Мультипликативная группа целых чисел по модулю n - Multiplicative group of integers modulo n

В модульная арифметика, то целые числа совмещать (относительно простые) к п из набора ${\displaystyle \{0,1,\dots ,n-1\}}$ из п неотрицательные целые числа образуют группа при умножении по модулю п, называется мультипликативная группа целых чисел по модулю п. Эквивалентно элементы этой группы можно рассматривать как классы конгруэнтности, также известный как остатки по модулю п, взаимно просты с п.Поэтому другое название - группа классы примитивных вычетов по модулю п.В теория колец, филиал абстрактная алгебра, он описывается как группа единиц кольца целых чисел по модулю п. Здесь единицы относится к элементам с мультипликативный обратный, которые в этом кольце в точности взаимно просты с п.

Эта группа, обычно обозначаемая ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$, является фундаментальным в теория чисел. Он нашел применение в криптография, целочисленная факторизация, и проверка на простоту. Это абелевский, конечный группа, порядок которой задается Функция Эйлера: ${\displaystyle |(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).}$ Для премьер п группа циклический и в целом структуру легко описать, хотя даже для простых п нет общей формулы для поиска генераторы известен.

Групповые аксиомы

Это простое упражнение, чтобы показать, что при умножении набор классы конгруэнтности по модулю п которые взаимно просты с п удовлетворяют аксиомам для абелева группа.

В самом деле, а взаимно прост с п если и только если gcd (а, п) = 1. Целые числа в одном классе конгруэнтности а ≡ б (мод п) удовлетворить gcd (а, п) = gcd (б, п), следовательно, взаимно проста с п тогда и только тогда, когда есть другой. Таким образом, понятие классов конгруэнтности по модулю п которые взаимно просты с п четко определено.

С gcd (а, п) = 1 и gcd (б, п) = 1 подразумевает gcd (ab, п) = 1, множество классов, взаимно простых с п замкнуто относительно умножения.

Целочисленное умножение учитывает классы конгруэнтности, то есть а ≡ а ' и б ≡ б ' (мод п) подразумевает ab ≡ a'b ' (мод п)Это означает, что умножение ассоциативно, коммутативно и что класс единицы является единственной мультипликативной единицей.

Наконец, учитывая а, то мультипликативный обратный из а по модулю п это целое число Икс удовлетворение топор ≡ 1 (мод п)Он существует именно тогда, когда а взаимно прост с п, потому что в этом случае gcd (а, п) = 1 и по Лемма Безу есть целые числа Икс и у удовлетворение топор + нью-йорк = 1. Обратите внимание, что уравнение топор + нью-йорк = 1 подразумевает, что Икс взаимно прост с п, поэтому мультипликативный обратный принадлежит группе.

Обозначение

Множество (классов сравнения) целых чисел по модулю п с операциями сложения и умножения является звенеть Обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ или же ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$ (обозначение относится к частное целых чисел по модулю идеальный ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ или же ${\displaystyle (n)}$ состоящий из кратных пВне теории чисел более простые обозначения ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ часто используется, хотя его можно спутать с п-адические целые числа когда п - простое число.

Мультипликативная группа целых чисел по модулю п, какой группа единиц в этом кольце может быть написано как (в зависимости от автора) ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },}$   ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},}$   ${\displaystyle \mathrm {U} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),}$   ${\displaystyle \mathrm {E} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ (для немецкого Einheit, что переводится как единица измерения), ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}$, или аналогичные обозначения. В этой статье используется ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Обозначение ${\displaystyle \mathrm {C} _{n}}$ относится к циклическая группа порядка п.Это изоморфный в группу целых чисел по модулю п под дополнением. Обратите внимание, что ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ или же ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ также может относиться к группе при сложении. Например, мультипликативная группа ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$ для прайма п циклична и, следовательно, изоморфна аддитивной группе ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$, но изоморфизм не очевиден.

Структура

Порядок мультипликативной группы целых чисел по модулю п это количество целых чисел в ${\displaystyle \{0,1,\dots ,n-1\}}$ совпадает с п.Это дается Функция Эйлера: ${\displaystyle |(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n)}$ (последовательность A000010 в OEIS ) .Для простых п, ${\displaystyle \varphi (p)=p-1}$.

Циклический случай

Основная статья: примитивный корень по модулю n

Группа ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ является циклический если и только если п это 1, 2, 4, п^k или 2п^k, куда п нечетное простое число и k > 0. Для всех остальных значений п группа не циклическая.^[1][2][3]Впервые это было доказано Гаусс.^[4]

Это означает, что для этих п:

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{\varphi (n)},}$ куда ${\displaystyle \varphi (p^{k})=\varphi (2p^{k})=p^{k}-p^{k-1}.}$

По определению группа является циклической тогда и только тогда, когда она имеет генератор грамм (а генераторная установка {грамм} первого размера), то есть степени ${\displaystyle g^{0},g^{1},g^{2},\dots ,}$ дать все возможные остатки по модулю п взаимно простой с п (первый ${\displaystyle \varphi (n)}$ полномочия ${\displaystyle g^{0},\dots ,g^{\varphi (n)-1}}$ дать каждому ровно один раз). ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ называется примитивный корень по модулю п.^[5]Если есть генератор, то есть ${\displaystyle \varphi (\varphi (n))}$ их.

Степень 2

По модулю 1 любые два целых числа конгруэнтны, т.е. существует только один класс конгруэнции [0], взаимно простой с 1. Следовательно, ${\displaystyle (\mathbb {Z} /1\,\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}}$ это тривиальная группа с φ (1) = 1 элемент. Из-за его тривиальной природы случай сравнений по модулю 1 обычно игнорируется, и некоторые авторы предпочитают не включать случай п = 1 в формулировках теорем.

По модулю 2 существует только один взаимно простой класс конгруэнции [1], поэтому ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}}$ это тривиальная группа.

По модулю 4 существует два взаимно простых класса конгруэнции, [1] и [3], поэтому ${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2},}$ циклическая группа с двумя элементами.

По модулю 8 существует четыре взаимно простых класса сравнения: [1], [3], [5] и [7]. Квадрат каждого из них равен 1, поэтому ${\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},}$ в Кляйн четыре группы.

По модулю 16 существует восемь взаимно простых классов конгруэнции [1], [3], [5], [7], [9], [11], [13] и [15]. ${\displaystyle \{\pm 1,\pm 7\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},}$ это 2-торсионная подгруппа (т.е. квадрат каждого элемента равен 1), поэтому ${\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }}$ не циклический. Степень 3, ${\displaystyle \{1,3,9,11\}}$ являются подгруппой порядка 4, как и степени 5, ${\displaystyle \{1,5,9,13\}.}$ Таким образом ${\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{4}.}$

Схема, показанная цифрами 8 и 16,^[6] для высших сил 2^k, k > 2: ${\displaystyle \{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},}$ подгруппа 2-кручения (так что ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}$ не является циклической), а степени 3 являются циклической подгруппой порядка 2^{k − 2}, так ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2^{k-2}}.}$

Общие составные числа

Посредством основная теорема конечных абелевых групп, группа ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ изоморфен прямой продукт циклических групп простых степенных порядков.

В частности, Китайская теорема об остатках^[7] говорит, что если ${\displaystyle \;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;}$ тогда кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ это прямой продукт колец, соответствующих каждому из его простых факторов мощности:

${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;}$

Аналогично группа юнитов ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ является прямым произведением групп, соответствующих каждому из основных факторов мощности:

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.}$

Для каждой нечетной простой степени ${\displaystyle p^{k}}$ соответствующий фактор ${\displaystyle (\mathbb {Z} /{p^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }}$ циклическая группа порядка ${\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}}$, который может далее разлагаться на циклические группы порядков простых степеней. Для степеней двойки множитель ${\displaystyle (\mathbb {Z} /{2^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }}$ не является циклическим, если k = 0, 1, 2, но делится на циклические группы, как описано выше.

Порядок группы ${\displaystyle \varphi (n)}$ является произведением порядков циклических групп в прямом произведении. показатель степени группы, то есть наименьший общий множитель порядков в циклических группах, задается Функция Кармайкла ${\displaystyle \lambda (n)}$ (последовательность A002322 в OEIS ).Другими словами, ${\displaystyle \lambda (n)}$ наименьшее число такое, что для каждого а взаимно простой с п, ${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$ Он разделяет ${\displaystyle \varphi (n)}$ и равен ему тогда и только тогда, когда группа циклическая.

Подгруппа лжесвидетелей

Если п составная, существует подгруппа мультипликативной группы, называемая «группой лжесвидетелей», в которой элементы, возведенные в степень п − 1, сравнимы с 1 по модулю п (поскольку остаток 1 в любой степени сравним с 1 по модулю п, множество таких элементов непусто).^[8] Можно сказать, из-за Маленькая теорема Ферма, что такие остатки являются «ложными срабатываниями» или «лжесвидетелями» для первичности п. Число 2 - это остаток, который чаще всего используется в этой базовой проверке на простоту, поэтому 341 = 11 × 31 известен с 2³⁴⁰ сравнимо с 1 по модулю 341, а 341 - наименьшее такое составное число (относительно 2). Для 341 подгруппа ложных свидетелей содержит 100 остатков и, следовательно, имеет индекс 3 внутри мультипликативной группы из 300 элементов по модулю 341.

Примеры

п = 9

Самый маленький пример с нетривиальной подгруппой лжесвидетелей - это 9 = 3 × 3. Есть 6 вычетов, взаимно простых с 9: 1, 2, 4, 5, 7, 8. Поскольку 8 конгруэнтно −1 по модулю 9, следует, что 8⁸ сравнимо с 1 по модулю 9. Таким образом, 1 и 8 являются ложными срабатываниями для «простоты» 9 (поскольку 9 на самом деле не является простым). Фактически они единственные, поэтому подгруппа {1,8} - это подгруппа лжесвидетелей. Тот же аргумент показывает, что п − 1 является «лжесвидетелем» любой нечетной композиции п.

п = 91

За п = 91 (= 7 × 13), есть ${\displaystyle \varphi (91)=72}$ остатки совпадают с 91, половина из них (то есть 36 из них) являются ложными свидетелями 91, а именно 1, 3, 4, 9, 10, 12, 16, 17, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 36, 38, 40, 43, 48, 51, 53, 55, 61, 62, 64, 66, 68, 69, 74, 75, 79, 81, 82, 87, 88 и 90, поскольку для этих значений Икс, Икс⁹⁰ конгруэнтно 1 mod 91.

п = 561

п = 561 (= 3 × 11 × 17) является Число Кармайкла, таким образом s⁵⁶⁰ сравнимо с 1 по модулю 561 для любого целого числа s совпадает с 561. Подгруппа лжесвидетелей в данном случае некорректна; это вся группа мультипликативных единиц по модулю 561, состоящая из 320 остатков.

Примеры

В этой таблице показано циклическое разложение ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ и генераторная установка за п ≤ 128. Наборы декомпозиции и образующие не уникальны; Например, ${\displaystyle (\mathbb {Z} /35\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /7\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{4}\times C_{6}\cong C_{4}\times C_{2}\times C_{3}\cong C_{2}\times C_{12}}$ (но ${\displaystyle \not \cong C_{24}\cong C_{8}\times C_{3}}$). В таблице ниже перечислены самые короткие декомпозиции (среди них выбирается лексикографически первое - это гарантирует, что изоморфные группы будут перечислены с одинаковыми разложениями). Генераторная установка также должна быть как можно короче, а п с примитивным корнем, наименьший примитивный корень по модулю п указан.

Например, возьмите ${\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }}$. потом ${\displaystyle \varphi (20)=8}$ означает, что порядок группы равен 8 (т.е. есть 8 чисел меньше 20 и взаимно просты с ней); ${\displaystyle \lambda (20)=4}$ означает, что порядок каждого элемента делит 4, то есть четвертая степень любого числа, взаимно простого с 20, конгруэнтна 1 (по модулю 20). Набор {3,19} порождает группу, что означает, что каждый элемент ${\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }}$ имеет форму 3^а × 19^б (куда а равно 0, 1, 2 или 3, потому что элемент 3 имеет порядок 4, и аналогично б равно 0 или 1, потому что элемент 19 имеет порядок 2).

Самый маленький примитивный корневой мод п are (0, если корень не существует)

0, 1, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 3, 5, 2, 0, 0, 7, 5, 0, 2, 7, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 3, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 6, 0, 3, 0, 0, 5, 5, 0, 3, 3, 0, 0, 2, 5, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 7, 0, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 2, 7, 2, 0, 0, 3, 0, 0, 3, 0, ... (последовательность A046145 в OEIS )

Количество элементов в минимальном порождающем множестве мода п находятся

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 2, ... (последовательность A046072 в OEIS )

Групповая структура (Z /пZ)^×

${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	Генераторная установка		${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	Генераторная установка		${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	Генераторная установка		${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	Генераторная установка
1	C1	1	1	0		33	C2× С10	20	10	2, 10		65	C4× С12	48	12	2, 12		97	C96	96	96	5
2	C1	1	1	1		34	C16	16	16	3		66	C2× С10	20	10	5, 7		98	C42	42	42	3
3	C2	2	2	2		35	C2× С12	24	12	2, 6		67	C66	66	66	2		99	C2× С30	60	30	2, 5
4	C2	2	2	3		36	C2× С6	12	6	5, 19		68	C2× С16	32	16	3, 67		100	C2× С20	40	20	3, 99
5	C4	4	4	2		37	C36	36	36	2		69	C2× С22	44	22	2, 68		101	C100	100	100	2
6	C2	2	2	5		38	C18	18	18	3		70	C2× С12	24	12	3, 69		102	C2× С16	32	16	5, 101
7	C6	6	6	3		39	C2× С12	24	12	2, 38		71	C70	70	70	7		103	C102	102	102	5
8	C2× С2	4	2	3, 5		40	C2× С2× С4	16	4	3, 11, 39		72	C2× С2× С6	24	6	5, 17, 19		104	C2× С2× С12	48	12	3, 5, 103
9	C6	6	6	2		41	C40	40	40	6		73	C72	72	72	5		105	C2× С2× С12	48	12	2, 29, 41
10	C4	4	4	3		42	C2× С6	12	6	5, 13		74	C36	36	36	5		106	C52	52	52	3
11	C10	10	10	2		43	C42	42	42	3		75	C2× С20	40	20	2, 74		107	C106	106	106	2
12	C2× С2	4	2	5, 7		44	C2× С10	20	10	3, 43		76	C2× С18	36	18	3, 37		108	C2× С18	36	18	5, 107
13	C12	12	12	2		45	C2× С12	24	12	2, 44		77	C2× С30	60	30	2, 76		109	C108	108	108	6
14	C6	6	6	3		46	C22	22	22	5		78	C2× С12	24	12	5, 7		110	C2× С20	40	20	3, 109
15	C2× С4	8	4	2, 14		47	C46	46	46	5		79	C78	78	78	3		111	C2× С36	72	36	2, 110
16	C2× С4	8	4	3, 15		48	C2× С2× С4	16	4	5, 7, 47		80	C2× С4× С4	32	4	3, 7, 79		112	C2× С2× С12	48	12	3, 5, 111
17	C16	16	16	3		49	C42	42	42	3		81	C54	54	54	2		113	C112	112	112	3
18	C6	6	6	5		50	C20	20	20	3		82	C40	40	40	7		114	C2× С18	36	18	5, 37
19	C18	18	18	2		51	C2× С16	32	16	5, 50		83	C82	82	82	2		115	C2× С44	88	44	2, 114
20	C2× С4	8	4	3, 19		52	C2× С12	24	12	7, 51		84	C2× С2× С6	24	6	5, 11, 13		116	C2× С28	56	28	3, 115
21	C2× С6	12	6	2, 20		53	C52	52	52	2		85	C4× С16	64	16	2, 3		117	C6× С12	72	12	2, 17
22	C10	10	10	7		54	C18	18	18	5		86	C42	42	42	3		118	C58	58	58	11
23	C22	22	22	5		55	C2× С20	40	20	2, 21		87	C2× С28	56	28	2, 86		119	C2× С48	96	48	3, 118
24	C2× С2× С2	8	2	5, 7, 13		56	C2× С2× С6	24	6	3, 13, 29		88	C2× С2× С10	40	10	3, 5, 7		120	C2× С2× С2× С4	32	4	7, 11, 19, 29
25	C20	20	20	2		57	C2× С18	36	18	2, 20		89	C88	88	88	3		121	C110	110	110	2
26	C12	12	12	7		58	C28	28	28	3		90	C2× С12	24	12	7, 11		122	C60	60	60	7
27	C18	18	18	2		59	C58	58	58	2		91	C6× С12	72	12	2, 3		123	C2× С40	80	40	7, 83
28	C2× С6	12	6	3, 13		60	C2× С2× С4	16	4	7, 11, 19		92	C2× С22	44	22	3, 91		124	C2× С30	60	30	3, 61
29	C28	28	28	2		61	C60	60	60	2		93	C2× С30	60	30	11, 61		125	C100	100	100	2
30	C2× С4	8	4	7, 11		62	C30	30	30	3		94	C46	46	46	5		126	C6× С6	36	6	5, 13
31	C30	30	30	3		63	C6× С6	36	6	2, 5		95	C2× С36	72	36	2, 94		127	C126	126	126	3
32	C2× С8	16	8	3, 31		64	C2× С16	32	16	3, 63		96	C2× С2× С8	32	8	5, 17, 31		128	C2× С32	64	32	3, 127

Смотрите также

• Факторизация эллиптической кривой Ленстры

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. "Группа умножения по модулю". MathWorld.
2. Первобытный корень, Энциклопедия математики
3. (Виноградов 2003, pp. 105–121, § VI ПЕРВИЧНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ)
4. (Гаусс и Кларк 1986, искусства. 52–56, 82–891)
5. (Виноградов 2003, п. 106)
6. (Гаусс и Кларк 1986, искусства. 90–91)
7. Ризель покрывает все это. (Ризель 1994, стр. 267–275).
8. Эрдеш, Пол; Померанс, Карл (1986). «О количестве лжесвидетелей по составному номеру». Математика. Вычислить. 46 (173): 259–279. Дои:10.1090 / с0025-5718-1986-0815848-х. Zbl  0586.10003.

Рекомендации

В Disquisitiones Arithmeticae был переведен из Гаусса Цицероновская латынь в английский и Немецкий. Немецкое издание включает все его работы по теории чисел: все доказательства квадратичная взаимность, определение знака Сумма Гаусса, исследования биквадратная взаимность и неопубликованные заметки.

• Гаусс, Карл Фридрих; Кларк, Артур А. (перевод на английский) (1986), Disquisitiones Arithmeticae (второе, исправленное издание), Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-0-387-96254-2
• Гаусс, Карл Фридрих; Мазер, Х. (перевод на немецкий) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae и другие статьи по теории чисел) (второе издание), Нью-Йорк: Челси, ISBN  978-0-8284-0191-3
• Ризель, Ганс (1994), Простые числа и компьютерные методы факторизации (второе издание), Бостон: Birkhäuser, ISBN  978-0-8176-3743-9
• Виноградов, И.М. (2003), "§ VI ПЕРВИЧНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ", Элементы теории чисел, Mineola, NY: Dover Publications, стр. 105–121, ISBN  978-0-486-49530-9

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Группа умножения по модулю". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Первобытный корень». MathWorld.
• Веб-инструмент для интерактивного вычисления групповых таблиц Джон Джонс