий операторов сложения, вычитания, умножения и деления, вместо этого они предлагают преобразование в нотацию с дополнительным подчеркиванием, а затем усечение справа.

Это означает, что операции должны быть расширены до полной повторяющейся группы, а затем преобразованы, что в свете раздела #Расходы не представляется практически осуществимым предложением.

Делители нуля

Если база ${\displaystyle d=e\cdot f}$ является составной, то звенеть ${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}}$ содержит делители нуля. Предположим ${\displaystyle d=10=2\cdot 5}$. Потому что ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}\cap \mathbb {Q} _{5}=\mathbb {Q} }$, нет рационального в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{10}}$ является делителем нуля. Но существуют (нерациональные) числа ${\displaystyle 1_{2},1_{5}\in \mathbb {Z} _{10}}$ которые ${\displaystyle 1_{2}\equiv _{\mathbb {Z} _{2}}1}$ и ${\displaystyle 1_{5}\equiv _{\mathbb {Z} _{5}}1}$, но продукт ${\displaystyle 1_{2}\cdot 1_{5}=_{\mathbb {Z} _{10}}0}$.

Замечания

1. То же самое верно для всех обозначений числовых значений, независимо от выбранной основы.
2. Таким образом, переводя туда и обратно, они пытаются произвести впечатление объективной оценки.
3. До сих пор всякая поддержка объектов переменной длины осуществляется программно, а не аппаратно. Скорее всего, потому что
   1. вовлеченная степень осложнения еще не устранена,
   2. хотя бы для предлагаемых объектов,
   3. выигрыш у аппаратного решения слишком мал по сравнению с программным,
   4. или цена продажи слишком низкая.
4. Источник на самом деле не касается ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$-проблема: «Но обозначения в кавычках и числитель-знаменатель могут сильно отличаться». и упомянуть ${\displaystyle d=947}$ что требует 946 бит в повторяющейся группе. Но таких знаменателей бесконечно много, все они имеют относительно большой общая функция, е. грамм. ${\displaystyle d=802787}$ с ${\displaystyle \varphi (d)=802786}$.
   В своем третьем «Приложении, добавленном позже» они добавляют некоторые соображения к ${\displaystyle d=59}$.

Рекомендации

• Hehner, E.C.R .; Хорспул, Р. (Май 1979 г.), Новое представление рациональных чисел для быстрой легкой арифметики (PDF), SIAM J. Comput. 8 № 2 с.124-134